IZOSCELESNI TROKUT: KARAKTERISTIKE, FORMULA I POVRŠINA, PRORAČUN - MATEMATIKA - 2025

Jednakokračan trokut je poligon s tri strane, gdje njih dvojica imaju istu mjeru i treću stranu u različitoj mjeri. Ova posljednja strana naziva se bazom. Zbog ove karakteristike dobio je to ime, što na grčkom znači "jednake noge"

Trokuti su poligoni koji se smatraju najjednostavnijim u geometriji, jer su sastavljeni od tri strane, tri kuta i tri vrha. Oni su koji imaju najmanji broj strana i kutova u odnosu na ostale poligone, međutim njihova je upotreba vrlo opsežna.

Karakteristike jednakokračnih trokuta

Izocelesni trokut klasificiran je pomoću mjere njegovih strana kao parametra, jer su dvije njegove stranice jednake (imaju jednaku duljinu).

Na osnovu amplitude unutarnjih kutova, izoskeli se trokuti klasificiraju kao:

• Pravi trokut izoscele: dvije su mu stranice jednake. Jedan kut je ravno (90 ^ili), a ostali su isti (45 ^ili svaki)
• Izoscele tupi trokut: dvije su mu stranice jednake. Jedan od kutova je nejasan (> 90 ^ili).
• Akutni trokut izoscele: dvije su mu stranice jednake. Svi su kutovi akutni (<90 ^ili), gdje oba imaju istu mjeru.

komponente

• Medijan: to je linija koja počinje od sredine jedne strane i doseže suprotni vrh. Trojica medijanata sastaju se u točki koja se zove baricentar ili centroid.
• Bisektor: to je zraka koja dijeli kut svake vrhove na dva kuta jednake mjere. Zato je poznata kao os simetrije i ova vrsta trokuta ima samo jedan.
• Bisektor: to je segment okomit na stranu trokuta, koji u sredini ima svoje podrijetlo. Tri su medijatora u trokutu i sastaju se u točki koja se zove obodni centar.
• Visina: to je linija koja od vrha ide na stranu koja je suprotna, a također je ta linija okomita na tu stranu. Svi trokuti imaju tri visine koje se podudaraju u točki koja se zove ortocentar.

Svojstva

Izosceli trokuti su definirani ili identificirani jer imaju nekoliko svojstava koja ih predstavljaju, a potječu iz teorema koje su predložili veliki matematičari:

Unutarnji kutovi

Zbroj unutarnjih kutova uvijek je jednak 180 ^°.

Zbroj strana

Zbroj mjera dviju strana uvijek mora biti veći od mjere treće strane, a + b> c.

Kongruentne strane

Izosceli trokuti imaju dvije strane istom mjerom ili duljinom; to jest, oni su kongruentni i treća strana je drugačija od ove.

Kongruentni kutovi

Izoscelesni trokuti poznati su i kao izoangle trouglovi, jer imaju dva kuta koji imaju istu mjeru (kongruentni). Nalaze se u dnu trokuta, nasuprot stranama jednake duljine.

Zbog toga je stvorena teorema koja kaže da:

"Ako trokut ima dvije kongruentne strane, uglovi nasuprot tim stranama također će biti sukladni." Stoga, ako je trokut jednakokračan, kutovi njegovih baza su kongruentni.

Primjer:

Sljedeća slika prikazuje trokut ABC. Crtanjem svog bisektora iz vrha kuta B na bazu, trokut je podijeljen u dva jednaka trokuta BDA i BDC:

Na ovaj je način kut vrha B također podijeljen u dva jednaka kuta. Bisektor je sada zajednička strana (BD) između ta dva nova trokuta, dok su strane AB i BC skladne strane. Stoga imamo slučaj bočne, kutne, bočne (LAL) sukladnosti.

To pokazuje da kutovi vrhova A i C imaju istu mjeru, kao i da se može pokazati da budući da su trokuta BDA i BDC jednake, stranice AD ​​i DC također su kongruentne.

Visina, medijan, bisektor i bisektor su jednaki

Linija koja se povlači od vrha nasuprot osnovice do sredine točke oskutnog trokuta, istodobno je visina, medijan i bisektor, kao i bisektor u odnosu na suprotni kut baze.

Svi ti segmenti poklapaju se u jednom koji ih predstavlja.

Primjer:

Sljedeća slika prikazuje trokut ABC sa sredinom M koji bazu dijeli na dva segmenta BM i CM.

Izvlačenjem segmenta iz točke M u suprotnu vršku, definicijom se dobiva medijan AM, koji je u odnosu na vrh A i stranu BC.

Kako segment AM dijeli trokut ABC na dva jednaka trokuta AMB i AMC, to znači da će imati slučaj kongruencije stranu, kut, stranu i stoga će AM biti i bisektor BÂC.

Stoga će bisektor uvijek biti jednak medijani i obrnuto.

Segment AM tvori kutove koji imaju istu mjeru za trokut AMB i AMC; to jest, oni se nadopunjuju na način da će svaka mjera biti:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^ili

2 _* Med. (AMC) = 180 ^ili

Med. (AMC) = 180 ^ili ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^ili

Može se znati da su kutovi formirani odsekom AM u odnosu na bazu trokuta pravi, što ukazuje da je taj segment posve okomit na bazu.

Stoga predstavlja visinu i bisektor, znajući da je M srednja točka.

Stoga linija AM:

• Predstavlja na visini BC.
• Je srednje veličine.
• Sadržan je unutar bisektora BC.
• To je bisektor vertikalnog kuta Â

Relativne visine

Visine koje su u odnosu na jednake strane imaju isto mjerenje.

