VEKTOR: KARAKTERISTIKE I SVOJSTVA, ELEMENTI, VRSTE, PRIMJERI - ZNANOST - 2026

U vektori su matematički entiteti koji su općenito u pratnji veličine i smjera mjernu jedinicu -positiva- dobro. Takve su karakteristike vrlo prikladne za opisivanje fizičkih veličina poput brzine, sile, ubrzanja i mnogih drugih.

S vektorima je moguće izvoditi operacije poput zbrajanja, oduzimanja i proizvoda. Podjela nije definirana za vektore, a što se tiče proizvoda, postoje tri klase koje ćemo opisati kasnije: točkast proizvod ili točka, vektorski proizvod ili križ i proizvod skala od vektora.

Slika 1. Elementi vektora. Izvor: Wikimedia Commons.

Da biste u potpunosti opisali vektor, moraju se navesti sve njegove karakteristike. Veličina ili modul je brojčana vrijednost koju prati jedinica, dok se smjer i smisao uspostavljaju pomoću koordinatnog sustava.

Pogledajmo primjer: pretpostavimo da zrakoplov leti iz jednog grada u drugi brzinom brzinom od 850 km / h u smjeru NE. Ovdje imamo potpuno određeni vektor, budući da je magnitude dostupna: 850 km / h, dok su smjer i smisao NE.

Vektori su obično grafički predstavljeni orijentiranim segmentima linija, čija je duljina proporcionalna veličini.

Iako je potrebno odrediti smjer i smisao, potrebna je referentna linija, što je obično vodoravna os, iako se sjever može uzeti i kao referenca, takav je slučaj brzina ravnine:

Slika 2. Vektor brzine. Izvor: F. Zapata.

Slika prikazuje brzina vektor ravnine, označeno kao v u masnim slovima, da se razlikuju od skalarnog količine, što zahtijeva samo numeričku vrijednost, a neke jedinice treba odrediti.

Elementi vektora

Kao što smo rekli, elementi vektora su:

-Veličina ili modul, koji se ponekad naziva i apsolutna vrijednost ili norma vektora.

-Adresa

-Osjećaj

U primjeru na slici 2, modul v iznosi 850 km / h. Modul je označen kao v bez podebljanog, ili kao - v -, gdje trake predstavljaju apsolutnu vrijednost.

Smjer v je određen u odnosu na sjever. U ovom slučaju je 45 ° sjeverno od istoka (45 ° NE). Napokon vrh strelice obavještava o smislu v.

U ovom primjeru podrijetlo vektora je crtano podudara se s podrijetlom O koordinatnog sustava, to je poznato kao vektor vezan. S druge strane, ako se podrijetlo vektora ne podudara s referentnim sustavom, kaže se da je slobodni vektor.

Treba napomenuti da bi se u cijelosti odredio vektor, potrebno je napomenuti ova tri elementa, inače bi opis vektora bio nepotpun.

Pravokutne komponente vektora

Slika 3. Pravokutne komponente vektora u ravnini. Izvor: Wikimedia Commons. uranther

Na slici imamo natrag svoj primjer vektora v, koji se nalazi u xy ravnini.

Lako je vidjeti da projekcije v na koordinate osi x i y određuju pravi trokut. Te projekcije su v _{y i} v _x i zovu se pravokutne komponente v.

Jedan od načina da se v označi pravokutnim komponentama v je takav: v =x, v _i >. Ovi se zagrade koriste umjesto zagrade da bi se naglasila činjenica da je to vektor, a ne razdoblje, jer bi se u ovom slučaju koristile zagrade.

Ako se vektor nalazi u trodimenzionalnom prostoru, potrebna je još jedna komponenta, tako da:

v =x, v _y, v _z >

Znajući pravokutne komponente veličina vektora je izračunati, što je ekvivalent za pronalaženje hipotenuze pravokutnog trokuta čije su noge v _x i v _{i ,.} Pomoću pitagorejskog teorema slijedi da:

Polarna forma vektora

Kada su poznati veličina vektora - v - i kut θ koji on čini s referentnom osi, općenito vodoravnom osi, vektor je također naveden. Kaže se da se vektor izražava u polarnom obliku.

Pravokutne komponente u ovom slučaju se lako izračunavaju:

Prema navedenom, pravokutne komponente vektora brzine v ravnine bile bi:

vrste

Postoji nekoliko vrsta vektora. Postoje vektori brzine, položaja, pomaka, sile, električnog polja, zamaha i mnogih drugih. Kao što smo već rekli, u fizici postoji veliki broj vektorskih količina.

