- Dokaz teorema
- Pad objekta
- Iz rupe izlazi tekućina
- Riješene vježbe
- Vježba 1
- I ) Mala odvodna cijev spremnika za vodu je 3 m ispod površine vode. Izračunajte izlaznu brzinu vode.
- Riješenje:
- Vježba 2
- Riješenje:
- Vježba 3
- Riješenje:
- Reference
Teorem Torricelli ili princip Toricelli navodi da je brzina tekućine koji izlazi iz otvora u zidu spremnika ili spremnika, je identičan s onim dobiva objekt padne slobodno s visine jednaka površini bez tekućine u rupu.
Teorem je prikazan na sljedećoj slici:
Ilustracija Torricellijeve teoreme. Izvor: self made.
Zbog Torricellijevog teorema možemo tada ustvrditi da je izlazna brzina tekućine kroz otvor koji je na visini h ispod slobodne površine tekućine dana slijedećom formulom:
Gdje je g ubrzanje gravitacije, a h visina od rupe do slobodne površine tekućine.
Evangelista Torricelli bio je fizičar i matematičar rođen u gradu Faenza u Italiji 1608. Torricelli je izum barometra žive zaslužan za priznanje, a postoji prepoznavanje tlačne jedinice koja se zove "torr", što odgovara milimetru žive. (mm Hg).
Dokaz teorema
U Torricellijevom teoremu i u formuli koja daje brzinu pretpostavlja se da su gubici viskoznosti zanemarivi, baš kao što se i pri slobodnom padu pretpostavlja da je trenje zbog zraka oko padajućeg objekta zanemarivo.
Gornja pretpostavka je u većini slučajeva razumna i uključuje očuvanje mehaničke energije.
Da bismo dokazali teoremu, prvo ćemo pronaći formulu brzine za objekt koji se oslobađa s nultu početnu brzinu, s iste visine kao i površina tekućine u spremniku.
Princip očuvanja energije primijenit će se za dobivanje brzine padajućeg predmeta upravo kad se spusti visina h jednaka onoj od rupe do slobodne površine.
Kako nema gubitaka zbog trenja, vrijedi primijeniti princip očuvanja mehaničke energije. Pretpostavimo da objekt koji pada ima masu m, a visina h mjeri se od izlaza tekućine.
Pad objekta
Kada se objekt oslobodi s visine jednake visini slobodne površine tekućine, njegova energija je samo gravitacijski potencijal, budući da je njegova brzina jednaka nuli, a samim tim i kinetička energija jednaka nuli. Potencijalnu energiju Ep daje:
Ep = mgh
Kad prođe ispred rupe, njegova visina je nula, tada je potencijalna energija jednaka nuli, tako da ima samo kinetičku energiju Ec koju daje:
Ec = ½ mv 2
Budući da se energija čuva Ep = Ec od onoga što se dobije:
½ mv 2 = mgh
Rješavajući brzinu v, dobiva se Torricellijeva formula:
Iz rupe izlazi tekućina
Dalje ćemo pronaći izlaznu brzinu tekućine kroz otvor kako bismo pokazali da se podudara s onom koja je upravo izračunata za objekt koji slobodno pada.
Za to ćemo se temeljiti na Bernoullijevom principu, koji nije ništa drugo nego očuvanje energije primijenjene na fluide.
Bernoullijev princip formuliran je ovako:
Tumačenje ove formule je sljedeće:
- Prvi pojam predstavlja kinetičku energiju fluida po jedinici volumena
- Drugi predstavlja rad koji se vrši pritiskom po jedinici površine poprečnog presjeka
- Treća predstavlja gravitacijsku potencijalnu energiju po jedinici volumena tekućine.
Polazeći od pretpostavke da je to idealna tekućina, u ne-turbulentnim uvjetima s relativno malim brzinama, tada je prikladno ustvrditi da je mehanička energija po jedinici volumena u tekućini konstantna u svim njezinim područjima ili presjecima.
U ovoj formuli V je brzina fluida, ρ gustoća tekućine, P tlak i z okomiti položaj.
Na slici ispod prikazana je Torricellijeva formula koja polazi od Bernoullijeva načela.
Bernoullijevu formulu primjenjujemo na slobodnu površinu tekućine koju označavamo sa (1) i na izlaznu rupu koju označavamo s (2). Nulta razina glave odabrana je uz izlazni otvor.
Pod pretpostavkom da je presjek u (1) mnogo veći nego u (2), tada možemo pretpostaviti da je brzina silaska tekućine u (1) praktično zanemariva.
Iz tog razloga je postavljeno V 1 = 0, tlak kojem je podvrgnuta tekućina u (1) je atmosferski tlak, a visina izmjerena na otvoru je h.
Za izlazni dio (2) pretpostavljamo da je brzina na izlazu v, tlak kojem se tekućina podvrgava na izlazu je također atmosferski tlak, a visina izlaza je nula.
Vrijednosti koje odgovaraju odjeljcima (1) i (2) supstituirane su u Bernoullijevoj formuli i postavljene su jednake. Jednakost vrijedi jer pretpostavljamo da je fluid idealan i da nema gubitaka viskoznog trenja. Nakon što su svi izrazi pojednostavljeni, postiže se brzina na izlaznom otvoru.
Okvir iznad pokazuje da je dobiveni rezultat isti kao objekt koji slobodno pada,
Riješene vježbe
Vježba 1
I) Mala odvodna cijev spremnika za vodu je 3 m ispod površine vode. Izračunajte izlaznu brzinu vode.
Riješenje:
Sljedeća slika pokazuje kako se Torricellijeva formula primjenjuje u ovom slučaju.
Vježba 2
II) Pod pretpostavkom da izlazna cijev spremnika iz prethodne vježbe ima promjer od 1 cm, izračunajte protok izlaza vode.
Riješenje:
Brzina protoka je volumen tekućine koja izlazi po jedinici vremena, a izračunava se jednostavno množenjem površine izlaznog otvora sa izlaznom brzinom.
Sljedeća slika prikazuje detalje izračuna.
Vježba 3
III) Odredite koliko je slobodna površina vode u spremniku ako znate
da u rupi na dnu spremnika voda izlazi pri 10 m / s.
Riješenje:
Čak i kad se otvor nalazi na dnu spremnika, Torricellijeva formula se i dalje može primijeniti.
Sljedeća slika prikazuje detalje izračuna.
Reference
- Wikipedia. Torricellijev teorem.
- Hewitt, P. Konceptualna fizička znanost. Peto izdanje.119.
- Mladi, Hugh. 2016. Sveučilišna fizika Sears-Zemansky s modernom fizikom. 14. izd. Pearson. 384.