SKALANSKI TROKUT: KARAKTERISTIKE, FORMULA I PODRUČJA, PRORAČUN - MATEMATIKA - 2026

Trokut trokut je poligon s tri strane, od kojih svi imaju različite mjere ili duljine; zbog toga mu je dodijeljeno ime scalene, što na latinskom znači penjanje.

Trokuti su poligoni koji se smatraju najjednostavnijim u geometriji, jer su sastavljeni od tri strane, tri kuta i tri vrha. U slučaju trokuta skale, ako se sve strane razlikuju, to znači da će i njegova tri kuta biti previše.

Karakteristike skale trokuta

Skalanski trokuti su jednostavni mnogokutnici jer nijedna njihova strana ili kut nemaju istu mjeru, za razliku od isosceles i jednakostraničnih trokuta.

Budući da sve njihove strane i kutovi imaju različite mjere, ovi se trokuti smatraju nepravilnim konveksnim mnogokutom.

Na temelju amplitude unutarnjih kutova, skale trokuta klasificiraju se kao:

• Desni trokut skalene: sve su strane različite. Jedan od njegovih kutova je pravi (90 ^ili), a drugi su oštri i s različitim mjerama.
• Tupi skali trokuta: sve su strane različite, a jedan od njegovih kutova je ispupčen (> 90 ^ili).
• Scalene akutni trokut: sve su strane različite. Svi su kutovi akutni (<90 ^ili) s različitim mjerama.

Još jedna karakteristika skale trokuta je da zbog neskladnosti njihovih strana i kutova nemaju os simetrije.

komponente

Medijan: to je linija koja počinje od sredine jedne strane i doseže suprotni vrh. Trojica medijanata sastaju se u točki koja se zove baricentar ili centroid.

Bisektor: to je zraka koja svaki kut dijeli na dva kuta jednake mjere. Bisektori trokuta se sastaju u točki koja se zove poticaj.

Bisektor: to je segment okomit na stranu trokuta, koji u sredini ima svoje podrijetlo. Tri su bisektori u trokutu i sastaju se u točki koja se zove obodni centar.

Visina: to je linija koja od vrha ide na stranu koja je suprotna, a također je ta linija okomita na tu stranu. Svi trokuti imaju tri visine koje se podudaraju u točki koja se zove ortocentar.

Svojstva

Skalanski trokuti su definirani ili identificirani jer imaju nekoliko svojstava koja ih predstavljaju, a proizlaze iz teorema koje su predložili veliki matematičari. Oni su:

Unutarnji kutovi

Zbroj unutarnjih kutova uvijek je jednak 180 ^°.

Zbroj strana

Zbroj mjera dviju strana uvijek mora biti veći od mjere treće strane, a + b> c.

Bezobzirne strane

Sve strane skale trokuta imaju različite mjere ili duljine; to jest, oni su nesposobni.

Nekonkurentni kutovi

Kako su sve strane trokuta skale različite, njegovi će kutovi biti previše. Međutim, zbroj unutarnjih kutova uvijek će biti jednak 180 °, a u nekim slučajevima jedan od njegovih kutova može biti ispucan ili pravi, dok će u drugima svi kutovi biti oštri.

Visina, medijan, bisektor i bisektor nisu slučajni

Kao i bilo koji trokut, scalene ima različite segmente linija koji ga čine, kao što su: visina, medijan, bisektor i bisektor.

Zbog posebnosti njegovih strana, u ovoj vrsti trokuta nijedna od ovih linija neće se podudarati u jednoj.

Ortocentar, baricentar, poticaj i kružište nisu slučajni

Kako su visina, medijan, bisektor i bisektor predstavljeni različitim segmentima linija, u trokutnom skali, točke susreta - ortocentar, poticaj i obruč - nalaze se na različitim točkama (ne podudaraju se).

Ovisno o tome je li trokut akutni, desni ili skale, ortocentar ima različita mjesta:

do. Ako je trokut akutan, ortocentar će biti unutar trokuta.

b. Ako je trokut ispravan, ortocentar će se podudarati s vrhom desne strane.

c. Ako je trokut ispupčen, ortocentar će biti na vanjskoj strani trokuta.

Relativne visine

Visine su u odnosu na strane.

U slučaju trokuta skale, ove visine imat će različita mjerenja. Svaki trokut ima tri relativne visine i za njihovo izračunavanje koristi se Heronova formula.

Kako izračunati perimetar?

Perimetar poligona izračunava se dodavanjem strana.

Budući da u ovom slučaju skalirani trokut ima sve strane različitim mjerama, njegov će perimetar biti:

P = strana a + strana b + strana c.

Kako izračunati površinu?

Površina trokuta uvijek se izračunava istom formulom, množenjem visine osnovnog vremena i dijeljenjem sa dva:

Površina = (baza _* h) ÷ 2

U nekim slučajevima visina trokuta skale nije poznata, ali postoji formula koju je predložio matematičar Herón, kako bi se izračunalo područje poznavajući mjeru triju strana trokuta.

