EUKLIDOV TEOREM: DOKAZ, PRIMJENA I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U Euklidove teorem pokazuje svojstva trokuta do povući crtu koja dijeli ga na dva nova trokuta koji su slični i, s druge strane, su slična trokuta; tada postoji odnos proporcionalnosti.

Euclid je bio jedan od najvećih matematičara i geometrija antičkog doba koji je izveo nekoliko dokaza važnih teorema. Jedna od glavnih je ona koja nosi njegovo ime, a koja je imala široku primjenu.

To se dogodilo zato što kroz ovu teoremu na jednostavan način objašnjava geometrijske odnose koji postoje u desnom trokutu, gdje su noge trokuta povezane sa njihovim projekcijama na hipotenuzi.

Formule i demonstracije

Euklidov teorem predlaže da se u svakom pravom trokutu, kada se povuče crta - koja predstavlja visinu koja odgovara vrhu pod pravim kutom u odnosu na hipotenuzu - od originala formiraju dva pravokutna trokuta.

Ti će trokuti biti slični jedni drugima i također će biti slični izvornom trokutu, što znači da su njihove slične strane proporcionalne jedna drugoj:

Kutovi triju trokuta su skladni; to jest, kad se rotiraju za 180 stupnjeva oko svoje vrhove, jedan se kut podudara s drugim. To podrazumijeva da će svi biti isti.

Na taj se način sličnost između triju trokuta također može potvrditi jednakošću njihovih kutova. Iz sličnosti trokuta, Euklid utvrđuje njihove proporcije iz dvije teoreme:

- Teorem visine.

- Teorem o nogama.

Ova teorema ima široku primjenu. U davnim su se vremenima koristili za izračunavanje visina ili udaljenosti, što je predstavljalo veliki napredak za trigonometriju.

Trenutno se primjenjuje na raznim područjima koja se temelje na matematici, poput inženjerstva, fizike, kemije i astronomije, među mnogim drugim područjima.

Teorem visine

U ovoj teoremi utvrđeno je da je u bilo kojem pravom trokutu visina izvučena iz pravog kuta u odnosu na hipotenuzu geometrijska proporcionalna sredina (kvadrat visine) između projekcija nogu koje ona određuje na hipotenuzi.

Odnosno, kvadrat visine bit će jednak množenju projiciranih nogu koje tvore hipotenuzu:

h _c ² = m _* n

Demonstracija

S obzirom na trokut ABC, koji se nalazi točno u osi, crtanje visine stvara dva slična desna trokuta, ADC i BCD; stoga su njihove odgovarajuće strane proporcionalne:

Na taj način da visina h _c koja odgovara segmentu CD, odgovara hipotenuzi AB = c, tako da imamo:

To zauzvrat odgovara:

Rješavajući hipotenuzu (h _c), da pomnožimo dva člana jednakosti, imamo:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Dakle, vrijednost hipotenuze daje:

Teorem nogu

U ovoj teoremi utvrđeno je da će u svakom pravom trokutu mjera svake noge biti geometrijska proporcionalna srednja (kvadrat svake noge) između mjere hipotenuze (kompletne) i projekcije svake na nju:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstracija

Dajući trokut ABC, koji se nalazi točno na vrhu C, na takav način da je njegova hipotenuza c, pri crtanju visine (h) određuju se projekcije krakova a i b, koji su segmenti m i n, odnosno koji leže na hipotenuza.

Dakle, visina nacrtana na desnom trokutu ABC stvara dva slična desna trokuta, ADC i BCD, tako da su odgovarajuće stranice proporcionalne, kao što je ova:

DB = n, što je projekcija noge CB na hipotenuzu.

AD = m, što je projekcija noge AC na hipotenuzu.

Zatim se hipotenuza c određuje zbrojem krakova njegovih projekcija:

c = m + n

Zbog sličnosti trokuta ADC i BCD, imamo:

Navedeno je isto kao:

Rješavajući za leguru a, pomnoživši dva člana jednakosti, imamo sljedeće:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Dakle, vrijednost noge „a“ je data od:

Na isti način, zbog sličnosti trokuta ACB i ADC, imamo:

Navedeno je jednako:

Rješavajući za nogu "b", da pomnožimo dva člana jednakosti, imamo:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Dakle, vrijednost noge "b" je dana s:

Odnos između Euklidovih teorema

Teoreme koje se odnose na visinu i noge povezane su jedna s drugom jer je mjera oba napravljena s obzirom na hipotenuzu pravog trokuta.

Kroz odnos Euclidovih teorema može se naći i vrijednost visine; to je moguće rješavanjem vrijednosti m i n iz teoreme o nozi i one se zamjenjuju u teoremi visine. Na taj se način postiže da je visina jednaka množenju nogu, podijeljeno s hipotenuzom:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

U teoremi visine zamjenjujemo m i n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Riješene vježbe

Primjer 1

S obzirom na trokut ABC, pravo na A, odredite mjeru AC i AD, ako je AB = 30 cm i BD = 18 cm

Riješenje

U ovom slučaju imamo mjerenja jedne od projektiranih nogu (BD) i jedne od nogu izvornog trokuta (AB). Na taj se način teorema o nozi može primijeniti kako bi se pronašla vrijednost noge BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* prije Krista

900 = 18 _* pr

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Vrijednost CD-a nogu može se pronaći znajući da je BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Sada je moguće odrediti vrijednost AC noge, ponovo primijeniti teoremu noge:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Za određivanje vrijednosti visine (AD) primjenjuje se teorem o visini, jer su poznate vrijednosti projiciranih krakova CD i BD:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Primjer 2

Odredite vrijednost visine (h) trokuta MNL, tačno u N, poznavajući mjere segmenata:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Riješenje

Imamo mjeru jedne od nogu projicirane na hipotenuzu (PM), kao i mjere nogu izvornog trokuta. Na taj se način teorema o nozi može primijeniti za pronalaženje vrijednosti druge projicirane krake (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Kako je vrijednost nogu i hipotenuze već poznata, kroz odnos teorema visine i noge može se utvrditi vrijednost visine:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Reference

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktali i čudne stvari. Fond ekonomske kulture.
2. Cabrera, VM (1974). Moderna matematika, svezak 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matematika 3. godine. Caracas: Santillana.
4. Enciklopedija Britannica, tj. (devetnaest devedeset pet). Hispanic enciklopedija: makropedija. Izdavači enciklopedije Britannica.
5. Euclid, RP (1886). Euklidovi elementi geometrije.
6. Guardeño, AJ (2000). Nasljeđe matematike: od Euklida do Newtona, genijalci kroz svoje knjige. Sveučilište Sevilla.