TROKUTI: POVIJEST, ELEMENTI, KLASIFIKACIJA, SVOJSTVA - ZNANOST - 2025

A trokuti su ravne i zatvoreni geometrijski likovi, koji se sastoji od tri strane. Trokut je određen tri linije koje se presijecaju dvije po dvije, tvoreći tri kutova jedan s drugim. Trokutasti oblik, pun simbolike, prisutan je u bezbroj objekata i kao element konstrukcije.

Podrijetlo trokuta gubi se u povijesti. Iz arheoloških dokaza poznato je da je primitivno čovječanstvo to dobro znalo, jer arheološki ostaci potvrđuju da se koristilo u oruđu i oružju.

Slika 1. Trokut. Izvor: Publicdomainpictures.

Također je vidljivo da su stari Egipćani čvrsto znali geometriju i posebno trokutasti oblik. Ogledali su se u arhitektonskim elementima njegovih monumentalnih građevina.

U papirusu Rhinda nalaze se formule za proračun područja trokuta i trapeza, kao i neke sveske i drugi pojmovi rudimentarne trigonometrije.

Sa svoje strane poznato je da su Babilonci mogli izračunati površinu trokuta i druge geometrijske figure, koje su koristili u praktične svrhe, poput podjela na kopnu. Također su bili upoznati s mnogim svojstvima trokuta.

Međutim, stari su Grci sistematizirali mnoge geometrijske koncepte koji su prevladavali danas, iako velik dio toga znanja nije bio isključiv, jer je sigurno dijeljen s tim drugim drevnim civilizacijama.

Elementi trokuta

Elementi bilo kojeg trokuta označeni su na sljedećoj slici. Postoje tri: vrhovi, stranice i kutovi.

Slika 2. Notacija trokuta i njihovih elemenata. Izvor: Wikimedia Commons, modificirao F. Zapata

-Vertices: točke sjecišta linija čiji segmenti određuju trokut. Na gornjoj slici, na primjer, linija L _AC koja sadrži segment AC presijeca liniju L _AB koja sadrži segment AB točno u točki A.

- stranice: između svakog para vrhova crta se jedna linija koja čini jednu stranu trokuta. Taj se segment može označiti završnim slovima ili upotrebom određenog slova da biste ga nazvali. U primjeru na slici 2, strana AB se također naziva "c".

- Kutovi: Između svake strane s zajedničkom kralježnicom nastaje kut, čija se vrh podudara s vrhom trokuta. Kut je označen grčkim slovom, kao što je navedeno na početku.

Da biste sastavili određeni trokut, s zadanim oblikom i veličinom, samo jedan od sljedećih skupova podataka:

- Tri strane, sasvim očito u slučaju trokuta.

-Dvije strane i kut između njih, a odmah se povlači preostala strana.

-Dva (unutarnji) kutova i strana između njih. Proširenjem crtaju se dvije strane koje nedostaju i trokut je spreman.

Notacija

Općenito, u trokutastoj notaciji koriste se sljedeće konvencije: vrhovi su označeni velikim tiskanim latiničnim slovima, a stranice malim latiničnim slovima, a uglovi grčkim slovima (vidi sliku 2).

Na taj se način trokut naziva prema vrhovima. Na primjer, trokut s lijeve strane na slici 2 je trokut ABC, a onaj s desne strane je trokut A'B'C '.

Također je moguće koristiti i druge oznake; na primjer, kut α na slici 2 je označen kao BAC. Imajte na umu da slovo vrha ide u sredini, a slova su napisana u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Drugi puta se za označavanje kuta koristi oznaka:

α = ∠A

Vrste trokuta

Postoji nekoliko kriterija za razvrstavanje trokuta. Najčešće je klasificirati ih prema mjeri njihovih strana ili prema mjeri njihovih kutova. Ovisno o mjeri njihovih strana, trokuti mogu biti: ljestvice, jednake ili jednakostranične:

-Scaleno: njegove su tri strane različite.

-Isósceles: ima dvije jednake strane i jednu različitu stranu.

-Equilátero: tri su strane jednake.

Slika 3. Razvrstavanje trokuta na njihove strane. Izvor: F. Zapata

Prema mjeri njihovih kutova, trokuti se nazivaju ovako:

- Prepreka, ako je jedan od unutarnjih kutova veći od 90 °.

- Akutni kut, kada su tri unutarnja kuta trokuta akutna, to jest manja od 90 °

- Pravokutnik, u slučaju da jedan od njegovih unutarnjih kutova vrijedi 90 °. Stranice koje tvore 90 ° nazivaju se noge, a strana suprotna pravom kutu hipotenuza.

