- Dokaz osnovnog aritmetičkog teorema
- Jedinstvenost primarne faktorizacije
- Prijave
- Glavni brojevi u prirodi
- Prime brojevi i internetska kupovina
- Riješene vježbe
- - Vježba 1
- Riješenje
- - Vježba 2
- Riješenje
- Reference
Temeljni teorem aritmetike navodi da svaki prirodni broj veći od 1 može se rastaviti kao produkt prostih brojeva - neki se mogu ponoviti - i ovaj oblik je jedinstven za taj broj, iako je redoslijed faktora mogu biti različiti.
Podsjetimo da je primarni broj p onaj koji samo priznaje sebe i 1. kao pozitivne djelitelje. Sljedeći su brojevi prazna: 2, 3, 5, 7, 11, 13 i tako dalje, budući da postoje beskonačnosti. Broj 1 se ne smatra premijerom, jer ima samo jednog djelitelja.
Slika 1. Euklid (lijevo) je dokazao osnovnu tezu aritmetike u svojoj knjizi Elementi (350. pr. Kr.), A prvi potpuni dokaz zaslužan je za Carla F. Gaussa (1777-1855) (desno). Izvor: Wikimedia Commons.
Sa svoje strane, brojevi koji nisu u skladu s gore navedenim nazivaju se složeni brojevi, poput 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Uzmimo za primjer broj 10 i odmah vidimo da se može razgraditi kao produkt 2 i 5:
10 = 2 × 5
I 2 i 5 su, zapravo, glavni brojevi. Teorema kaže da je to moguće za bilo koji broj n:
Gdje su p 1, p 2, p 3 … p r primarni brojevi, a k 1, k 2, k 3,… k r su prirodni brojevi. Dakle, primarni brojevi djeluju poput građevnih blokova iz kojih su množenjem izgrađeni prirodni brojevi.
Dokaz osnovnog aritmetičkog teorema
Započinjemo pokazom da se svaki broj može rastaviti u glavne faktore. Dopustiti biti prirodni broj n> 1, premošćen ili složeni.
Na primjer, ako je n = 2, može se izraziti kao: 2 = 1 × 2, što je primarno. Na isti način nastavite sa sljedećim brojevima:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Nastavljamo ovako, rastavljajući sve prirodne brojeve sve dok ne stignemo do broja n -1. Da vidimo možemo li to učiniti sa sljedećim brojem: n.
Ako je n prost, možemo ga rastaviti kao n = 1 × n, ali pretpostavimo da je n složeni i ima djelitelj d, logično manje od n:
1 <d <n.
Ako je n / d = p 1, a p 1 primarni broj, n je zapisan kao:
n = p 1.d
Ako je d prost broj, nema više što učiniti, ali ako nije, postoji broj n 2 koji je djelitelj od d i manji od ovoga: n 2 <d, pa se d može zapisati kao proizvod n 2 drugi osnovni broj p 2:
d = p 2 n 2
To bi kod zamjene izvornog broja n dalo:
n = p 1.p 2.n 2
Sada pretpostavimo da n 2 nije ni pravan broj, a pišemo ga kao proizvod pravog broja p 3, njegovim razdjelnikom n 3, tako da n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3.n 3 → n = p 1 p 2 p 3.n 3
Konačno ponavljamo ovaj postupak dok ne dobijemo:
n = p 1.p 2.p 3 … p r
To znači da je moguće složiti sve cijele brojeve od 2 do broja n, kao produkta pravih brojeva.
Jedinstvenost primarne faktorizacije
Provjerimo da je, osim u redoslijedu faktora, ta dekompozicija jedinstvena. Pretpostavimo da se n može pisati na dva načina:
n = p 1.p 2.p 3 … p r = q 1. q 2.q 3 …..q s (sa r ≤ s)
Naravno da su q 1, q 2, q 3… također glavni brojevi. Budući da se p 1 dijeli (q 1. q 2.q 3 …..q s), tada je p 1 jednak bilo kojem od “q”, nije važno koji je, pa možemo reći da je p 1 = q 1. Dijelimo n na p 1 i dobivamo:
p 2.p 3 … p r = . q 2.q 3 …..q s
Ponavljamo postupak dok sve ne podijelimo s p r, tada dobivamo:
1 = q r + 1 … q s
Ali nije moguće doći do q r + 1 … q s = 1 kada je r <s, samo ako je r = s. Iako priznajući da je r = s, također se priznaje da su "p" i "q" isti. Stoga je raspadanje jedinstveno.
