TEORIJA SKUPOVA: KARAKTERISTIKE, ELEMENTI, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Skup teorija je grana matematička logika-koji je odgovoran za proučavanje odnosa između subjekata nazivaju seta. Za skupove je karakteristično da su zbirke predmeta iste prirode. Spomenuti objekti su elementi skupa i mogu biti: brojevi, slova, geometrijske figure, riječi koje predstavljaju predmete, sami predmeti i drugi.

Krajem 19. stoljeća Georg Cantor je predložio teoriju skupova. Dok su drugi ugledni matematičari u 20. stoljeću izvršili svoju formalizaciju: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel, među ostalima.

Slika 1. Vennov dijagram skupova A, B i njihovo sjecište A⋂ B. (Vlastita razrada).

Vennovi dijagrami su grafički način predstavljanja skupa, a sastoje se od zatvorene ravnine u kojoj su elementi skupa.

Na primjer, na slici 1 prikazana su dva skupa A i B koji imaju zajedničke elemente, elemente zajedničke A i B. Oni tvore novi skup koji se naziva preseci skupa A i B, a koji je zapisan u obliku simbolički na sljedeći način:

A ∩ B

karakteristike

Skup je primitivni pojam, jer je u geometriji pojam točke, linije ili ravnine. Nema boljeg načina za izražavanje koncepta nego navođenjem primjera:

Skup E oblikovan bojama španjolske zastave. Ovaj način izražavanja skupa naziva se razumijevanjem. Isti skup E napisan ekstenzijom je:

E = {crveno, žuto}

U ovom su slučaju crvena i žuta elementi skupa E. Treba napomenuti da su elementi navedeni u zagradama i ne ponavljaju se. U slučaju španjolske zastave, postoje tri obojene pruge (crvena, žuta, crvena), od kojih se dvije ponavljaju, ali elementi se ne ponavljaju kada je izražena cjelina.

Pretpostavimo da skup V tvori prva tri samoglasnika:

V = {a, e, i}

Skup snage V, označen s P (V), skup je svih skupova koji se mogu formirati s elementima V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Vrste skupova

Konačni skup

To je skup u kojem su njeni elementi izračunljivi. Primjeri konačnih skupova su slova španjolske abecede, španjolski samoglasnici, planete Sunčevog sustava. Broj elemenata u konačnom skupu naziva se njegova kardinalnost.

Beskonačan set

Beskonačni skup je sve što je broj njegovih elemenata nebrojiv, budući da bez obzira na to koliki je broj njegovih elemenata, uvijek je moguće pronaći više elemenata.

Primjer beskonačnog skupa je skup prirodnih brojeva N, koji se u opsežnom obliku izražava na sljedeći način:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Jasno je beskonačan skup, bez obzira koliko velik prirodni broj mogao biti, sljedeći najveći se uvijek može naći u beskrajnom procesu. Jasno je da je kardinalnost beskonačnog skupa ∞.

Prazan set

Skup je to koji ne sadrži nijedan element. Prazan skup V označen je s Ø ili s par tipki bez elemenata iznutra:

V = {} = Ø.

Prazan skup je jedinstven, stoga mora biti netočno reći "prazan skup", ispravan oblik je reći "prazan skup".

Među svojstvima praznog skupa imamo da je on podskup bilo kojeg skupa:

Ø ⊂ A

Nadalje, ako je skup podskup praznih skupa, tada će nužno navedeni skup biti vakuum:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Jedinstveni skup

Jedinica je svaki skup koji sadrži jedan element. Na primjer, skup prirodnih satelita Zemlje je unitarni skup, čiji je jedini element Mjesec. Skup B cijelih brojeva manji od 2 i veći od nule ima samo element 1, stoga je to jedinica jedinica.

Binarni skup

Skup je binarni ako ima samo dva elementa. Na primjer, skup X, takav da je x rješenje realnog broja x ^ 2 = 2. Ovaj skup ekstenzijom piše ovako:

X = {-2, + √2}

Univerzalni set

Univerzalni skup je skup koji sadrži druge skupove iste vrste ili prirode. Na primjer, univerzalni skup prirodnih brojeva je skup realnih brojeva. Ali stvarni brojevi su univerzalni skupovi također i cijelih brojeva i racionalnih brojeva.