Slika 4. Klasifikacija trokuta po njihovim unutarnjim kutovima. Izvor: F. Zapata.

Kongresnost trokuta

Kad dva trokuta imaju isti oblik i iste su veličine, kaže se da su jednaki. Naravno da je kongruencija povezana s jednakošću, pa zašto geometrija govori o „dva kongruentna trokuta“, a ne o „dva jednaka trokuta“?

Pa, preferira se upotreba izraza "kongruencija" da bi se držali istine, jer dva trokuta mogu imati isti oblik i veličinu, ali biti drugačije usmjereni u ravnini (vidi sliku 3). S gledišta geometrije više ne bi bile potpuno iste.

Slika 5. Kongruentni trokuti, ali ne nužno jednaki, jer je njihova orijentacija u ravnini različita. Izvor: F. Zapata.

Kriteriji kongruence

Dva trougla su u skladu ako se dogodi bilo što od sljedećeg:

- Tri strane mjere isto (opet je to najočitije).

-Imaju dvije identične strane i pod istim kutom između njih.

-Koji imaju dva jednaka unutarnja kuta i strana između tih kutova mjeri isto.

Kao što se može vidjeti, radi se o dva trokuta koji ispunjavaju potrebne uvjete, tako da kada su izgrađeni, njihov oblik i veličina potpuno su isti.

Kriteriji za kongruenciju vrlo su korisni, jer se u praksi nebrojeni komadi i mehanički dijelovi moraju proizvoditi u nizu, na način da su njihova mjerenja i oblik potpuno isti.

Sličnost trokuta

Trokut je sličan drugom ako imaju isti oblik, čak i ako su različite veličine. Da bi oblik bio isti, potrebno je da unutarnji kutovi imaju istu vrijednost i da stranice budu proporcionalne.

Slika 6. Dva slična trokuta: njihove se veličine razlikuju, ali njihovi su udjeli isti. Izvor: F. Zapata.

Trokuti na slici 2 su takođe slični kao i oni na slici 6. Na ovaj način:

Što se tiče strana, vrijede sljedeći omjeri sličnosti:

Svojstva

Temeljna svojstva trokuta su sljedeća:

- Zbroj unutarnjih kutova bilo kojeg trokuta uvijek je 180 °.

-Za bilo koji trokut zbroj njegovih vanjskih kutova jednak je 360 ​​°.

- Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju unutarnjih kutova koji nisu susjedni navedenom kutu.

teoremi

Thalesova prva teorema

Pripisuju se grčkom filozofu i matematičaru Thalesu iz Mileta koji je razvio nekoliko teorema vezanih uz geometriju. Prvi od njih navodi sljedeće:

Slika 7. Thalesov teorem. Izvor: F. Zapata.

Drugim riječima:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thalesov prvi teorem je primjenjiv na trokut, na primjer, imamo plavi trokut ABC na lijevoj strani, koji je presječen crvenim paralelama na desnoj strani:

Slika 8. Thalesov teorem i slični trokuti.

Ljubičasti trokut AB'C 'sličan je plavom trokutu ABC, pa se prema Thalesovom teoremu može napisati sljedeće:

AB´ / AC´ = AB / AC

I to je u skladu s onim što je ranije objašnjeno u segmentu sličnosti trokuta. Usput, paralelne linije mogu biti i okomite ili paralelne s hipotenuzom, a slični se trokuti dobivaju na isti način.

Thalesov drugi teorem

Ovaj se teorem također odnosi na trokut i kružnicu sa središtem O, poput onih prikazanih dolje. Na ovoj slici AC je promjer opsega i B je točka na njemu, a B se razlikuje od A i B.

Thalesov drugi teorem kaže:

Slika 9. Thalesov drugi teorem. Izvor: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Pitagorov teorem

Ovo je jedan od najpoznatijih teorema u povijesti. Do njega dolazi zbog grčkog matematičara Pitagore iz Samosa (569. - 475. pr. Kr.), A primjenjiv je na desni trokut. Kaže tako:

Uzmimo za primjer plavi trokut na slici 8 ili ljubičasti trokut, jer su oba pravokutnika, tada se može reći da:

AC ² = AB ² + BC ² (plavi trokut)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (ljubičasti trokut)

Područje trokuta

Područje trokuta dano je proizvodom njegove osnove a i njegove visine h, podijeljeno s 2. A trigonometrijom ta se visina može zapisati kao h = b sinθ.

Slika 10. Područje trokuta. Izvor: Wikimedia Commons.