Što se tiče vektora koji imaju određene karakteristike, možemo spomenuti sljedeće vrste vektora:

-Null: ovo su vektori čija je veličina 0 i koji su označeni kao 0. Upamtite da podebljano slovo simbolizira tri temeljne karakteristike vektora, dok normalno slovo predstavlja samo modul.

Na primjer, na tijelu u statičkoj ravnoteži zbroj sila mora biti nulta vektor.

- Slobodni i povezani: slobodni vektori su oni čije su točke podrijetla i dolaska bilo koji par točaka u ravnini ili prostoru, za razliku od povezanih vektora, čije se podrijetlo podudara s referentnim sustavom koji se koristi za njihovo opisivanje.

Par ili trenutak proizveden od par sila dobar je primjer slobodnog vektora, jer par se ne odnosi na određenu točku.

- Equipolentes: to su dva slobodna vektora koji imaju jednake karakteristike. Stoga imaju jednaku veličinu, smjer i smisao.

- Koplanar ili koplanar: vektori koji pripadaju istoj ravnini.

- Suprotnosti: vektori s istom veličinom i smjerom, ali suprotnim smjerovima. Vektor nasuprot vektoru v je vektor - v, a zbroj oba nula je vektor: v + (- v) = 0.

- Paralelno: vektori čije linije djelovanja prolaze kroz istu točku.

- Klizači: su oni vektori čija točka primjene može kliziti duž određene linije.

- Kolinearni: vektori koji se nalaze na istoj liniji.

- Jedinstveni: oni vektori čiji je modul 1.

Ortogonalni jedinični vektori

U fizici postoji vrlo korisna vrsta vektora koja se naziva ortogonalni jedinični vektor. Vektor ortogonalne jedinice ima modul jednak 1 i jedinice mogu biti bilo koje, na primjer, brzine, položaja, sile ili druge.

Postoji skup posebnih vektora koji pomažu da se lako predstave ostali vektori i da se s njima izvodi operacije: oni su vektori ortogonalnih jedinica i, j i k, jedinični i okomiti jedan na drugi.

U dvije dimenzije, ti su vektori usmjereni duž pozitivnog smjera i osi x i y. I u tri dimenzije dodaje se jedinični vektor u smjeru pozitivne z osi. Oni su predstavljeni kako slijedi:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektor se može predstaviti pomoću jediničnih vektora i, j i k na sljedeći način:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Na primjer, vektor brzine v u prethodnim primjerima može se zapisati kao:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Komponenta u k nije potrebna, jer je ovaj vektor u ravnini.

Vektorski dodatak

Zbir vektora pojavljuje se vrlo često u različitim situacijama, na primjer kada želite pronaći rezultirajuću silu na objekt na koji utječu razne sile. Za početak pretpostavimo da u ravnini imamo dva slobodna vektora u i v, kao što je prikazano na sljedećoj slici slijeva:

Slika 4. Grafički zbroj dva vektora. Izvor: Wikimedia Commons. Lluc kabanak.

Odmah se pažljivo prenosi na vektor v, ne mijenjajući njegovu veličinu, smjer ili smisao, tako da se njegovo podrijetlo podudara s krajem u.

Zbir vektora naziva se w i crta se počevši od u koji završava na v, prema desnoj slici. Važno je napomenuti da veličina vektora w nije nužno zbroj magnitude v i u.

Ako pažljivo razmislite, jedini put da je veličina rezultirajućeg vektora zbroj magnitude dodataka, kada su oba dodataka u istom smjeru i imaju isti smisao.

A što se događa ako vektori nisu slobodni? Također ih je vrlo lako dodati. Način za to je dodavanje komponente u komponentu ili analitičku metodu.

Kao primjer, razmotrimo vektore na sljedećoj slici, prvo je izraziti ih na jedan kartezijanski način koji je prethodno objasnjen:

Slika 5. Zbroj dva povezana vektora. Izvor: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Da biste dobili x-komponentu vektora zbroja w, dodajte odgovarajuće x-komponente komponente v i u: w _x = 5 + 2 = 7. A za dobivanje w _y slijedi analogni postupak: w _y = 1 + 3. Tako:

u = <7.4>

Svojstva vektorskog dodavanja

- Zbroj dva ili više vektora rezultira drugim vektorom.

