TRAPEZOID SKALENA: SVOJSTVA, FORMULE I JEDNADŽBE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Skalenski Trapezoidni je poligon s četiri strane, od kojih su dvije paralelne jedna s drugom, i sa svoja četiri unutarnjih kutova različitih mjera.

Četverokutni ABCD prikazan je dolje, gdje su stranice AB i DC paralelne jedna s drugom. To je dovoljno da je trapez, ali i da su unutarnji kutovi α, β, γ i δ različiti, stoga je trapez skalenski.

Slika 1. Četverostrani ABCD trapez je uvjet 1 i skala pod uvjetom 2. Izvor: F. Zapata.

Elementi trapezija skale

Ovdje su najkarakterističniji elementi:

-Osnove i stranice: paralelne strane trapeza su njegove osnove, a dvije paralelne strane su stranice.

U skale trapezoidne su osnove različite duljine, kao i bočne. Međutim, trapezoid skale može imati bočni duljina jednaka dnu.

-Median: je segment koji spaja midpoints od bočnih.

-Dijagonale: dijagonala trapeza je segment koji spaja dva suprotna vrha. Trapez, kao i svaki četverokut, ima dvije dijagonale. U skale trapez su različite dužine.

Ostali trapezoidi

Osim skale trapeza, postoje i drugi određeni trapezoidi: desni trapez i isosceles trapez.

Trapez je pravokutnik kada je jedan od njegovih kutova pravi, dok jednak jednako trapezoid imaju stranice jednake duljine.

Trapezni oblik ima brojne primjene na razini dizajna i industrije, poput konfiguracije krila zrakoplova, oblika svakodnevnih predmeta kao što su stolovi, nasloni stolica, ambalaža, torbice, tekstilni otisci i još mnogo toga.

Slika 2. Trapezni oblik uobičajen je u konfiguraciji krila zrakoplova. Izvor: Wikimedia Commons.

Svojstva

Svojstva skale trapeza navedena su u nastavku, od kojih se mnoga protežu i na ostale vrste trapeza. U nastavku, kada se govori o "trapezu", svojstvo će se primjenjivati ​​na bilo koju vrstu, uključujući skaline.

1. Medijan trapeza, to jest segmenta koji spaja sredinu njegovih neparalelnih strana, paralelan je bilo kojoj od osnova.

2. - Medijan trapeza ima duljinu koja je poluzvuk njegove baze i siječe dijagonale na sredini.

3. - Dijagonale trapeza presijecaju se u točki koja ih dijeli na dva dijela koja su proporcionalna kvocijentima baza.

4.- Zbroj kvadrata dijagonala trapeza jednak je zbroju kvadrata njegovih strana plus dvostrukog produkta njegovih baza.

5.- Segment koji spaja srednje točke dijagonala ima duljinu jednaku polovini razlike baza.

6.- Kutovi susjedni bočnim su dodatni.

7.- U skale trapez, duljine njegovih dijagonala su različite.

8.- Trapez ima upisani obim samo ako je zbroj njegovih baza jednak zbroju njegovih strana.

9.- Ako trapez ima upisani opseg, tada je kut s vrhom u središtu navedenog obima i stranama koje prolaze krajevima bočne strane trapeza ravna.

10.- Trapezoid skale nema prethodno određeni opseg, jedina vrsta trapeza je izosceles.

Formule i jednadžbe

Sljedeći odnosi skale trapeza odnose se na sljedeću sliku.

1.- Ako su AE = ED i BF = FC → EF - AB i EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 što je: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 i AG-GC-d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) slično CJ / JA = (c / a).

Slika 3. Medijan i dijagonala skale trapeza. Izvor: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Jednako:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

To znači:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ i β + γ = 180⁰

8.- Ako je α ≠ β ≠ γ ≠ δ, tada je d1 ≠ d2.

9.- Na slici 4 prikazan je skale trapez koji ima upisani obim, u ovom slučaju je tačno da:

a + c = d + b

10.- U skale s trapezom ABCD s upisanim opsegom središta O, vrijedi i sljedeće:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Slika 4. Ako je u trapezu utvrđeno da je zbroj njegovih baza jednak zbroju bočnih, u njemu je upisan obim. Izvor: F. Zapata.

Visina

Visina trapeza definira se kao segment koji ide od točke baze okomito na suprotnu bazu (ili njegovo produženje).

Sve visine trapeza imaju isto mjerenje h, tako da se većinu vremena riječ visina odnosi na njegovo mjerenje. Ukratko, visina je udaljenost ili razdvajanje između baza.

Visina h može se odrediti poznavanjem dužine jedne strane i jednog od kutova koji se nalaze uz bok:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

srednja

Mjera m medijane trapeza je polu-zbroj baza:

m = (a + b) / 2

dijagonala

d ₁ = √

d ₂ = √

Može se izračunati i ako je poznata samo duljina strana trapeza:

d ₁ = √

d ₂ = √

perimetar

Perimetar je ukupna duljina konture, to jest zbroj svih njegovih strana:

P = a + b + c + d

područje

Područje trapeza je poluzum njegovih baza pomnoženih s njegovom visinom:

A = h ∙ (a + b) / 2

Može se izračunati i ako je poznata medijan m i visina h:

A = m ∙ h

U slučaju da je poznata samo duljina strana trapeza, područje se može odrediti pomoću Heronove formule za trapez:

A = ∙ √

Gdje je s poluperimetar: s = (a + b + c + d) / 2.

