- trinomials
- Savršen kvadratni trinom
- Karakteristike trinomila razreda 2
- Savršen kvadrat
- Rezolucijska formula
- Geometrijska interpretacija
- Trinomalni faktoring
- Primjeri
- Primjer 1
- Primjer 2
- Reference
Prije nego što naučimo rješavati trinomiju oblika x ^ 2 + bx + c, pa čak i prije nego što upoznamo koncept trinoma, važno je znati dva bitna pojma; naime, pojmovi monomija i polinom. Monom je izraz tipa a * x n, gdje je a racionalni broj, n je prirodni broj, a x je varijabla.
Polinom je linearna kombinacija monomija oblika a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0, gdje je svaki a i, s i = 0,…, n je racionalan broj, n je prirodni broj, a an je nula. U ovom slučaju, stupanj polinoma kaže se n.
Polinom tvorjen zbrojem samo dva pojma (dva monomija) različitih stupnjeva poznat je kao binom.
trinomials
Polinom koji nastaje zbrojem samo tri pojma (tri monomija) različitih stupnjeva poznat je kao trinom. Slijede primjeri trinomila:
- x 3 + x 2 + 5x
- 2x 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
Postoji nekoliko vrsta trinomala. Od njih se ističe savršeni kvadratni trinom.
Savršen kvadratni trinom
Savršen kvadratni trinom je rezultat kvadrata binoma. Na primjer:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4x 2 -2y 4) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 y 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4) 2 -2 (1 / 4xy 4) z + z 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
Karakteristike trinomila razreda 2
Savršen kvadrat
Općenito, trinom oblika oblika ax 2 + bx + c savršen je kvadrat ako je njegov diskriminacijski jednak nuli; to jest, ako je b 2 -4ac = 0, jer će u ovom slučaju imati jedan korijen i može se izraziti u obliku a (xd) 2 = (√a (xd)) 2, gdje je d već spomenuti korijen.
Korijen polinoma je broj u kojem polinom postaje nula; drugim riječima, broj koji prilikom zamjene x u polinomnom izrazu rezultira nulom.
Rezolucijska formula
Opća formula za izračunavanje korijena polinoma drugog stupnja oblika ax 2 + bx + c je formula razlučivosti koja kaže da su ti korijeni dati pomoću (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, pri čemu b 2 -4ac poznat kao diskriminacijska i obično označen s d. Iz ove formule proizlazi da osovina 2 + bx + c ima:
- Dva različita stvarna korijena ako je ∆> 0.
- Jedan jedini pravi korijen ako je ∆ = 0.
- Nema pravog korijena ako je ∆ <0.
U nastavku će se razmatrati samo trinomi oblika x 2 + bx + c, gdje jasno c mora biti broj koji nije nula (inače bi to bio binom). Ove vrste trinomala imaju određene prednosti u slučaju faktoringa i rada s njima.
Geometrijska interpretacija
Geometrijski je tročlan x 2 + bx + c je parabola koji se otvara prema gore i ima na mjestu tjemena (b / 2 -b 2 /4 + c) od kartezijansku ravnine koja je x 2 + bx + c = (x + b / 2), 2 -b 2 /4 + c.
Ova parabola siječe osi Y u točki (0, c) i osi X u točkama (d 1, 0) i (d 2, 0); tada su d 1 i d 2 korijeni trinoma. Može se dogoditi da trinomal ima jedan korijen d, u tom bi slučaju jedini rez s X osi bio (d, 0).
Također se može dogoditi da trinomal nema pravog korijena, u tom slučaju ne bi presijecao X osi ni u jednoj točki.
Na primjer, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 je parabola s vrhom na (-3,0), koja presijeca osi Y na (0, 9) i do osi X na (-3,0).
Trinomalni faktoring
Vrlo koristan alat pri radu s polinomima je faktoring, koji se sastoji od izražavanja polinoma kao produkta faktora. Općenito, s obzirom na trinom u obliku x 2 + bx + c, ako ima dva različita korijena d 1 i d 2, može se računati kao (xd 1) (xd 2).
Ako ima jedan korijen d, može se smatrati (xd) (xd) = (xd) 2, a ako nema pravog korijena, ostaje isti; u ovom slučaju ne priznaje faktorizaciju kao produkt drugih čimbenika.
To znači da se, znajući korijene trinomala u već utvrđenom obliku, njegova faktorizacija može lako izraziti, a kao što je već spomenuto, ti se korijeni uvijek mogu odrediti pomoću razlučivača.
Međutim, postoji značajna količina ove vrste trinomala koja se može uzeti u obzir bez da se prethodno zna njihovo korijenje, što pojednostavljuje rad.
Korijeni se mogu odrediti izravno iz faktorizacije bez korištenja rezolutivne formule; to su polinomi oblika x 2 + (a + b) x + ab. U ovom slučaju imamo:
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
Iz ovog se lako vidi da su korijeni –a i –b.
Drugim riječima, s obzirom na trinualni x 2 + bx + c, ako su dva broja u i v takva da su c = uv i b = u + v, tada je x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).
To jest, s obzirom na trinualni x 2 + bx + c, prvo se provjerava postoje li dva broja koja se množe tako da daju neovisni izraz (c) i dodaju (ili oduzimaju, ovisno o slučaju), daju termin koji prati x (b).
Ova metoda se ne može primijeniti na svim trinomima na ovaj način; u kojima to nije moguće koristi se rezolucija i vrijedi gore spomenuto.
Primjeri
Primjer 1
Za faktor sljedećeg trinomijala x 2 + 3x + 2 postupite na sljedeći način:
Morate pronaći dva broja takva da kada ih dodate rezultat je 3, a kad ih množite rezultat je 2.
Nakon inspekcije može se zaključiti da su pretraživani brojevi: 2 i 1. Stoga je x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).
Primjer 2
Da bismo izračunali triinimal x 2 -5x + 6, tražimo dva broja čiji je zbroj -5, a njihov proizvod je 6. Brojevi koji zadovoljavaju ova dva uvjeta su -3 i -2. Stoga je faktorizacija datog trinomala x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).
Reference
- Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MATH. Uvod u računicu. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, i Paul, RS (2003). Matematika za menadžment i ekonomiju. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
- Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Urednički Progreso.
- Rock, NM (2006). Algebra I je jednostavno! Tako jednostavno. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Pearson Education.