BINOMNI TEOREM: DOKAZ I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Binomni teorem je jednadžba koja nam govori kako razviti izraz oblika (A + B) ⁿ za neki prirodan broj n. Binom nije ništa više od zbroja dvaju elemenata, poput (a + b). Omogućuje nam i da za termin koji daje ^k b ^n-k znamo koliki je koeficijent koji ga prati.

Ovu teoremu obično pripisujemo engleskom izumitelju, fizičaru i matematičaru Sir Isaacu Newtonu; Međutim, pronađeni su razni zapisi koji govore da je njegovo postojanje već bilo poznato na Bliskom Istoku, oko 1000. godine.

Kombinatorički brojevi

Binomni teorem matematički nam govori sljedeće:

U ovom su izrazu a i b stvarni brojevi i n je prirodni broj.

Prije nego što damo demonstraciju, pogledajmo neke osnovne pojmove koji su potrebni.

Kombinatorički broj ili kombinacije n u k izraženi su kako slijedi:

Ovaj obrazac izražava vrijednost koliko podskupova s ​​k elementima može biti odabrano iz skupa od n elemenata. Njegov algebarski izraz daje:

Pogledajmo primjer: pretpostavimo da imamo grupu od sedam kuglica, od kojih su dvije crvene, a ostale plave.

Želimo znati na koji način ih možemo organizirati zaredom. Jedan od načina mogao bi biti postavljanje dva crvena u prvi i drugi položaj, a ostatak lopti na preostale položaje.

Slično kao u prethodnom slučaju, mogli bismo crvenim kuglicama dati prvu, odnosno posljednju poziciju, a ostale zauzeti plavim kuglicama.

Sada je učinkovit način računanja na koliko načina možemo organizirati kuglice u nizu pomoću kombinatornih brojeva. Svaku poziciju možemo vidjeti kao element sljedećeg skupa:

Tada ostaje samo odabrati podskup od dva elementa, u kojem svaki od tih elemenata predstavlja položaj koji će zauzeti crvene kuglice. Taj izbor možemo napraviti prema odnosu koji daje:

Na ovaj način, imamo 21 način da naručite ove kuglice.

Općenita ideja ovog primjera bit će vrlo korisna u dokazivanju binomne teoreme. Pogledajmo jedan poseban slučaj: ako je n = 4, imamo (a + b) ⁴, što nije ništa drugo do:

Kada razvijemo ovaj proizvod, preostaje nam zbroj izraza dobivenih množenjem po jedan element svakog od četiri faktora (a + b). Stoga ćemo imati izraze koji će biti oblika:

Ako želimo dobiti izraz u obliku a ⁴, jednostavno se moramo pomnožiti na sljedeći način:

Imajte na umu da postoji samo jedan način da se dobije ovaj element; ali što se događa ako sada potražimo izraz forme a ² b ² ? Budući da su "a" i "b" stvarni brojevi i, stoga, zakon komutacije vrijedi, imamo jedan od načina da dobijemo ovaj pojam množenjem s članovima kako su označene strelicama.

Izvođenje svih ovih operacija obično je pomalo zamorno, ali ako pojam „a“ vidimo kao kombinaciju u kojoj želimo znati na koji način možemo odabrati dva „a“ iz niza od četiri faktora, možemo upotrijebiti ideju iz prethodnog primjera. Dakle, imamo sljedeće:

Dakle, znamo da ćemo u konačnom proširivanju izraza (a + b) ⁴ imati točno 6a ² b ². Koristeći istu ideju za ostale elemente, morate:

Zatim dodamo ranije dobivene izraze i imamo to:

Ovo je formalni dokaz za opći slučaj gdje je "n" bilo koji prirodni broj.

Demonstracija

Imajte na umu da su izrazi lijevi ekspanzijom (a + b) ⁿ oblika a ^k b ^n-k, gdje je k = 0,1,…, n. Pomoću ideje iz prethodnog primjera, na način da odaberemo «k» varijable «a» faktora «n» je:

Odabirom na ovaj način, automatski biramo nk varijable "b". Iz ovoga proizlazi da:

Primjeri

S obzirom na (a + b) ⁵, kakav bi bio njegov razvoj?

Prema binomnom teoremu imamo:

Binomna teorema vrlo je korisna ako imamo izraz u kojem želimo znati koliki je koeficijent određenog pojma, a da ne moramo izvršiti potpuno širenje. Kao primjer možemo uzeti sljedeću nepoznanicu: koliki je koeficijent x ⁷ i ⁹ u ekspanziji na (x + y) ¹⁶ ?

Prema binomnom teoremu imamo da je koeficijent:

Drugi primjer bi bio: koliki je koeficijent x ⁵ i ⁸ u ekspanziji (3x-7y) ¹³ ?

Prvo na prikladan način napišemo izraz; ovo je:

Zatim, koristeći binomni teorem, imamo da je traženi koeficijent kad imamo k = 5

Drugi primjer upotrebe ove teoreme je u dokazivanju nekih zajedničkih identiteta, poput onih koje ćemo spomenuti u nastavku.

Identitet 1

Ako je «n» prirodni broj, imamo:

Za dokaz koristimo binomnu teoremu, gdje i «a» i «b» uzimaju vrijednost 1. Tada imamo:

Na ovaj način smo dokazali prvi identitet.

Identitet 2

Ako je "n" prirodni broj, tada

Prema binomnom teoremu imamo:

Još jedna demonstracija

Možemo napraviti drugačiji dokaz za binomnu teoremu koristeći induktivnu metodu i Pascalov identitet, što nam govori da su, ako su «n» i «k» pozitivni cijeli brojevi koji zadovoljavaju n ≥ k, tada:

Indukcijski dokaz

Pogledajmo prvo da se drži induktivna baza. Ako je n = 1, imamo:

Doista, vidimo da je ispunjena. A sada neka je n = j takav:

Želimo vidjeti da je za n = j + 1 točno da:

Dakle, moramo:

Po hipotezi znamo da:

Zatim pomoću svojstva distribucije:

Nakon toga, razvijajući svaki sažetak, dobili smo:

Ako se grupiramo na pogodan način, imamo to:

Koristeći identitet pascala, imamo:

Za kraj, imajte na umu da:

Stoga vidimo da binomna teorema vrijedi za sva „n“ koja pripadaju prirodnim brojevima, a s tim se dokaz i završava.

Zanimljivosti

Kombinatorički broj (nk) naziva se i binomni koeficijent, jer se upravo koeficijent pojavljuje u razvoju binomnog (a + b) ⁿ.

Isaac Newton dao je generalizaciju ove teoreme za slučaj u kojem je eksponent stvarni broj; Ova je teorema poznata kao Newtonova binomna teorema.

Već je u davnim vremenima ovaj rezultat bio poznat po određenom slučaju u kojem je n = 2. Taj se slučaj spominje u Euclidovim Elementima.

Reference

1. Johnsonbaugh Richard. Diskretna matematika. PhH
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Doktor Seymour Lipschutz i Marc Lipson. Diskretna matematika. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskretna i kombinatorička matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Zelena zvijezda Luis., Diskretna i kombinaciona matematička antropoza