Ostali omjeri za skale trapezij

Sjecište medijale s dijagonalama i paralele koja prolazi sjecištem dijagonala potiče druge odnose.

Slika 5. Ostali odnosi skale trapeza. Izvor: F. Zapata.

- Odnosi za srednji EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- Odnosi za segment paralelni s bazama KL i koji prolaze kroz sjecište točke dijagonala

Ako je KL - AB - DC s J ∈ KL, tada je KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Izgradnja skale trapez s ravnalom i kompasom

S obzirom na osnove duljina a i c, gdje a> cy sa stranicama duljina b i d, gdje je b> d, nastavite slijedeći ove korake (vidi sliku 6):

1.- S pravilom se izvlači segment glavnih AB.

2.- Od A se i na AB označite točku P, tako da je AP = c.

3.- Kompasom sa središtem u P i polumjerom d nacrtan je luk.

4. Napravljeno je središte na B s polumjerom b, crtanje luka koji presijeca luk izvučen u prethodnom koraku. Q nazivamo točkom sjecišta.

Slika 6. Izgradnja skale trapeza s obzirom na njegove stranice. Izvor: F. Zapata.

5.- Središtem na A nacrtajte luk polumjera d.

6.- Središtem u Q nacrtajte luk polumjera c koji presijeca luk nacrtan u prethodnom koraku. Točka presjeka zvat će se R.

7.- Segmenti BQ, QR i RA crtaju se s ravnalom.

8.- Četverostrani ABQR je skale trapez, jer je APQR paralelogram, što jamči da je AB - QR.

Primjer

Sljedeće duljine su date u cm: 7, 3, 4 i 6.

a) Odredite je li s njima moguće konstruirati skale trapez koji može zaokružiti krug.

b) Pronađite perimetar, područje, dužinu dijagonala i visinu trapeza, kao i polumjer upisanog kruga.

- Rješenje za

Koristeći segmente duljine 7 i 3 kao baze i one dužine 4 i 6 kao strane, može se konstruirati skale trapez koristeći postupak opisan u prethodnom odjeljku.

Ostaje provjeriti ima li upisani opseg, ali sjećajući se imovine (9):

To učinkovito vidimo:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Tada je zadovoljen uvjet postojanja upisanog obima.

- Rješenje b

perimetar

Perimetar P dobiva se dodavanjem strana. Budući da se baze sastoje od 10, a bočne također, perimetar je:

P = 20 cm

područje

Za određivanje područja, poznatog samo njegovih strana, primjenjuje se odnos:

A = ∙ √

Gdje je s poluperimetar:

s = (a + b + c + d) / 2.

U našem slučaju, poluperimetar vrijedi s = 10 cm. Nakon zamjene odgovarajućih vrijednosti:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Ostaci:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Visina

Visina h povezana je s područjem A sljedećim izrazom:

A = (a + c) ∙ h / 2, iz koje visine možemo dobiti očišćenjem:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Polumjer upisanog kruga

Polumjer upisanog kruga jednak je polovini visine:

r = h / 2 = 1.984 cm

dijagonala

Konačno pronalazimo duljinu dijagonala:

d ₁ = √

d ₂ = √

Pravilno nadomještanje vrijednosti koje imamo:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

To jest: d ₁ = 4,69 cm i d ₂ = 8,49 cm

Slika 7. Scalene trapez koji ispunjava uvjet postojanja upisanog oboda. Izvor: F. Zapata.

Vježba riješena

Odredite unutarnje kutove trapeza s bazama AB = a = 7, CD = c = 3 i bočnim kutovima BC = b = 6, DA = d = 4.

Riješenje

Za određivanje kutova može se primijeniti kosinusna teorema. Na primjer, kut ∠A = α određuje se iz trokuta ABD s AB = a = 7, BD = d2 = 8,49, i DA = d = 4.

Teorema kosinusa primijenjena na ovaj trokut izgleda ovako:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), to jest:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Rješavajući za, kosinus kuta α dobiva se:

Cos (α) = -1/8

To jest, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Ostali kutovi dobivaju se na isti način, a njihove vrijednosti su:

β = 41,41 °; γ = 138,59⁰ i na kraju δ = 82,82⁰.

Reference

1. CEA (2003). Elementi geometrije: s vježbama i kompasom. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Redakcija Patria.
3. Freed, K. (2007). Otkrijte poligone. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalizirani poligoni. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Matematika prvi semestar Tacaná. Iger.
6. Jr. geometrija. (2014). Poligona. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematika: obrazloženje i aplikacije (deseto izdanje) Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Urednički zbornik.
9. Wikipedia. Trapez. Oporavak od: es.wikipedia.com