PRAVI TRAPEZ: SVOJSTVA, ODNOSI I FORMULE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2024

Pravo Trapezoidni je stan lik sa četiri strane, tako da dvije od njih su paralelne jedna s drugom, pod nazivom baza i jedna od druge strane je okomita na bazama.

Iz tog su razloga dva unutarnja kuta ispravna, odnosno mjere 90 °. Odatle i naziv „pravokutnik“ koji je dat slici. Sljedeća slika desnog trapeza pojašnjava ove karakteristike:

Trapezni elementi

Elementi trapeza su:

-Bases

-Vertices

-Visina

-Unutarnji kutovi

-Srednja baza

-Diagonals

Detalje ćemo objasniti pomoću elemenata 1 i 2:

Slika 1. Desni trapez, naznačen time što imaju dva unutarnja kuta od 90 °: A i B. Izvor: F. Zapata.

Bočne strane desnog trapeza označene su malim slovima a, b, c i d. Kutovi figure ili vrhovi označeni su velikim slovima. Konačno, unutarnji kutovi su izraženi grčkim slovima.

Prema definiciji, osnove ovog trapeza su stranice a i b, koje su, kao što je promatrano, paralelne i imaju različite duljine.

Strana okomita na obje baze je strana c lijevo, što je visina h trapeza. I na kraju, postoji strana d, koja tvori akutni kut α sa stranom a.

Zbroj unutarnjih uglova četverokuta iznosi 360 °. Lako je vidjeti da kut koji nedostaje C na slici 180 - α.

Srednja baza je segment koji spaja sredinu točaka paralelnih strana (segment EF na slici 2).

Slika 2. Elementi desnog trapeza. Izvor: F. Zapata.

I na kraju su dijagonale d ₁ i d ₂, segmenti koji se spajaju sa suprotnim vrhovima i koji se presijecaju u točki O (vidi sliku 2).

Odnosi i formule

Visina trapeza h

Perimetar P

To je mjera konture i izračunava se sabiranjem strana:

Side d je izrazio pitagorejski teorem u obliku visine ili stranice c:

Zamjena u obodu:

Srednja baza

To je polu-zbroj osnova:

Ponekad se pronađe srednja baza izražena ovako:

područje

Područje A trapeza je produkt srednje baze puta visine:

Dijagonale, stranice i kutovi

Na slici 2 pojavljuje se nekoliko trokuta, i ispravni i ne ispravni. Pitagorejski teorem može se primijeniti na one koji su pravi trokut i na one koji nisu, teoreme o kosinzima i sinusima.

Na taj se način pronalaze odnosi između strana i između strana i unutarnjih kutova trapeza.

CPA trokut

To je pravokutnik, noge su jednake i vrijede b, dok je hipotenuza dijagonala d ₁, dakle:

DAB trokut

To je također pravokutnik, noge su a i c (ili također ayh), a hipotenuza je d ₂, tako da:

CDA trokut

Kako ovaj trokut nije pravi trokut, na njega se primjenjuje kosinusna teorema, ili također sinusni teorem.

Prema kosm teoremu:

CDP trokut

Ovaj trokut je pravi trokut i sa njegovim stranama izgrađeni su trigonometrijski omjeri kuta α:

Ali strana PD = a - b, dakle:

Također imate:

CBD trokut

U ovom trokutu imamo kut čija je vršna točka na C. Nije označen na slici, ali na početku je bilo istaknuto da je 180 - α. Ovaj trokut nije pravi trokut, pa se može primijeniti kosinuski teorem ili sinusni teorem.

Sada se lako može pokazati da:

Primjena teoreme kosinusa:

Primjeri pravih trapeza

Trapezi i posebice pravi trapezoidi nalaze se na mnogim stranama, a ponekad i ne uvijek u opipljivom obliku. Ovdje imamo nekoliko primjera:

Trapez kao element dizajna

Geometrijske figure obiluju arhitekturom mnogih zgrada, poput ove crkve u New Yorku, koja prikazuje strukturu u obliku pravokutnog trapeza.

