MILETUS PRIČE TEOREMA: PRVO, DRUGO I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Prva i druga teorema Talesa iz Mileta temelje se na određivanju trokuta iz sličnih (prva teorema) ili iz krugova (druga teorema). Oni su bili vrlo korisni u raznim područjima. Primjerice, prva teorema bila je vrlo korisna za mjerenje velikih struktura kada nije bilo sofisticiranih mjernih instrumenata.

Thales of Miletus bio je grčki matematičar koji je dao velik doprinos geometriji, od čega se ističu ove dvije teoreme (u nekim tekstovima on je također napisan kao Thales) i njihove korisne primjene. Ovi su se rezultati koristili kroz povijest i omogućili su rješavanje širokog spektra geometrijskih problema.

Thales of Miletus

Thalesova prva teorema

Thalesova prva teorema vrlo je koristan alat koji, između ostalog, omogućava izgradnju trokuta sličnog drugom, ranije poznatom. Odatle su izvedene različite verzije teoreme koje se mogu primijeniti u više konteksta.

Prije davanja vaše izjave, prisjetimo se nekih pojmova sličnosti trokuta. Dva su trokuta u osnovi slična ako su njihovi kutovi jednaki (imaju istu mjeru). To rezultira činjenicom da ako su dva trokuta slična, njihove odgovarajuće (ili homologne) strane su proporcionalne.

Thalesov prvi teorem kaže da ako se crta crta paralelna s bilo kojom od njezinih strana u određenom trokutu, novi dobiveni trokut bit će sličan početnom trokutu.

Dobiva se i odnos između formiranih kutova, kao što je prikazano na sljedećoj slici.

primjena

Između brojnih primjena, posebno se ističe jedan od načina na koji su mjerena velika zdanja u antici, doba u kojem je živio Thales i u kojem nije bilo modernih mjernih uređaja koji bi postoje sada.

Govori se da je tako Thales uspio izmjeriti najvišu piramidu u Egiptu, Cheops. Za to je Thales pretpostavljao da refleksije sunčevih zraka dodiruju tlo tvoreći paralelne linije. Pod ovom pretpostavkom, okomito je zabio štap ili trsku u zemlju.

Zatim je upotrijebio sličnost dvaju rezultirajućih trokuta, jednog formiranog duljinom sjene piramide (što se može lako izračunati) i visine piramide (nepoznato), a drugog formiranog duljinom sjene i visina štapa (što se također može lako izračunati).

Pomoću proporcije između tih duljina visina piramide može se riješiti i znati.

Iako ova metoda mjerenja može dati značajnu pogrešku aproksimacije s obzirom na točnost visine i ovisi o paralelizmu sunčevih zraka (što zauzvrat ovisi o preciznom vremenu), mora se znati da je riječ o vrlo genijalnoj ideji i da je pružio dobru alternativu za mjerenje za sada.

Primjeri

Pronađite vrijednost x za svaki slučaj:

Thalesov drugi teorem

Druga Thalesova teorema određuje pravi trokut upisan u kružnicu u svakoj točki iste.

Trokut upisan u obod je trokut čiji su vrhovi na obodu, ostajući tako u njemu.

Naime, Thalesov drugi teorem navodi sljedeće: s obzirom na opseg središta O i promjera AC, svaka točka B obima (osim A i C) određuje pravi trokut ABC, s pravim kutom

Uz opravdanje napomenimo da i OA i OB i OC odgovaraju polumjeru opsega; stoga su i njihova mjerenja ista. Iz ovoga proizlazi da su trokuti OAB i OCB izoscele, gdje

Poznato je da je zbroj kutova trokuta jednak 180º. Pomoću ovog trokuta ABC imamo:

2b + 2a = 180º.

Ekvivalentno imamo da je b + a = 90º i b + a =

Imajte na umu da je pravi trokut dat Thalesovim drugim teoremom upravo onaj čija je hipotenuza jednaka promjeru obima. Stoga ga u potpunosti određuje polukrug koji sadrži točke trokuta; u ovom slučaju gornji polukrug.

