FOURIEROVA TRANSFORMACIJA: SVOJSTVA, PRIMJENE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Fourierove transformacije je analitička adekvatnosti metoda usmjerena na integriranja funkcija koje pripada obitelji integralnih preobražava. Sastoji se od redefiniranja funkcija f (t) u smislu Cos (t) i Sen (t).

Trigonometrijski identiteti ovih funkcija, zajedno s njihovim izvedenim i antiderivaškim karakteristikama, služe za definiranje Fourierove transformacije putem sljedeće složene funkcije:

Što je istina sve dok izraz ima smisla, to jest kada je nepravilni integral konvergiran. Algebrijski se kaže da je Fourierova transformacija linearni homeomorfizam.

Svaka funkcija koja se može raditi s Fourierovom transformacijom mora imati null izvan definiranog parametra.

Svojstva

Izvor: pexels

Fourierova transformacija ispunjava sljedeća svojstva:

Postojanje

Za provjeru postojanja Fourierove transformacije u funkciji f (t) definiranoj u stvarima R, moraju biti ispunjena sljedeća dva aksioma:

1. f (t) je komadno kontinuiran za sve R
2. f (t) je integrabilna u R

Linearnost Fourierove transformacije

Neka su M (t) i N (t) bilo koje dvije funkcije s određenim Fourierovim transformacijama, s bilo kojim konstantama a i b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Što je također potkrijepljeno linearnošću istoimenog cjelovitog djela.

Fourierova transformacija derivata

Postoji funkcija f koja je kontinuirana i integrabilna u sve stvarne podatke, gdje:

A izvedenica f (f ') je kontinuirano i dijelom definirana kroz R

Fourierova transformacija derivata definirana je integracijom dijelova, sljedećim izrazom:

F (z) = iz F (z)

U izvedenicama višeg reda primijenit će se na homologan način, gdje za sve n 1 imamo:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Diferencijacija Fourierove transformacije

Postoji funkcija f koja je kontinuirana i integrabilna u sve stvarne podatke, gdje:

Fourierova transformacija prijevoda

Za svaki θ koji pripada skupu S i T koji pripada skupu S 'imamo:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

S τ radio kao prevođenja operatora na vektor a.

Prijevod Fourierove transformacije

Za svaki θ koji pripada skupu S i T koji pripada skupu S 'imamo:

τ _a F = F τ _a F = F

Za sve od kojih pripadaju R

Fourierova transformacija skale

Za sve θ koji pripada skup S. T koji pripada podešene S '

λ koji pripada R - {0} imamo:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Ako je f kontinuirana i jasno integrabilna funkcija, gdje je> 0. Tada:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Kako bismo pokazali ovaj rezultat, možemo nastaviti s promjenom varijable.

Kada je T → +, onda s = pri → + ∞

Kad je T → - tada s = pri → - ∞

Simetrija

Da bi se proučila simetrija Fourierove transformacije, identitet Parsevala i Plancherelove formule moraju biti potvrđeni.

Imamo θ i δ koji pripadaju S. Odatle se može zaključiti da:

dobivanje

1 / (2π) ^d { F, F } Parsevalski identitet

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherelova formula

Fourierova transformacija proizvodnog savijanja

Slijedeći slične ciljeve kao u Laplaceovoj transformaciji, savijanje funkcija odnosi se na proizvod između njihovih Fourierovih transformacija.

Imamo f i g kao 2 ograničene, definirane i potpuno integrirane funkcije:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuitet i pad u beskonačnost

Čemu služi Fourierova transformacija?

On služi prvenstveno za značajno pojednostavljenje jednadžbi, dok pretvaranje izvedenih izraza u elemente snage, označavanje diferencijalnih izraza u obliku integrabilnih polinoma.

U optimizaciji, modulaciji i modeliranju rezultata djeluje kao standardizirani izraz te je čest resurs za inženjering nakon nekoliko generacija.