Primjeri trokuta

Primjer 1

Kaže se da je Thales pomoću svog prvog teorema uspio izmjeriti visinu Velike piramide u Egiptu, jedno od 7 čuda drevnog svijeta, mjerenjem sjene koju je projicirala na tlo i koju je projicirao ulog ukopan u zemlju.

Ovo je kontura postupka koju slijede Tales:

Slika 11. Shema za mjerenje visine Velike piramide po sličnosti trokuta. Izvor: Wikimedia Commons. Dake

Thales je ispravno pretpostavio da sunčeve zrake paralelno udaraju. Imajući to u vidu, zamislio je veliki desni trokut s desne strane.

Tamo je D visina piramide i C je udaljenost iznad tla koja se mjeri od središta do sjene koju je piramida bacila na pustinjski pod. Možda je naporno izmjeriti C, ali svakako je lakše nego izmjeriti visinu piramide.

S lijeve strane je mali trokut, s nogama A i B, gdje je A visina udjela, okomito u zemlju, a B je sjena koju baca. Obje su duljine mjerljive, kao i C (C jednaka je duljini sjene + polovici duljine piramide).

Dakle, po sličnosti trokuta:

A / B = D / C

A ispada da je visina Velike piramide: D = C. (A / B)

Primjer 2

Konstrukcije u civilnoj gradnji su građevine napravljene od tankih ravnih šipki od drva ili metala, a koje se koriste kao potpora u mnogim zgradama. Poznati su i kao trus, trus ili trus.

U njima su trokuti uvijek prisutni, jer su šipke međusobno povezane u točkama nazvanim čvorovi, koje se mogu fiksirati ili zglobiti.

Slika 12. Trokut je prisutan u okviru ovog mosta. Izvor: PxHere.

Primjer 3

Metoda poznata kao triangulacija omogućuje dobivanje mjesta nepristupačnih točaka znajući druge udaljenosti koje je lakše izmjeriti, pod uvjetom da se formira trokut koji uključuje željeno mjesto između njegovih vrhova.

Na primjer, na sljedećoj slici želimo znati gdje se brod nalazi u moru, označen kao B.

Slika 13. Triangulacijska shema za lociranje broda. Izvor: Wikimedia Commons. Colette

Najprije se mjeri udaljenost između dviju točaka na obali, što su na slici A i C. Zatim se kutovi α i β moraju odrediti uz pomoć teodolita, uređaja koji se koristi za mjerenje vertikalnih i horizontalnih kutova.

Uz sve te podatke, sagrađen je trokut u čijoj je gornjoj kralježnici brod. Ostaje izračunati kut γ, pomoću svojstava trokuta i udaljenosti AB i CB pomoću trigonometrije, kako bi se odredio položaj broda u moru.

vježbe

Vježba 1

Na slici su sunčeve zrake paralelne. Na taj način stablo visok 5 metara baca sjenu od 6 metara na zemlju. U isto vrijeme, sjena zgrade je 40 metara. Slijedom Thalesove Prve teoreme pronađite visinu zgrade.

Slika 14. Shema za riješenu vježbu 1. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Crveni trokut ima stranice od 5 i 6 metara, dok plavi ima visinu H - visinu zgrade - i osnovicu 40 metara. Stoga su oba trokuta slična:

Vježba 2

Morate znati vodoravnu udaljenost između dviju točaka A i B, ali nalaze se na vrlo neravnom terenu.

Otprilike na sredini (P _m) navedenog terena, ističe se visina 1,75 metara. Ako mjera vrpce pokazuje 26 metara duljine izmjerene od A do istaknutosti i 27 metara od B do iste točke, pronađite udaljenost AB.

Slika 15. Shema za riješenu vježbu 2. Izvor: Jiménez, R. Matematika II. Geometrija i trigonometrija.

Riješenje

Pitagorov teorem primjenjuje se na jedan od dva prava trokuta na slici. Počevši s onom s lijeve strane:

Hipotenuza = c = 26 metara

Visina = a = 1,75 metara

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Sada primijenite Pitagore u trokutu desno, ovaj put c = 27 metara, a = 1,75 metara. Sa ovim vrijednostima:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

Udaljenost AB nalazimo dodavanjem ovih rezultata:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Reference

1. Baldor, JA 1973. Geometrija ravnina i svemira. Srednjoamerički kulturni.
2. Barredo, D. Geometrija trokuta. Oporavak od: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometrija i trigonometrija. Drugo izdanje. Pearson.
4. Wentworth, G. Ravna geometrija. Oporavilo sa: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Trokut. Oporavak od: es. wikipedia.org.