DISKRETNA FOURIEROVA TRANSFORMACIJA: SVOJSTVA, APLIKACIJE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Diskretne Fourierove transformacije je numerička metoda koja se koristi za definiranje uzoraka koji se odnose na spektralnim frekvencija koje čine signal. Proučava periodične funkcije u zatvorenim parametrima, dobivajući još jedan diskretni signal kao rezultat.

Da bi se dobila diskretna Fourierova transformacija N točaka, na diskretnom signalu moraju se ispuniti sljedeća dva uvjeta na nizu x

TDF

Diskretna Fourierova transformacija može se definirati kao N-točka uzorkovanja Fourierove transformacije.

Tumačenje diskretne Fourierove transformacije

Izvor: Pexels

Postoje 2 gledišta s kojih se rezultati dobiveni na nizu x _s mogu interpretirati kroz diskretnu Fourierovu transformaciju.

-Prvi odgovara spektralnim koeficijentima koji su već poznati iz Fourierove serije. Promatra se u diskretnim periodičnim signalima, pri čemu se uzorci podudaraju sa redoslijedom x _s.

- Druga se bavi spektrom diskretnog aperiodnog signala, s uzorcima koji odgovaraju nizu x _s.

Diskretna transformacija približna je spektru izvornog analognog signala. Njegova faza ovisi o uzorcima uzorkovanja, dok njegova veličina ovisi o intervalu uzorkovanja.

Svojstva

Algebrični temelji strukture čine obrazloženje za sljedeće odjeljke.

linearnost

C. S _n → C. F; Ako je niz pomnožen skalarom, bit će i njegova transformacija.

T _n + V _n = F + F; Pretvorba zbroja jednaka je zbroju transformacija.

dvojnost

F → (1 / N) S- _k; Ako se diskretna Fourierova transformacija preračuna u već transformirani izraz, dobije se isti izraz, pomaknut s N i obrnut u odnosu na okomitu os.

saziv

Slijedeći slične ciljeve kao u Laplaceovoj transformaciji, savijanje funkcija odnosi se na proizvod između njihovih Fourierovih transformacija. Convolucija se također odnosi na diskretna vremena i odgovorna je za mnoge moderne postupke.

X _n * R _n → F.F; Pretvorba svitka jednaka je proizvodu transformacija.

X _n. R _n → F * F; Pretvorba proizvoda jednaka je zamotanju transformacija.

premještanje

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km}; Ako se niz odloži s m uzorcima, njegov utjecaj na diskretnu transformaciju bit će izmjena kuta definiranog s (2π / N) km.

Simetrija

X _t = X * _t = X _t

Modulacija

W ^-nm _N. x ↔ X _t

Proizvod

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetrija

X ↔ X _t = X * _t

Konjugirana

x * ↔ X * _t

Jednadžba parsevala

U odnosu na konvencionalnu Fourierovu transformaciju ima nekoliko sličnosti i razlika. Fourierova transformacija pretvara niz u čvrstu liniju. Na ovaj se način kaže da je rezultat Fourierove varijable složenu funkciju stvarne varijable.

Za razliku od toga, diskretna Fourierova transformacija prima diskretni signal i pretvara ga u drugi diskretni signal, odnosno, niz.

Čemu služi diskretna Fourierova transformacija?

Oni služe prvenstveno za znatno pojednostavljenje jednadžbi, pretvarajući izvedene izraze u elemente moći. Označavanje diferencijalnih izraza u integrirajućim polinomnim oblicima.

U optimizaciji, modulaciji i modeliranju rezultata djeluje kao standardizirani izraz te je čest resurs za inženjering nakon nekoliko generacija.

Izvor: pixabay

Povijest

Ovaj matematički koncept uveo je Joseph B. Fourier 1811. godine, razvijajući traktat o širenju topline. Brzo su ga usvojile različite grane znanosti i inženjerstva.

Utvrđen je kao glavni radni alat u proučavanju jednadžbi s djelomičnim derivatima, čak uspoređujući ga s postojećim radnim odnosom između Laplasove transformacije i običnih diferencijalnih jednadžbi.

Svaka funkcija koja se može raditi s Fourierovom transformacijom mora imati null izvan definiranog parametra.

Diskretna Fourierova transformacija i njena inverzija

Diskretna transformacija dobiva se kroz izraz:

Nakon što je zadan diskretni niz X

Obrnuta diskretna Fourierova transformacija definirana je izrazom:

Obrnuti PTO

Jednom kada se postigne diskretna transformacija, ona omogućuje definiranje slijeda u vremenskoj domeni X.

s krilima

Postupak parametrizacije koji odgovara diskretnoj Fourierovoj transformaciji nalazi se u prozoru. Za rad transformacije moramo ograničiti redoslijed u vremenu. U mnogim slučajevima dotični signali nemaju ta ograničenja.