-To je komutativno, redoslijed dodataka ne mijenja zbroj, na način da:

u + v = v + u

- Neutralni element zbroja vektora je nulti vektor: v + 0 = v

- oduzimanje dvaju vektora definirano je kao zbroj suprotnog: v - u = v + (-u)

Primjeri vektora

Kao što smo rekli, u fizici postoje brojne vektorske količine. Među najpoznatije su:

-Položaj

-Displacement

-Srednja brzina i trenutna brzina

-Ubrzanje

-Sila

-Količina pokreta

-Torque ili trenutak sile

-Impuls

-Električno polje

-Magnetsko polje

-Magnetski trenutak

S druge strane, oni nisu vektori nego skalari:

-Vrijeme

-Masa

-Temperatura

-Volumen

-Gustoća

-Mehanički rad

-Energy

-Hot

-Vlast

-Napon

-Električna struja

Ostale operacije između vektora

Uz dodavanje i oduzimanje vektora, postoje još tri vrlo važne operacije između vektora, jer one dovode do novih vrlo važnih fizičkih veličina:

-Proizvod skala vektorom.

-Dodatni proizvod ili točkast proizvod između vektora

-I križni ili vektorski proizvod između dva vektora.

Proizvod skalara i vektora

Razmotrimo Newtonov drugi zakon koji kaže da su sila F i ubrzanje a proporcionalne. Konstanta proporcionalnosti je masa m objekta, dakle:

F = m. do

Misa je skalar; sa svoje strane sila i ubrzanje su vektori. Budući da se sila dobiva množenjem mase ubrzanjem, rezultat je produkta skalara i vektora.

Ova vrsta proizvoda uvijek rezultira vektorom. Evo još jednog primjera: količina pokreta. Neka je P vektor momenta, v vektor brzine, i kao i uvijek, m je masa:

P = m. v

Točni proizvod ili točkast proizvod između vektora

Mehanički rad smo stavili na popis količina koje nisu vektori. Međutim, rad u fizici rezultat je operacije između vektora koji se nazivaju skalarni proizvod, unutarnji proizvod ili točkast proizvod.

Neka vektori v i u definiraju točku ili skalarni produkt između njih kao:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Gdje je θ kut između dva. Iz prikazane jednadžbe odmah slijedi da je rezultat točkastog produkta skalarni i da su, ako su oba vektora okomita, njihov točkasti produkt 0.

Povratak na mehanički rad W, ovo je skalarni proizvod između vektora sile F i vektora pomaka ℓ.

Kada su vektori dostupni s obzirom na njihove sastavnice, točkasti proizvod je također vrlo lako izračunati. Ako je v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, točkasti proizvod između ova dva je:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Produkt s točkama između vektora je komutativan, dakle:

v ∙ u = u ∙ v

Križni proizvod ili vektorski proizvod između vektora

Ako su v i u naša dva primjera vektora, vektorski proizvod definiramo kao:

v x u = w

Odmah slijedi da rezultat unakrsnog proizvoda rezultira vektorom, čiji je modul definiran kao:

Gdje je θ kut između vektora.

Poprečni proizvod nije komutativan, dakle v x u ≠ u x v. Zapravo v x u = - (u x v).

Ako su dva primjerna vektora izražena u odnosu na jedinične vektore, olakšava se izračun vektorskog proizvoda:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Prekrižite proizvode između jediničnih vektora

Presjek proizvoda između identičnih jediničnih vektora je nula, jer je kut između njih 0º. Ali između različitih jedinica vektora, kut između njih je 90º, a sin 90º = 1.

Sljedeći dijagram pomaže pronaći ove proizvode. U smjeru strelice ima pozitivan smjer, a u suprotnom negativnom:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Primjenjujući svojstvo distribucije, koje još uvijek vrijedi za proizvode između vektora i svojstva jediničnih vektora, imamo:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Riješene vježbe

- Vježba 1

S obzirom na vektore:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Koliki mora biti vektor w da zbroj v + u + w bude 6 i +8 j -10 k ?

Riješenje

Stoga mora biti ispunjeno da:

Odgovor je: w = 9 i +7 j - 18 k

- Vježba 2

Koliki je kut između vektora v i u u vježbi 1?

Riješenje

Koristit ćemo dot proizvod. Iz definicije imamo:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Zamjena ovih vrijednosti:

Reference

1. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. Uredio Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela s primjenama. 6.. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Osnove fizike. Pearson.
4. Sears, Zemanski. 2016. Sveučilišna fizika s modernom fizikom. 14.. Ed. Svezak 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. 7. Ed. Cengage Learning.