Prijave
Kao što smo već rekli, glavni brojevi predstavljaju, ako hoćete, atome brojeva, njihove osnovne komponente. Dakle, osnovna teorija aritmetike ima brojne primjene, najočitija: radimo s većim brojevima lakše ako ih izrazimo kao proizvod manjih brojeva.
Na isti način možemo pronaći najveći zajednički višestruki (LCM) i najveći zajednički razdjelnik (GCF), postupak koji nam pomaže da lakše dopunimo frakcije, pronađemo korijene velikog broja ili radimo s radikalima, racionaliziramo i riješimo problematika primjene vrlo raznolike prirode.
Nadalje, prazni brojevi vrlo su zagonetni. Uzorak u njima još nije prepoznat i nije moguće znati koji će biti sljedeći. Najveća dosad pronađena su računala i ima 24.862.048 znamenki, iako se novi primarni brojevi pojavljuju rjeđe svaki put.
Glavni brojevi u prirodi
Cicadas, cicadidosi ili cicadas koji žive na sjeveroistoku Sjedinjenih Država pojavljuju se u ciklusima od 13 ili 17 godina. Oba su glavna broja.
Na ovaj se način cikada izbjegava podudarati s grabežljivcima ili natjecateljima koji imaju drugačija razdoblja rođenja, niti se različite sorte cikada međusobno natječu, jer se ne podudaraju tijekom iste godine.
Slika 2. Magicicada cicada istočnih Sjedinjenih Država pojavljuje se svakih 13 do 17 godina. Izvor: Pxfuel.
Prime brojevi i internetska kupovina
Glavni brojevi koriste se u kriptografiji kako bi podatke o kreditnoj kartici čuvali u tajnosti prilikom kupovine putem interneta. Na taj se način podaci da kupac dospije u trgovinu upravo bez da se izgube ili ne padnu u ruke beskrupuloznih ljudi.
Kako? Podaci na karticama kodirani su brojem N koji se može izraziti kao proizvod pravih brojeva. Ti primarni brojevi su ključ koji podaci otkrivaju, ali javnosti su nepoznati, mogu se dekodirati samo na webu na koji su usmjereni.
Dekomponiranje broja u faktore je lak zadatak ako su brojevi mali (vidi riješene vježbe), ali u ovom slučaju se kao ključ koriste osnovni brojevi od 100 znamenki, koji prilikom množenja daju mnogo veće brojeve, čije detaljno razlaganje uključuje ogroman zadatak,
Riješene vježbe
- Vježba 1
Razbiti 1029 na glavne čimbenike.
Riješenje
1029 je djeljivo sa 3. Poznato je jer je dodavanjem njegovih znamenki zbroj kraći 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Kako redoslijed faktora ne mijenja proizvod, možemo početi tamo:
1029. 3
343
1029 = 3 × 343
S druge strane, 343 = 7 3, tada:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
A budući da su i 3 i 7 glavni brojevi, ovo je raspad 1029. godine.
- Vježba 2
Faktor trinomija x 2 + 42x + 432.
Riješenje
Trinom je prepisan u obliku (x + a). (x + b) i trebamo pronaći vrijednosti a i b, tako da:
a + b = 42; ab = 432
Broj 432 razgrađuje se u osnovne faktore i odatle se izabire odgovarajuća kombinacija pokušajem i pogreškom tako da dodani faktori daju 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Odavde postoji nekoliko mogućnosti za pisanje 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Sve se to može pronaći kombiniranjem proizvoda između glavnih faktora, ali za rješenje predložene vježbe, jedina pogodna kombinacija je: 432 = 24 × 18 od 24 + 18 = 42, tada:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Reference
- Baldor, A. 1986. Teorijska praktična aritmetika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Skriveni kod prirode. Oporavak od: bbc.com.
- De Leon, Manuel. Prime brojevi: čuvari interneta. Oporavilo sa: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Teorija broja I: Osnovna teorija aritmetike. Oporavak od: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Temeljna teorija aritmetike. Oporavilo sa: es.wikipedia.org.