Niz koji ne zadovoljava kriterije veličine koji se primjenjuju na diskretnu transformaciju može se množiti funkcijom "prozora" V, definirajući ponašanje niza u kontroliranom parametru.

X. V

Širina spektra ovisit će o širini prozora. Kako se širina prozora povećava, izračunata transformacija bit će uža.

Prijave

Proračun temeljnog rješenja

Diskretna Fourierova transformacija je moćan alat za proučavanje diskretnih nizova.

Diskretna Fourierova transformacija pretvara kontinuiranu varijablu u diskretnu varijablu.

Cauchijev problem za jednadžbu topline predstavlja često polje primjene diskretne Fourierove transformacije . Tamo gdje se stvara osnovna funkcija toplinske ili Dirichletove jezgre, koja se odnosi na vrijednosti uzorkovanja u definiranom parametru.

Teorija signala

Opći razlog primjene diskretne Fourierove transformacije u ovoj grani uglavnom je zbog karakterističnog raspadanja signala kao beskonačnog superpozicije lako obradivih signala.

To može biti zvučni val ili elektromagnetski val, diskretna Fourierova transformacija izražava je u superpoziciji jednostavnih valova. Ova je zastupljenost dosta česta u elektrotehnici.

Serija Fourier

Serije su definirane u smislu Cosines i Sines. Oni služe da olakšaju rad s općim periodnim funkcijama. Kada se primijene, dio su tehnika rješavanja običnih i djelomičnih diferencijalnih jednadžbi.

Fourierove serije čak su i općenitije od Taylorovih serija jer razvijaju periodične diskontinuirane funkcije koje nemaju Taylor-ove serije.

Ostali oblici serije Fourier

Da bismo analitički shvatili Fourierovu transformaciju, važno je pregledati ostale načine na koje se može naći Fourierov niz, sve dok ne možemo definirati Fourierov niz u njegovoj složenoj notaciji.

-Fourier serija o funkciji razdoblja 2L:

Razmatra se interval koji nudi prednosti kada se iskoriste simetrične karakteristike funkcija.

Ako je f parno, serija Fourier uspostavljena je kao niz Kozina.

Ako je f neparan, Fourier serija uspostavlja se kao niz Sines.

-Kompleksna nota Fourierove serije

Ako imamo funkciju f (t) koja ispunjava sve zahtjeve Fourierove serije, moguće ju je označiti u intervalu koristeći njegovu složenu notaciju:

Primjeri

U pogledu izračuna temeljnog rješenja predstavljeni su sljedeći primjeri:

S druge strane, sljedeći su primjeri primjene diskretne Fourierove transformacije na polju signalne teorije:

- Problemi s identifikacijom sustava Uspostavljeni f i g

-Problem s dosljednošću izlaznog signala

-Problemi sa filtriranjem signala

vježbe

Vježba 1

Izračunajte diskretnu Fourierovu transformaciju za sljedeći niz.

PTO x možete definirati kao:

X _t = {4, -j2, 0, j2} za k = 0, 1, 2, 3

Vježba 2

Želimo odrediti spektralni signal definiran izrazom x (t) = e ^-t putem digitalnog algoritma. Ako je koeficijent traženja maksimalne frekvencije f _m = 1Hz. Harmonika odgovara f = 0,3 Hz. Pogreška je ograničena na manje od 5%. Izračunajte f _s, D i N.

Uzimajući u obzir teoremu uzorkovanja f _s = 2f _m = 2 Hz

Odabrana je frekvencijska razlučivost f ₀ = 0,1 Hz, iz koje dobivamo D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz je frekvencija koja odgovara indeksu k = 3, gdje je N = 3 × 8 = 24 uzorka. Označavajući da je f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Budući da je cilj dobiti najmanju moguću vrijednost za N, sljedeće se vrijednosti mogu smatrati rješenjem:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Reference

1. Savladavanje diskretne Fourierove transformacije u jednoj, dvije ili više dimenzija: Zamke i artefakti. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. srpnja. 2013
2. DFT: Vlasnički priručnik za diskretnu pregradu od forije. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. siječnja. devetnaest devedeset pet
3. Digitalna obrada signala: teorija i praksa. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformi i brzi algoritmi za analizu signala i reprezentacije. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. prosinca. 2012
5. Diskretne i kontinuirane Fourierove transformacije: analiza, primjena i brzi algoritmi. Eleanor Chu. CRC Press, 19. ožujka. 2008