Budući da jednakokračni trokut ima dvije jednake strane, njihove će dvije odgovarajuće visine također biti jednake.

Ortocentar, baricentar, poticaj i podudarni obilaznik

Kako su visina, medijan, bisektor i bisektor u odnosu na bazu istodobno predstavljeni istim segmentom, ortocentar, baricentrski poticaj i obručnik će biti kolinearne točke, odnosno naći će se na istoj liniji:

Kako izračunati perimetar?

Perimetar poligona izračunava se dodavanjem strana.

Kako u ovom slučaju jednakokračni trokut ima dvije strane istom mjerom, njegov se perimetar izračunava sljedećom formulom:

P = 2 _* (strana a) + (strana b).

Kako izračunati visinu?

Visina je linija okomita na bazu, ona dijeli trokut na dva jednaka dijela dok se proteže do suprotne vrhove.

Visina predstavlja suprotnu nogu (a), sredina baze (b / 2) susjedne noge, a bočna stranica "a" predstavlja hipotenuzu.

Koristeći pitagorejski teorem, vrijednost visine može se odrediti:

a ² + b ² = c ²

Gdje:

a ² = visina (h).

b ² = b / 2.

c ² = strana a.

Supstituirajući ove vrijednosti u pitagorejskoj teoremi i rješavajući visinu, imamo:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Ako je kut formiran od strane složenih strana poznat, visina se može izračunati sljedećom formulom:

Kako izračunati površinu?

Površina trokuta uvijek se izračunava istom formulom, množenje baze po visini i dijeljenje s dva:

Postoje slučajevi u kojima su poznate samo mjerenja dviju strana trokuta i kuta koji se formira između njih. U ovom slučaju, za određivanje područja potrebno je primijeniti trigonometrijske omjere:

Kako izračunati bazu trokuta?

Budući da isoscelesni trokut ima dvije jednake strane, da biste odredili vrijednost njegove osnove, morate znati barem mjeru visine ili jedan od njegovih kutova.

Znajući visinu, koristi se pitagorejski teorem:

a ² + b ² = c ²

Gdje:

a ² = visina (h).

c ² = strana a.

b ² = b / 2, nije poznato.

Iz formule izdvajamo b ² i imamo:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Budući da ta vrijednost odgovara polovici baze, mora se pomnožiti s dva da bi se dobila potpuna mjera osno-jednakoga trokuta:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

U slučaju da su poznate samo vrijednosti njegovih jednakih strana i kut između njih, primjenjuje se trigonometrija, crtajući liniju od vrha do osnovice koja dijeli izoscele trokut na dva prava trokuta.

Na taj se način polovica osnovice izračunava sa:

Moguće je i da su poznate samo vrijednosti visine i kuta vrhova koji su suprotni bazi. U tom se slučaju trigonometrijom baze mogu utvrditi:

vježbe

Prva vježba

Pronađite područje jednakokračnog trokuta ABC, znajući da su dvije njegove stranice 10 cm, a treća strana 12 cm.

Riješenje

Da bi se pronašlo područje trokuta, potrebno je izračunati visinu pomoću formule područja koja je povezana s pitagorejskim teoremom, jer vrijednost kuta formiranog između jednakih strana nije poznata.

Imamo sljedeće podatke o trokutima isosceles:

• Jednake strane (a) = 10 cm.
• Baza (b) = 12 cm.

Vrijednosti su supstituirane u formuli:

Druga vježba

Duljina dviju jednakih strana jednakokračnog trokuta je 42 cm, sjedinjenje tih strana tvori kut od 130 ^ili. Odredite vrijednost treće strane, područje tog trokuta i obod.

Riješenje

U ovom su slučaju poznata mjerenja strana i kuta između njih.

Da bi se znala vrijednost strane koja nedostaje, to jest osnove tog trokuta, na njega se crta okomita linija, koja dijeli kut na dva jednaka dijela, po jedan za svaki desni trokut koji je formiran.

• Jednake strane (a) = 42 cm.
• Kut (Ɵ) = 130 ^o

Trigonometrijom izračunava se vrijednost polovine baze koja odgovara polovici hipotenuze:

Da bi se izračunalo područje, potrebno je znati visinu tog trokuta, koja se može izračunati trigonometrijom ili pitagorejskim teoremom, sada kada je vrijednost baze već određena.

Trigonometrijom će to biti:

Perimetar se izračunava:

P = 2 _* (strana a) + (strana b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Treća vježba

Izračunajte unutarnje kutove izosceles trokuta, znajući da je kut osnove = 55 ^ili

Riješenje

Za pronalaženje dvaju uglova koji nedostaju (Ê i Ô) potrebno je zapamtiti dva svojstva trokuta:

• Zbroj unutarnjih kutova svakog trokuta uvijek će biti = 180 ^ili:

 + Ê + Ô = 180 ^ili

• U jednakokračnom trokutu kutovi baze su uvijek u skladu, to jest, imaju istu mjeru, dakle:

 = Ô

Ê = 55 ^ili

Da bismo odredili vrijednost kuta Ê, zamjenjujemo vrijednosti ostalih uglova u prvom pravilu i rješavamo za Ê:

55 ^ili + 55 ^ili + Ô = 180 ^ili

110 ^ili + Ô = 180 ^ili

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Reference

1. Álvarez, E. (2003). Elementi geometrije: s brojnim vježbama i geometrijom kompasa. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehnički crtež: bilježnica s aktivnostima.
3. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Math 2.
7. Tuma, J. (1998). Priručnik inženjerske matematike. Wolfram MathWorld.