Isto tako, trapezoidni oblik je čest kod dizajna spremnika, spremnika, noža (reznih ili točnih), ploča i u grafičkom dizajnu.

Slika 3. Anđeo unutar trapeza pravokutnika u njujorškoj crkvi. Izvor: David Goehring putem Flickr-a.

Generator trapeznih valova

Električni signali ne mogu biti samo kvadratni, sinusoidni ili trokutasti. Postoje i trapezoidni signali koji su korisni u mnogim krugovima. Na slici 4 nalazi se trapezoidni signal sastavljen od dva prava trapeza. Između njih tvore jedan jedini isosceles trapez.

Slika 4. Trapezni signal. Izvor: Wikimedia Commons.

U numeričkom proračunu

Da bi se numerički izračunao određeni integral funkcije f (x) između a i b, koristi se pravilo trapeza za približavanje područja ispod grafa f (x). Na sljedećoj slici s lijeve strane je integral približan s jednim desnim trapezom.

Bolja aproksimacija je ona na desnoj slici, s više desnih trapeza.

Slika 5. Određeni integral između a i b nije ništa drugo do područje ispod krivulje f (x) između ovih vrijednosti. Pravi trapez može poslužiti kao prva aproksimacija za takvo područje, ali što se više trapeza koristi, to je i veća aproksimacija. Izvor: Wikimedia Commons.

Greda s trapeznim opterećenjem

Sile nisu uvijek koncentrirane na jednoj točki, jer tijela na koja djeluju imaju vidljive dimenzije. Takav je slučaj mosta preko kojeg vozila neprekidno kruže, vode bazena na okomitim zidovima istog ili krova na kojem se nakuplja voda ili snijeg.

Zbog toga se snage raspoređuju na jedinicu duljine, površine ili volumena, ovisno o tijelu na koje djeluju.

U slučaju snopa, sila raspoređena po jedinici duljine može imati različite raspodjele, na primjer desni trapez prikazan u nastavku:

Slika 6. Opterećenja na gredu. Izvor: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

U stvarnosti, distribucije ne odgovaraju uvijek pravilnim geometrijskim oblicima poput ove, ali mogu biti dobra aproksimacija u mnogim slučajevima.

Kao sredstvo obrazovanja i učenja

Blokovi i slike geometrijskog oblika, uključujući trapeze, vrlo su korisni za upoznavanje djece s fascinantnim svijetom geometrije od rane dobi.

Slika 7. Blokovi s jednostavnim geometrijskim oblicima. Koliko je pravih trapeza skriveno u blokovima? Izvor: Wikimedia Commons.

Riješene vježbe

- Vježba 1

U desnom trapezu na slici 1 veća je baza 50 cm, a manja baza jednaka 30 cm, poznato je i da je kosa strana 35 cm. Pronaći:

a) Kut α

b) Visina

c) Perimetar

d) prosječna osnovica

e) Područje

f) Dijagonale

Rješenje za

Podaci izjave sažet su kako slijedi:

a = veća baza = 50 cm

b = manja baza = 30 cm

d = nagnuta strana = 35 cm

Da bismo pronašli kut α posjetimo odjeljak formula i jednadžbi da vidimo koji je najprikladniji za pružene podatke. Traženi kut nalazimo u nekoliko analiziranih trokuta, na primjer CDP.

Tamo imamo ovu formulu koja sadrži nepoznato i također podatke koje znamo:

Tako:

Čisti h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

A za dijagonalu d ₂:

Reference

1. Baldor, A. 2004. Geometrija ravnine i prostora s trigonometrijom. Kulturne publikacije.
2. Bedford, A. 1996. Statika. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometrija. 2014. Poligoni. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Pravokutni trapez. Oporavilo od: es.onlinemschool.com.
5. Automatsko rješavanje problema geometrije. Trapez. Oporavak od: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapez (geometrija). Oporavilo sa: es.wikipedia.org.