CHEBYSHOV TEOREM: ŠTO JE, APLIKACIJE I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Teorem Čebiševljev (Čebiševljev ili nejednakost) je jedan od najvažnijih klasičnih rezultata teorije vjerojatnosti. Omogućuje procjenu vjerojatnosti događaja opisanog u slučajnoj varijabli X, pružajući nam vezu koja ne ovisi o raspodjeli slučajne varijable, nego o varijanci X.

Teorema je dobila ime po ruskom matematičaru Pafnutyju Čebyshovu (također napisan kao Chebychev ili Tchebycheff) koji je, iako nije prvi iznio teoremu, prvi dao dokaz 1867. godine.

Ova nejednakost, ili ona koja se zbog svojih karakteristika naziva Chebyshova nejednakost, koristi se uglavnom za približavanje vjerojatnosti izračunavanjem visina.

Od čega se sastoji?

U istraživanju teorije vjerojatnosti, čini se da ako je poznata funkcija raspodjele slučajne varijable X, njezina očekivana vrijednost ili matematičko očekivanje E (X) - i njezina varijanca Var (X) mogu se izračunati, sve dok takvi iznosi postoje. Međutim, obratno nije nužno istinito.

Odnosno, znajući E (X) i Var (X), nije nužno dobiti funkciju raspodjele X, pa je količine kao što je P (-X-> k) za neke k> 0 vrlo teško dobiti. No zahvaljujući Chebyshovoj nejednakosti moguće je procijeniti vjerojatnost slučajne varijable.

Chebyshov teorem govori nam da ako imamo slučajnu varijablu X nad uzorkom prostora S s funkcijom vjerojatnosti p, a ako je k> 0, tada:

Primjene i primjeri

Među brojnim primjenama Chebyshove teoreme može se spomenuti sljedeće:

Ograničavanje vjerojatnosti

Ovo je najčešća primjena i koristi se za postavljanje gornje granice za P (-XE (X) -≥k) gdje je k> 0, samo s varijancom i očekivanjem slučajne varijable X, bez poznavanja funkcije vjerojatnosti,

Primjer 1

Pretpostavimo da je broj proizvedenih proizvoda u tvrtki tijekom tjedna slučajna varijabla sa prosjekom 50.

Ako se zna da je varijanca jednog tjedna proizvodnje jednaka 25, što onda možemo reći o vjerojatnosti da će se ovaj tjedan proizvodnja razlikovati za više od 10?

Riješenje

Primjenjujući Čebišovu nejednakost imamo:

Iz ovoga možemo dobiti da je vjerojatnost da će u proizvodnom tjednu broj proizvoda preći prosjek za više od 10 najviše 1/4.

Dokaz graničnih teorema

Čebiškova nejednakost igra važnu ulogu u dokazivanju najvažnijih graničnih teorema. Kao primjer imamo sljedeće:

Slabi zakon velikog broja

Ovaj zakon kaže da je dao niz X1, X2,…, Xn,… neovisnih slučajnih varijabli s istom prosječnom raspodjelom E (Xi) = μ i varijancom Var (X) = σ ², te poznatim srednjim uzorkom:

Zatim za k> 0 imamo:

Ili, ekvivalentno:

Demonstracija

Prvo primijetimo sljedeće:

Budući da su X1, X2,…, Xn neovisni, slijedi da:

Stoga je moguće navesti sljedeće:

Zatim, koristeći Chebyshov teorem, imamo:

Napokon, teorem proizlazi iz činjenice da je granica na desnoj strani jednaka nuli kada se n približava beskonačnosti.

Treba napomenuti da je ovaj test napravljen samo za slučaj u kojem postoji varijanca Xi; to jest, ne razilazi se. Stoga opažamo da je teorem uvijek istinit ako E (Xi) postoji.

Čebyshov granični teorem

Ako su X1, X2,…, Xn,… niz neovisnih slučajnih varijabli, tako da postoji neki C <beskonačnost, takav da je Var (Xn) ≤ C za sve prirodne n, tada je za bilo koji k> 0:

Demonstracija

Budući da je niz varijacija ravnomjerno ograničen, imamo da je Var (Sn) ≤ C / n, za sva prirodna n. Ali to znamo:

Postizanje n ka beskonačnosti, dobiva sljedeće rezultate:

Kako vjerojatnost ne može prijeći vrijednost 1, dobiva se željeni rezultat. Kao posljedicu ove teoreme mogli bismo spomenuti poseban slučaj Bernoullija.

Ako se eksperiment n puta neovisno ponavlja s dva moguća ishoda (neuspjeh i uspjeh), gdje je p vjerojatnost uspjeha u svakom pokusu i X je slučajna varijabla koja predstavlja broj postignutih uspjeha, tada je za svaki k> 0 moraš:

Veličina uzorka

U smislu varijance, Čebiškova nejednakost omogućava nam pronaći uzorak veličine n koja je dovoljna da jamči da je vjerojatnost da će se pojaviti -Sn-µ -> = k najmanja koliko je željena, što omogućava aproksimaciju do prosjeka.

Konkretno, neka su X1, X2,… Xn uzorak neovisnih slučajnih varijabli veličine n i pretpostavimo da je E (Xi) = μ i njegova varijanca σ ². Zatim, po Čebišovoj nejednakosti imamo:

Primjer

Pretpostavimo da su X1, X2,… Xn uzorak neovisnih slučajnih varijabli s Bernoullijevom raspodjelom, tako da one uzimaju vrijednost 1 s vjerojatnošću p = 0,5.

Kolika mora biti veličina uzorka da bi se moglo jamčiti da je vjerojatnost da je razlika između aritmetičke srednje vrijednosti Sn i njezine očekivane vrijednosti (veće od više od 0,1) manja ili jednaka 0,01?

Riješenje

Imamo da je E (X) = μ = p = 0,5 i da je Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Po Chebyshovoj nejednakosti, za bilo koji k> 0 imamo:

Sada, uzimajući k = 0,1 i δ = 0,01, imamo:

Na ovaj način se zaključuje da je potrebna veličina uzorka od najmanje 2500 kako bi se zajamčila da je vjerojatnost događaja -Sn - 0,5 -> = 0,1 manja od 0,01.

Nejednakosti tipa Chebyshov

Postoji nekoliko nejednakosti povezanih s Čebišovom nejednakošću. Jedna od najpoznatijih je Markova nejednakost:

U ovom je izrazu X negativna slučajna varijabla s k, r> 0.

Markova nejednakost može imati različite oblike. Na primjer, neka je Y nenegativna slučajna varijabla (pa P (Y> = 0) = 1) i pretpostavimo da E (Y) = μ postoji. Pretpostavimo da (E (Y)) ^r = μ _r postoji za neki cijeli broj r> 1. Tako:

Druga nejednakost je Gaussova, koja nam govori da je data unimodalna slučajna varijabla X s modom na nuli, a zatim za k> 0,

Reference

1. Kai Lai Chung. Elementarna teorija izvodljivosti sa stohastičkim procesima. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Vjerojatnost i statističke primjene. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz dr. Sc. 2000. riješena problema diskretne matematike. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz dr. Sc. Teorija i problemi vjerojatnosti. McGraw-Hill.