- Elementi vektora
- Pravokutne komponente vektora
- Polarna forma vektora
- vrste
- Ortogonalni jedinični vektori
- Vektorski dodatak
- Svojstva vektorskog dodavanja
- Primjeri vektora
- Ostale operacije između vektora
- Proizvod skalara i vektora
- Točni proizvod ili točkast proizvod između vektora
- Križni proizvod ili vektorski proizvod između vektora
- Prekrižite proizvode između jediničnih vektora
- Riješene vježbe
- - Vježba 1
- Riješenje
- - Vježba 2
- Riješenje
- Reference
U vektori su matematički entiteti koji su općenito u pratnji veličine i smjera mjernu jedinicu -positiva- dobro. Takve su karakteristike vrlo prikladne za opisivanje fizičkih veličina poput brzine, sile, ubrzanja i mnogih drugih.
S vektorima je moguće izvoditi operacije poput zbrajanja, oduzimanja i proizvoda. Podjela nije definirana za vektore, a što se tiče proizvoda, postoje tri klase koje ćemo opisati kasnije: točkast proizvod ili točka, vektorski proizvod ili križ i proizvod skala od vektora.

Slika 1. Elementi vektora. Izvor: Wikimedia Commons.
Da biste u potpunosti opisali vektor, moraju se navesti sve njegove karakteristike. Veličina ili modul je brojčana vrijednost koju prati jedinica, dok se smjer i smisao uspostavljaju pomoću koordinatnog sustava.
Pogledajmo primjer: pretpostavimo da zrakoplov leti iz jednog grada u drugi brzinom brzinom od 850 km / h u smjeru NE. Ovdje imamo potpuno određeni vektor, budući da je magnitude dostupna: 850 km / h, dok su smjer i smisao NE.
Vektori su obično grafički predstavljeni orijentiranim segmentima linija, čija je duljina proporcionalna veličini.
Iako je potrebno odrediti smjer i smisao, potrebna je referentna linija, što je obično vodoravna os, iako se sjever može uzeti i kao referenca, takav je slučaj brzina ravnine:

Slika 2. Vektor brzine. Izvor: F. Zapata.
Slika prikazuje brzina vektor ravnine, označeno kao v u masnim slovima, da se razlikuju od skalarnog količine, što zahtijeva samo numeričku vrijednost, a neke jedinice treba odrediti.
Elementi vektora
Kao što smo rekli, elementi vektora su:
-Veličina ili modul, koji se ponekad naziva i apsolutna vrijednost ili norma vektora.
-Adresa
-Osjećaj
U primjeru na slici 2, modul v iznosi 850 km / h. Modul je označen kao v bez podebljanog, ili kao - v -, gdje trake predstavljaju apsolutnu vrijednost.
Smjer v je određen u odnosu na sjever. U ovom slučaju je 45 ° sjeverno od istoka (45 ° NE). Napokon vrh strelice obavještava o smislu v.
U ovom primjeru podrijetlo vektora je crtano podudara se s podrijetlom O koordinatnog sustava, to je poznato kao vektor vezan. S druge strane, ako se podrijetlo vektora ne podudara s referentnim sustavom, kaže se da je slobodni vektor.
Treba napomenuti da bi se u cijelosti odredio vektor, potrebno je napomenuti ova tri elementa, inače bi opis vektora bio nepotpun.
Pravokutne komponente vektora

