Bayes teorem je postupak koji omogućuje nam da izraziti uvjetne vjerojatnosti slučajnog događaja danog B, u smislu razdiobe vjerojatnosti događaja A i B jer razdiobe vjerojatnosti samo A.
Ovaj je teorem vrlo koristan, jer zahvaljujući njemu možemo povezati vjerojatnost da se događaj A dogodi znajući da se B dogodio, s vjerojatnošću da se dogodi suprotno, odnosno da se B događa s A.
Bayesov teorem bio je srebrni prijedlog velečasnog Thomasa Bayesa, engleskog teologa iz 18. stoljeća koji je ujedno bio i matematičar. Bio je autor nekoliko radova iz teologije, ali danas je poznat po nekoliko matematičkih traktata, među kojima se glavni rezultat ističe gore spomenuti Bayesov teorem.
Bayes se bavio ovom teoremom u radu pod naslovom "Esej o rješavanju problema u doktrini šansi", objavljenom 1763. godine, i na kojem je razvijen velik broj. studije s primjenama u različitim područjima znanja.
Obrazloženje
Prvo, za bolje razumijevanje ove teoreme potrebna su neka osnovna shvaćanja teorije vjerojatnosti, posebno teorema množenja za uvjetnu vjerojatnost koja kaže da
Za E i A proizvoljni događaji uzorka prostora S.
I definicija particija, koja nam govori da ako imamo A 1, A 2,…, A n događaje uzorka prostora S, oni će tvoriti podjelu S, ako su A i međusobno isključivi i njihovo je sjedinjenje S.
S obzirom na to, neka B bude još jedan događaj. Tako B možemo vidjeti kao
Tamo gdje sam A presiječen s B, međusobno se isključuju događaji.
I kao posljedica,
Zatim, primjenjujući teoremu množenja
S druge strane, uvjetna vjerojatnost Ai danog B definirana je sa
Zamjenom na odgovarajući način to imamo za bilo koji i
Primjene Bayesove teoreme
Zahvaljujući ovom rezultatu, istraživačke skupine i različite korporacije uspjele su poboljšati sustave koji se temelje na znanju.
Na primjer, u proučavanju bolesti, Bayesova teorema može pomoći u razabiranju vjerojatnosti da je bolest pronađena u skupini ljudi s danom karakteristikom, uzimajući kao podatke globalne stope bolesti i učestalost navedenih karakteristika u i zdravih i bolesnih ljudi.
S druge strane, u svijetu visokih tehnologija utjecao je na velike tvrtke koje su zahvaljujući ovom rezultatu razvile softver „temeljen na znanju“.
Kao svakodnevni primjer imamo Microsoft Office pomoćnika. Bayesova teorema pomaže softveru da procijeni probleme koje korisnik predstavlja i utvrdi koji savjet mu dati i na taj način biti u mogućnosti ponuditi bolju uslugu prema navikama korisnika.
Značajno je da je ova formula donedavno bila zanemarena, to je uglavnom zbog toga što su se, kada je taj rezultat razvijen prije 200 godina, za njih malo koristilo. Međutim, u naše vrijeme, zahvaljujući velikom tehnološkom napretku, znanstvenici su pronašli načine kako taj rezultat provesti u praksi.
Riješene vježbe
Vježba 1
Tvrtka za mobilne telefone ima dva stroja A i B. 54% proizvedenih mobitela proizvodi stroj A, a ostatak stroj B. Nisu svi proizvedeni mobiteli u dobrom stanju.
Udio neispravnih mobitela napravljenih od A iznosi 0,2, a B 0,5. Kolika je vjerojatnost da je mobitel iz te tvornice neispravan? Kolika je vjerojatnost da, znajući da je mobitel neispravan, dolazi iz stroja A?
Riješenje
Ovdje imate eksperiment koji je izveden u dva dijela; u prvom dijelu se događaji događaju:
O: ćelija izrađena od stroja A.
B: ćelija izrađena od stroja B.
Budući da stroj A proizvodi 54% mobitela, a ostatak proizvodi stroj B, slijedi da stroj B proizvodi 46% mobitela. Dane su vjerojatnosti ovih događaja, naime:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Događaji drugog dijela eksperimenta su:
D: neispravan mobitel.
E: neispravan mobitel.
Kako je navedeno u izjavi, vjerojatnost ovih događaja ovisi o rezultatu dobivenom u prvom dijelu:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Koristeći ove vrijednosti, može se odrediti i vjerojatnost komplemenata tih događaja, to jest:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
i
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Sada se događaj D može zapisati na sljedeći način:
Korištenje teoreme množenja za rezultate uvjetne vjerojatnosti:
Nakon toga se odgovori na prvo pitanje.
Sada moramo samo izračunati P (AD), za koji se primjenjuje Bayesova teorema:
Zahvaljujući Bayesovom teoremu, može se reći da je vjerojatnost da je mobitel napravio stroj A, znajući da je mobitel neispravan, 0,319.
Vježba 2
Tri kutije sadrže crno-bijele kuglice. Sastav svakog od njih je sljedeći: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Jedna je kutija odabrana nasumično, a kuglica je nasumično izvučena, a pokaže se da je bijela. Koji je okvir najvjerojatnije odabran?
Riješenje
Koristeći U1, U2 i U3, također ćemo predstaviti odabrani okvir.
Ovi događaji čine podjelu S i provjerava se da je P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 jer je izbor okvira slučajan.
Ako je B = {izvučena kugla bijela}, imat ćemo P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Ono što želimo dobiti je vjerojatnost da je kugla izvađena iz okvira Ui znajući da je ta kugla bijela, tj. P (Ui -B), i da vidimo koja je od tri vrijednosti bila najviša od kojih znamo kutija je najvjerojatnije vađenje kuglice.
Primjena Bayesovog teorema na prvu od kutija:
A za druga dva:
P (U2-B) = 2/6 i P (U3-B) = 1/6.
Zatim je prva od kutija ona s najvećom vjerojatnošću da su izabrani za vađenje kuglice.
Reference
- Kai Lai Chung. Elementarna teorija izvodljivosti sa stohastičkim procesima. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, diskretna matematika i njezine primjene. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Vjerojatnost i statističke primjene. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz dr. Sc. 2000. riješena problema diskretne matematike. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz dr. Sc. Teorija i problemi vjerojatnosti. McGraw-Hill.