Primjetimo i da je u pravom trokutu dobivenom Thalesovom drugom teoremom hipotenuza podijeljena na dva jednaka dijela OA i OC (polumjer). Zauzvrat je ta mjera jednaka segmentu OB (također polumjeru), koji odgovara sredini medija trokuta ABC.

Drugim riječima, duljina medijale desnog trokuta ABC koja odgovara vrhu B u potpunosti je određena polovinom hipotenuze. Podsjetimo da je medijan trokuta segment od jedne od vrhova do sredine točke suprotne strane; u ovom slučaju segment BO.

Obrezan opseg

Drugi način gledanja na Thalesov drugi teorem jest kroz obruč koji je opisan pravim trokutom.

Općenito, krug koji je opisan poligonom sastoji se od oboda koji prolazi kroz svaku njegovu vrhovu, kad god je moguće nacrtati ga.

Pomoću Thalesovog drugog teorema, kojem je dodijeljen pravi trokut, uvijek možemo konstruirati obod kojim je obrisan, s polumjerom jednakim polovici hipotenuze i obodu (središnjem dijelu obima) jednakom srednjem dijelu hipotenuze.

primjena

Vrlo važna primjena Thalesove druge teoreme, a možda i najviše korištena, je pronalaženje tangencijalnih linija do određenog kruga, kroz točku P vanjsku (poznatu).

Imajte na umu da s obzirom na kružnicu (nacrtanu plavom bojom na donjoj slici) i vanjsku točku P, postoje dvije linije tangente na kružnicu koje prolaze kroz P. Neka su T i T 'točke tangencije, r polumjer kruga i Ili centar.

Poznato je da je segment koji ide od središta kruga do točke tangente iste, okomit na tu tangenti. Dakle, kut OTP je pravi.

Iz onoga što smo vidjeli u Thalesovoj prvoj teoremi i njezinim različitim verzijama, vidimo da je moguće upisati OTP trokut u drugi krug (crvenom bojom).

Slično se dobiva da se trokut OT'P može upisati unutar istog prethodnog obima.

Po Thalesovom drugom teoremu također dobivamo da je promjer ove nove kružnice upravo hipotenuza trokuta OTP (koja je jednaka hipotenuzi trokuta OT'P), a središte je središte ove hipotenuze.

Da bismo izračunali središte novog obima, tada je dovoljno izračunati sredinu između središta - recimo M - početnog kruga (što već znamo) i točke P (koju također znamo). Tada će polumjer biti udaljenost između ove točke M i P.

Pomoću polumjera i središta crvenog kruga možemo pronaći njegovu kartuzijunsku jednadžbu, za koju pamtimo da je izražena iz (xh) ² + (yk) ² = c ², gdje je c polumjer i točka (h, k) je središte obima.

Znajući sada jednadžbe obaju krugova, možemo ih presijecati rješavanjem sustava jednadžbi koje su formirali te dobivanjem točaka tangencije T i T '. Konačno, za poznavanje željenih tangencijalnih linija dovoljno je pronaći jednadžbu linija koje prolaze kroz T i P, te kroz T 'i P.

Primjer

Razmotrite opseg promjera AC, središta O i polumjera 1 cm. Neka je točka B na obodu takva da je AB = AC. Koliko je visok AB?

Riješenje

Prema Thalesovoj drugoj teoremi imamo da je trokut ABC pravi, a hipotenuza odgovara promjeru, koji u ovom slučaju mjeri 2 cm (polumjer je 1 cm). Zatim, po pitagorejskom teoremu imamo:

Reference

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometrija i trigonometrija. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., i Hirsch, L. (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. DO. (2004). Metodologija i primjene matematike u Ministarstvu obrazovanja ESO-a.
4. Iger. (2014). Matematika Drugi semestar Zaculeu. Gvatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometrija i analitička geometrija. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). Povijest matematike: izazovi i osvajanja kroz karaktere. Urednička vizija Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Ravna analitička geometrija. Uredništvo Venezolana CA