Slika 3. Pravokutne komponente vektora u ravnini. Izvor: Wikimedia Commons. uranther
Na slici imamo natrag svoj primjer vektora v, koji se nalazi u xy ravnini.
Lako je vidjeti da projekcije v na koordinate osi x i y određuju pravi trokut. Te projekcije su v y i v x i zovu se pravokutne komponente v.
Jedan od načina da se v označi pravokutnim komponentama v je takav: v =
Ako se vektor nalazi u trodimenzionalnom prostoru, potrebna je još jedna komponenta, tako da:
v =
Znajući pravokutne komponente veličina vektora je izračunati, što je ekvivalent za pronalaženje hipotenuze pravokutnog trokuta čije su noge v x i v i ,. Pomoću pitagorejskog teorema slijedi da:
Polarna forma vektora
Kada su poznati veličina vektora - v - i kut θ koji on čini s referentnom osi, općenito vodoravnom osi, vektor je također naveden. Kaže se da se vektor izražava u polarnom obliku.
Pravokutne komponente u ovom slučaju se lako izračunavaju:
Prema navedenom, pravokutne komponente vektora brzine v ravnine bile bi:
vrste
Postoji nekoliko vrsta vektora. Postoje vektori brzine, položaja, pomaka, sile, električnog polja, zamaha i mnogih drugih. Kao što smo već rekli, u fizici postoji veliki broj vektorskih količina.
Što se tiče vektora koji imaju određene karakteristike, možemo spomenuti sljedeće vrste vektora:
-Null: ovo su vektori čija je veličina 0 i koji su označeni kao 0. Upamtite da podebljano slovo simbolizira tri temeljne karakteristike vektora, dok normalno slovo predstavlja samo modul.
Na primjer, na tijelu u statičkoj ravnoteži zbroj sila mora biti nulta vektor.
- Slobodni i povezani: slobodni vektori su oni čije su točke podrijetla i dolaska bilo koji par točaka u ravnini ili prostoru, za razliku od povezanih vektora, čije se podrijetlo podudara s referentnim sustavom koji se koristi za njihovo opisivanje.
Par ili trenutak proizveden od par sila dobar je primjer slobodnog vektora, jer par se ne odnosi na određenu točku.
- Equipolentes: to su dva slobodna vektora koji imaju jednake karakteristike. Stoga imaju jednaku veličinu, smjer i smisao.
- Koplanar ili koplanar: vektori koji pripadaju istoj ravnini.
- Suprotnosti: vektori s istom veličinom i smjerom, ali suprotnim smjerovima. Vektor nasuprot vektoru v je vektor - v, a zbroj oba nula je vektor: v + (- v) = 0.
- Paralelno: vektori čije linije djelovanja prolaze kroz istu točku.
- Klizači: su oni vektori čija točka primjene može kliziti duž određene linije.
- Kolinearni: vektori koji se nalaze na istoj liniji.
- Jedinstveni: oni vektori čiji je modul 1.
Ortogonalni jedinični vektori
U fizici postoji vrlo korisna vrsta vektora koja se naziva ortogonalni jedinični vektor. Vektor ortogonalne jedinice ima modul jednak 1 i jedinice mogu biti bilo koje, na primjer, brzine, položaja, sile ili druge.
Postoji skup posebnih vektora koji pomažu da se lako predstave ostali vektori i da se s njima izvodi operacije: oni su vektori ortogonalnih jedinica i, j i k, jedinični i okomiti jedan na drugi.
U dvije dimenzije, ti su vektori usmjereni duž pozitivnog smjera i osi x i y. I u tri dimenzije dodaje se jedinični vektor u smjeru pozitivne z osi. Oni su predstavljeni kako slijedi:
i = <1, 0,0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
Vektor se može predstaviti pomoću jediničnih vektora i, j i k na sljedeći način:
v = v x i + v y j + v z k
Na primjer, vektor brzine v u prethodnim primjerima može se zapisati kao:
v = 601,04 i + 601,04 j km / h
Komponenta u k nije potrebna, jer je ovaj vektor u ravnini.
Vektorski dodatak
Zbir vektora pojavljuje se vrlo često u različitim situacijama, na primjer kada želite pronaći rezultirajuću silu na objekt na koji utječu razne sile. Za početak pretpostavimo da u ravnini imamo dva slobodna vektora u i v, kao što je prikazano na sljedećoj slici slijeva:

Slika 4. Grafički zbroj dva vektora. Izvor: Wikimedia Commons. Lluc kabanak.
Odmah se pažljivo prenosi na vektor v, ne mijenjajući njegovu veličinu, smjer ili smisao, tako da se njegovo podrijetlo podudara s krajem u.
Zbir vektora naziva se w i crta se počevši od u koji završava na v, prema desnoj slici. Važno je napomenuti da veličina vektora w nije nužno zbroj magnitude v i u.
Ako pažljivo razmislite, jedini put da je veličina rezultirajućeg vektora zbroj magnitude dodataka, kada su oba dodataka u istom smjeru i imaju isti smisao.
A što se događa ako vektori nisu slobodni? Također ih je vrlo lako dodati. Način za to je dodavanje komponente u komponentu ili analitičku metodu.
Kao primjer, razmotrimo vektore na sljedećoj slici, prvo je izraziti ih na jedan kartezijanski način koji je prethodno objasnjen:

