IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE: SASTAV, VRSTE I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

U izometričke transformacije su promjene položaja ili orijentaciju danog lika koji ne mijenjaju oblik ili veličinu toga. Te se transformacije klasificiraju u tri vrste: prijevod, rotacija i refleksija (izometrija). Općenito, geometrijske transformacije omogućuju vam stvaranje novog lika iz zadanog.

Transformacija u geometrijski lik znači da je na neki način pretrpjela određenu promjenu; to jest, bilo je izmijenjeno. Prema smislu originala i sličnom u ravnini, geometrijske transformacije možemo svrstati u tri vrste: izometrijske, izomorfne i anamorfne.

karakteristike

Izometrijske transformacije nastaju kada su sačuvane veličine segmenata i kutovi između izvorne figure i transformirane figure.

U ovoj vrsti transformacije nije izmijenjen ni oblik ni veličina figure (one su u skladu), to je samo promjena njegovog položaja, bilo orijentacije ili smjera. Na taj će način početne i završne brojke biti slične i geometrijski skladne.

Izometrija se odnosi na jednakost; drugim riječima, geometrijske figure bit će izometrijske ako imaju isti oblik i veličinu.

Kod izometrijskih transformacija jedino što se može primijetiti je promjena položaja u ravnini, dolazi do krutog gibanja zahvaljujući kojem lik prelazi iz početnog položaja u konačni. Ta se figura naziva homolognom (sličnom) originalu.

Postoje tri vrste pokreta koji klasificiraju izometrijsku transformaciju: prijevod, rotacija i refleksija ili simetrija.

vrste

Prevođenjem

To su one izometrije koje omogućuju pomicanje svih točaka ravnine u pravoj liniji u zadanom smjeru i udaljenosti.

Kad se lik transformira prijevodom, ona ne mijenja orijentaciju u odnosu na početni položaj, niti gubi svoje unutarnje mjere, mjere svojih kutova i strana. Ova vrsta pomicanja definirana je s tri parametra:

- Jedan smjer, koji može biti vodoravni, vertikalni ili kosi.

- Jedan smjer, koji može biti lijevo, desno, gore ili dolje.

- Udaljenost ili veličina, što je duljina od početnog položaja do kraja bilo koje točke koja se kreće.

Da bi se ispunila izometrijska transformacija prijevodom, moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

- Figura uvijek mora zadržati sve svoje dimenzije, linearne i kutne.

- Slika ne mijenja svoj položaj u odnosu na vodoravnu os; to jest, njegov kut nikad ne varira.

- Prijevodi će se uvijek sažeti u jednom, bez obzira na broj izvršenih prijevoda.

U ravnini u kojoj je središte točka O, s koordinatama (0,0), prijevod je definiran vektorom T (a, b), koji označava pomicanje početne točke. To znači:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Na primjer, ako se na koordinatnu točku P (8, -2) primijeni prijevod T (-4, 7), dobit ćemo:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Na sljedećoj slici (lijevo) vidi se kako se točka C pomakla prema podudaranju s D. To je učinila u okomitom smjeru, smjer prema gore, a CD udaljenosti ili magnitude 8 metara. Na desnoj slici uočava se prijevod trokuta:

Rotacijom

To su one izometrije koje omogućuju da lik rotira sve točke ravnine. Svaka se točka okreće slijedeći luk koji ima konstantan kut i utvrđenu fiksnu točku (središte rotacije).

Odnosno, sva rotacija bit će definirana središtem rotacije i kutom rotacije. Kad se lik transformira rotacijom, zadržava mjeru njegovih kutova i strana.

Rotacija se odvija u određenom smjeru, pozitivna je kad je rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i negativna kada je rotacija u smjeru kazaljke na satu.

Ako se točka (x, y) rotira u odnosu na ishodište - to jest, njegovo središte rotacije je (0,0) -, pod kutom od 90 ^ili 360, ^ili će koordinate točaka biti:

U slučaju da rotacija nema središte u izvorištu, izvorište koordinatnog sustava mora se prenijeti na novo dano ishodište, kako bi se mogla rotirati figura s ishodištem kao središtem.

Na primjer, ako je točka P (-5,2) primijenjena rotacija za 90 ^ili, oko ishodišta i pozitivno su njegove nove koordinate (-2.5).

Odrazom ili simetrijom

To su one transformacije koje invertiraju točke i figure ravnine. Ova inverzija može biti u odnosu na točku ili može biti u odnosu na crtu.

Drugim riječima, u ovoj vrsti transformacije svaka je točka izvorne figure povezana s drugom točkom (slikom) homologne figure, na takav način da su točka i njegova slika na istoj udaljenosti od linije koja se zove os simetrije., Tako će lijevi dio figure biti odraz desnog dijela, bez promjene oblika ili dimenzija. Simetrija transformira lik u drugi jednak, ali u suprotnom smjeru, kao što se može vidjeti na sljedećoj slici:

Simetrija je prisutna u mnogim aspektima, kao što su neke biljke (suncokreti), životinje (paun) i prirodne pojave (pahulje). Čovjek to odražava na svom licu, što se smatra faktorom ljepote. Odbojnost ili simetrija mogu biti dvije vrste:

Središnja simetrija

To je ta transformacija koja se događa u odnosu na točku, u kojoj lik može promijeniti svoju orijentaciju. Svaka točka izvorne figure i njezina slika nalaze se na istoj udaljenosti od točke O, nazvane središte simetrije. Simetrija je središnja kada:

- I točka i njegova slika i središte pripadaju istoj liniji.

- Zakretanjem od 180 ^o u sredini O dobije se broj jednak izvorniku.

- Linije početne figure paralelne su s linijama formirane figure.

- Osjećaj figure se ne mijenja, uvijek će biti u smjeru kazaljke na satu.

Sastav rotacije

Sastav dvaju zavoja s istim središtem rezultira drugim obratom, koji ima isto središte i čija će amplituda biti zbroj amplituda dvaju zavoja.

Ako središte zavoja ima drugačije središte, presjek bisektora dva segmenta sličnih točaka bit će središte skretanja.

Sastav simetrije

U tom će slučaju sastav ovisiti o načinu nanošenja:

- Ako se ista simetrija primijeni dva puta, rezultat će biti identitet.

- Ako se primijene dvije simetrije u odnosu na dvije paralelne osi, rezultat će biti prijevod, a njegov pomak dvostruko je udaljeniji od tih osi:

- Ako se primijene dvije simetrije u odnosu na dvije osi koje se presijecaju u točki O (sredina), dobit će se rotacija sa središtem u O i njegov kut će biti dvostruko veći od kuta oblikovanog osovinama:

Reference

1. V Bourgeois, JF (1988). Materijali za izradu geometrije. Madrid: Sinteza.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Tehnički crtež II. Paraninfo SA: Izdanja tornja.
3. Coxeter, H. (1971). Osnove geometrije. Meksiko: Limusa-Wiley
4. Coxford, A. (1971). Geometrija Pristup transformaciji. SAD: Braća Laidlaw.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukcija i formalizacija u podučavanju krutih transformacija u CABRI okruženju.
6. , PJ (1996). Skupina izometrija ravnine. Madrid: Sinteza.
7. Suárez, AC (2010). Transformacije u ravnini. Gurabo, Portoriko: AMCT.