Gdje:

• a, b i c, predstavljaju stranice trokuta.
• sp, odgovara poluperimetru trokuta, to jest polovici perimetra:

sp = (a + b + c) ÷ 2

U slučaju da imate samo mjeru dvije strane trokuta i kut formiran između njih, područje se može izračunati primjenom trigonometrijskih omjera. Dakle, morate:

Površina = (strana _* h) ÷ 2

Tamo gdje je visina (h) proizvod jedne strane, a sinus suprotnog kuta. Na primjer, za svaku stranu, područje će biti:

• Površina = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Područje = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Područje = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Kako izračunati visinu?

Budući da su sve strane skale trokuta različite, nije moguće izračunati visinu pitagorejskim teoremom.

Iz Heronove formule koja se temelji na mjerenjima triju strana trokuta može se izračunati područje.

Visina se može očistiti iz opće formule područja:

Strana se zamjenjuje mjerom strane a, b ili c.

Drugi način izračunavanja visine kada je poznata vrijednost jednog od kutova je primjena trigonometrijskih omjera, pri čemu će visina predstavljati nogu trokuta.

Na primjer, kada je poznat kut nasuprot visini, on će se odrediti sinusom:

Kako izračunati strane?

Kada imate mjeru dvije strane i kut nasuprot njima, moguće je odrediti treću stranu primjenom kosinaste teoreme.

Na primjer, u trokutu AB prikazana je visina u odnosu na segment AC. Na taj se način trokut dijeli na dva desna trokuta.

Da biste izračunali stranu c (segment AB), primijenite pitagorejski teorem za svaki trokut:

• Za plavi trokut imamo:

c ² = h ² + m ²

Budući da je m = b - n, zamjenjujemo:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ².

• Za ružičasti trokut morate:

h ² = a ² - n ²

Supstituirana je u prethodnoj jednadžbi:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Znajući da je n = a _* cos C, supstituira se u prethodnoj jednadžbi i dobiva se vrijednost strane c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Zakonom kosinusa strane se mogu izračunati kao:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Postoje slučajevi gdje mjere strana trokuta nisu poznate, već njihova visina i kutovi formirani na vrhovima. Za određivanje područja u tim slučajevima potrebno je primijeniti trigonometrijske omjere.

Znajući kut jednog od njegovih vrhova, noge se identificiraju i koristi se odgovarajući trigonometrijski omjer:

Na primjer, noga AB bit će suprotna za kut C, ali susjedna kutu A. Ovisno o strani ili nozi koja odgovara visini, druga se strana očisti kako bi se dobila vrijednost ovog.

vježbe

Prva vježba

Izračunajte površinu i visinu skale trokuta ABC, znajući da su njegove strane:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Riješenje

Kao podaci daju se mjerenja na tri strane skale trokuta.

Kako vrijednost visine nije dostupna, područje se može odrediti primjenom Heronove formule.

Prvo se izračunava poluperimetar:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Sada su vrijednosti supstituirane u Heronovoj formuli:

Poznavajući područje, može se izračunati visina u odnosu na stranu b. Iz opće formule, pročišćavajući to, imamo:

Površina = (strana _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Druga vježba

S obzirom na trokut skale ABC, čije su mjere:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Na vrhu B formira se kut od 50 °. Izračunajte visinu u odnosu na stranu c, perimetar i površinu tog trokuta.

Riješenje

U ovom slučaju imamo mjerenja dviju strana. Za određivanje visine potrebno je izračunati mjerenje treće strane.

Budući da je dan kut nasuprot danim stranama, moguće je primijeniti zakon kosinusa za određivanje mjere strane AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Gdje:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Podaci se zamjenjuju:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367,985

b = 67367,985

b = 19,18 m.

Budući da već imamo vrijednost triju strana, izračunava se perimetar tog trokuta:

P = strana a + strana b + strana c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Sada je moguće odrediti područje primjenom Heronove formule, ali prvo se mora izračunati poluperimetar:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Mjerenja strana i poluperimetar supstituirana su u Heronovoj formuli:

Konačno poznavajući područje, može se izračunati visina u odnosu na stranu c. Iz opće formule, čisteći to, morate:

Površina = (strana _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Treća vježba

U skale trokuta ABC strana b je 40 cm, strana c je 22 cm, a na vrhu A, formiran je kut 90 ^ili. Izračunajte površinu tog trokuta.

Riješenje

U ovom su slučaju dane mjere dviju strana skale trokuta ABC, kao i kut koji se formira u vrhu A.

Za određivanje područja nije potrebno izračunati mjeru strane a, jer se pomoću trigonometrijskih omjera koristi kut za pronalaženje.

Kako je kut nasuprot visini poznat, određivat će ga proizvod jedne strane i sinus kutova.

Zamjenom u formuli područja imamo:

• Površina = (strana _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Površina = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Površina = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Površina = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Površina = 880 cm ² ÷ 2

Površina = 440 cm ².

Reference

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehnički crtež: bilježnica s aktivnostima.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrije. CR tehnologija,.
3. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Barbosa, JL (2006). Ravna euklidska geometrija. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije. Meksiko: Limusa-Wiley
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Osnovna geometrija za studente. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Teme iz teorije geometrijskih grupa. University of Chicago Press.