Slika 5. Zbroj dva povezana vektora. Izvor: Wikimedia Commons.
v = <5.1>
u = <2,3>
Da biste dobili x-komponentu vektora zbroja w, dodajte odgovarajuće x-komponente komponente v i u: w x = 5 + 2 = 7. A za dobivanje w y slijedi analogni postupak: w y = 1 + 3. Tako:
u = <7.4>
Svojstva vektorskog dodavanja
- Zbroj dva ili više vektora rezultira drugim vektorom.
-To je komutativno, redoslijed dodataka ne mijenja zbroj, na način da:
u + v = v + u
- Neutralni element zbroja vektora je nulti vektor: v + 0 = v
- oduzimanje dvaju vektora definirano je kao zbroj suprotnog: v - u = v + (-u)
Primjeri vektora
Kao što smo rekli, u fizici postoje brojne vektorske količine. Među najpoznatije su:
-Položaj
-Displacement
-Srednja brzina i trenutna brzina
-Ubrzanje
-Sila
-Količina pokreta
-Torque ili trenutak sile
-Impuls
-Električno polje
-Magnetsko polje
-Magnetski trenutak
S druge strane, oni nisu vektori nego skalari:
-Vrijeme
-Masa
-Temperatura
-Volumen
-Gustoća
-Mehanički rad
-Energy
-Hot
-Vlast
-Napon
-Električna struja
Ostale operacije između vektora
Uz dodavanje i oduzimanje vektora, postoje još tri vrlo važne operacije između vektora, jer one dovode do novih vrlo važnih fizičkih veličina:
-Proizvod skala vektorom.
-Dodatni proizvod ili točkast proizvod između vektora
-I križni ili vektorski proizvod između dva vektora.
Proizvod skalara i vektora
Razmotrimo Newtonov drugi zakon koji kaže da su sila F i ubrzanje a proporcionalne. Konstanta proporcionalnosti je masa m objekta, dakle:
F = m. do
Misa je skalar; sa svoje strane sila i ubrzanje su vektori. Budući da se sila dobiva množenjem mase ubrzanjem, rezultat je produkta skalara i vektora.
Ova vrsta proizvoda uvijek rezultira vektorom. Evo još jednog primjera: količina pokreta. Neka je P vektor momenta, v vektor brzine, i kao i uvijek, m je masa:
P = m. v
Točni proizvod ili točkast proizvod između vektora
Mehanički rad smo stavili na popis količina koje nisu vektori. Međutim, rad u fizici rezultat je operacije između vektora koji se nazivaju skalarni proizvod, unutarnji proizvod ili točkast proizvod.
Neka vektori v i u definiraju točku ili skalarni produkt između njih kao:
v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ
Gdje je θ kut između dva. Iz prikazane jednadžbe odmah slijedi da je rezultat točkastog produkta skalarni i da su, ako su oba vektora okomita, njihov točkasti produkt 0.
Povratak na mehanički rad W, ovo je skalarni proizvod između vektora sile F i vektora pomaka ℓ.
Kada su vektori dostupni s obzirom na njihove sastavnice, točkasti proizvod je također vrlo lako izračunati. Ako je v =
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
Produkt s točkama između vektora je komutativan, dakle:
v ∙ u = u ∙ v
Križni proizvod ili vektorski proizvod između vektora
Ako su v i u naša dva primjera vektora, vektorski proizvod definiramo kao:
v x u = w
Odmah slijedi da rezultat unakrsnog proizvoda rezultira vektorom, čiji je modul definiran kao:
Gdje je θ kut između vektora.
Poprečni proizvod nije komutativan, dakle v x u ≠ u x v. Zapravo v x u = - (u x v).
Ako su dva primjerna vektora izražena u odnosu na jedinične vektore, olakšava se izračun vektorskog proizvoda:
v = v x i + v y j + v z k
u = u x i + u y j + u z k
Prekrižite proizvode između jediničnih vektora
Presjek proizvoda između identičnih jediničnih vektora je nula, jer je kut između njih 0º. Ali između različitih jedinica vektora, kut između njih je 90º, a sin 90º = 1.
Sljedeći dijagram pomaže pronaći ove proizvode. U smjeru strelice ima pozitivan smjer, a u suprotnom negativnom:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j
Primjenjujući svojstvo distribucije, koje još uvijek vrijedi za proizvode između vektora i svojstva jediničnih vektora, imamo:
v x u = (v x i + v y j + v z k) x (u x i + u y j + u z k) =
Riješene vježbe
- Vježba 1
S obzirom na vektore:
v = -5 i + 4 j + 1 k
u = 2 i -3 j + 7 k
Koliki mora biti vektor w da zbroj v + u + w bude 6 i +8 j -10 k ?
Riješenje
Stoga mora biti ispunjeno da:
Odgovor je: w = 9 i +7 j - 18 k
- Vježba 2
Koliki je kut između vektora v i u u vježbi 1?
Riješenje
Koristit ćemo dot proizvod. Iz definicije imamo:
v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15
Zamjena ovih vrijednosti:
Reference
- Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. Uredio Douglas Figueroa (USB).
- Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela s primjenama. 6.. Ed Prentice Hall.
- Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson.
- Sears, Zemanski. 2016. Sveučilišna fizika s modernom fizikom. 14.. Ed. Svezak 1.
- Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. 7. Ed. Cengage Learning.