Serija Fourier

Nizovi su definirani u smislu Cosines i Sines; Oni služe da olakšaju rad s općim periodnim funkcijama. Kada se primijene, dio su tehnika rješavanja običnih i djelomičnih diferencijalnih jednadžbi.

Fourierove serije čak su i općenitije od Taylorovih serija jer razvijaju periodične diskontinuirane funkcije koje nemaju Taylor-ove serije.

Ostali oblici serije Fourier

Da bismo analitički shvatili Fourierovu transformaciju, važno je pregledati ostale načine na koje se može naći Fourierov niz, sve dok ne možemo definirati Fourierov niz u njegovoj složenoj notaciji.

-Fourier serija o funkciji razdoblja 2L

Mnogo je puta potrebno prilagoditi strukturu Fourierovog niza periodičnim funkcijama čije je razdoblje p = 2L> 0 u intervalu.

-Fourier serije s neobičnim i parnim funkcijama

Razmatra se interval koji nudi prednosti kada se iskoriste simetrične karakteristike funkcija.

Ako je f parno, serija Fourier uspostavljena je kao niz Kozina.

Ako je f neparan, Fourier serija uspostavlja se kao niz Sines.

-Kompleksna nota Fourierove serije

Ako imamo funkciju f (t), koja ispunjava sve zahtjeve za razvoj serije Fourier, moguće ju je označiti u intervalu koristeći njegovu složenu notaciju:

Prijave

Izvor: pexels

Proračun temeljnog rješenja

Fourierova transformacija je moćan alat za proučavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi linearnog tipa s konstantnim koeficijentima. Podjednako se prijavljuju za funkcije s neograničenim domenama.

Poput Laplaceove transformacije, Fourierova transformacija pretvara djelomičnu izvedenu funkciju u običnu diferencijalnu jednadžbu koja je mnogo jednostavnija za rad.

Cauchyjev problem za jednadžbu topline predstavlja polje česte primjene Fourierove transformacije u kojem se stvara jezgra topline ili Dirichletova funkcija jezgre.

Što se tiče izračunavanja temeljnog rješenja, prikazani su sljedeći slučajevi gdje je uobičajeno pronaći Fourierovu transformaciju:

Teorija signala

Opći razlog za primjenu Fourierove transformacije u ovoj grani uglavnom je zbog karakterističnog raspadanja signala kao beskonačnog superpozicija lako obradivih signala.

To može biti zvučni val ili elektromagnetski val, Fourierova transformacija to izražava superpozicijom jednostavnih valova. Ova je zastupljenost dosta česta u elektrotehnici.

S druge strane, jesu primjeri primjene Fourierove transformacije u području teorijske signale:

Primjeri

Primjer 1

Definirajte Fourierovu transformaciju za sljedeći izraz:

Također ga možemo predstaviti na sljedeći način:

F (t) = Sen (t)

Pravokutni impuls je definiran:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourierova transformacija primjenjuje se na sljedeći izraz koji nalikuje modulu teoreme.

f (t) = p (t) Sen (t)

Gdje je F = (1/2) i

A Fourierova transformacija je definirana:

F = (1/2) i

Primjer 2

Definirajte Fourierovu transformaciju za izraz:

Budući da je f (h) jednolika funkcija, može se reći da

Integracija po dijelovima primjenjuje se odabirom varijabli i njihovih razlika kako slijedi

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = h (e ^-H) ² v = (e ^-h) ² /2

Zamjena koju imate

Nakon ocjenjivanja prema temeljnom teoremu izračuna

Primjenjujući prethodna saznanja o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, izraz se označava kao

Za dobivanje K ocjenjujemo

Konačno, Fourierova transformacija izraza definirana je kao

Predložene vježbe

• 

• 

• Dobijte transformaciju izraza W / (1 + w ²)

Reference

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier analiza. Addison - Wesley Iberoamericana, Autonomno sveučilište u Madridu, 1995.
2. Lavovi, JL, Matematička analiza i numeričke metode za znanost i tehnologiju. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, Gaussova jezgra imaju samo gausove maksimizere. Izumiti. Matematika. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series i Integrals. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Pariz, 1966.