Ključne stavke

- Odnosi između setova

U skupštini se mogu uspostaviti različite vrste odnosa između njih i njihovih elemenata. Ako dva skupa A i B imaju potpuno iste elemente među sobom, uspostavlja se odnos jednakosti koji je označen na sljedeći način:

A = B

Ako svi elementi skupa A pripadaju skupu B, ali svi elementi B ne pripadaju A, tada između tih skupova postoji odnos uključivanja koji je označen ovako:

A ⊂ B, ali B ⊄ A

Gornji izraz glasi: A je podskup B, ali B nije podskup A.

Da bi naznačili da neki element ili elementi pripadaju skupu, koristi se simbol pripadnosti ∈, na primjer kako bi se reklo da x element ili elementi pripadaju skupu A, simbolično se piše ovako:

x ∈ A

Ako element ne pripada skupu A, taj se odnos piše ovako:

i ∉ A

Odnos članstva se događa između elemenata skupa i skupa, s izuzetkom skupa snage, pri čemu je skup snage skup ili svih mogućih skupova koji se mogu formirati s elementima navedenog skupa.

Pretpostavimo da je V = {a, e, i}, njegova snaga snage je P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}, u tom slučaju skup V postaje element skupa P (V) i može se napisati:

V ∈ P (V)

- Svojstva inkluzije

Prvo svojstvo uključivanja utvrđuje da je svaki skup sadržan u sebi, ili drugim riječima, da je on sam podskup:

A ⊂ A

Drugo svojstvo uključivanja je tranzitivnost: ako je A podskupina B, a B zauzvrat podskupina C, tada je A podskup C. U simboličkom obliku odnos tranzitivnosti piše na sljedeći način:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Ispod je Vennov dijagram koji odgovara tranzitivnosti uključenja:

Slika 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operacije između skupova

Križanje

Sjecište je operacija između dva niza koja rađa novi skup koji pripada istom univerzalnom skupu kao i prva dva. U tom smislu, to je zatvorena operacija.

Simbolično se operacija raskrižja formulira ovako:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Primjer je sljedeći: skup A slova u riječi “elementi” i skup B slova riječi “ponovljeno”, sjecište između A i B piše se ovako:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Univerzalni skup U, A, B i također A⋂B je skup slova španske abecede.

Unija

Ujedinjenje dva skupa je skup koji se sastoji od elemenata zajedničkih dvaju skupa i koji nisu zajednički elementi dvaju skupa. Operacija spajanja između skupova izražena je simbolično ovako:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Razlika

Operacija razlike skupa A minus skupa B označava se s AB. AB je novi skup koji nastaje od svih elemenata koji su u A i koji ne pripadaju B. Simbolično je napisan ovako:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Slika 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Simetrična razlika

Simetrična razlika je operacija između dva skupa gdje je rezultirajući skup sastavljen od elemenata koji nisu dva skupa. Simetrična razlika simbolično je prikazana ovako:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Primjeri

Primjer 1

Vennov dijagram je grafički način predstavljanja skupova. Na primjer, skup slova C u nizu riječi predstavljen je ovako:

Primjer 2

Ispod dijagrama Venn je prikazano da je niz samoglasnika u riječi "set" podskup skupa slova u riječi "set".

Primjer 3

Skup Ñ slova španjolske abecede je konačan skup, ovaj skup produžetkom piše ovako:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} i njegova kardinalnost je 27.

Primjer 4

Skup V samoglasnika na španjolskom je podskup skupa Ñ:

Stoga je V ⊂ Ñ konačan skup.

Konačni skup V u opsežnom obliku piše ovako: V = {a, e, i, o, u} i njegova kardinalnost je 5.

Primjer 5

S obzirom na skupove A = {2, 4, 6, 8} i B = {1, 2, 4, 7, 9}, odredite AB i BA.

A - B su elementi A koji nisu u B:

A - B = {6, 8}

B - A su elementi B koji nisu u A:

B - A = {1, 7, 9}

Riješene vježbe

Vježba 1

Zapišite u simboličkom obliku, a također produženjem skupa P od prirodnih brojeva manjih od 10.

Rješenje: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Vježba 2

Pretpostavimo skup A koji je formiran od prirodnih brojeva koji su faktori 210, i skup B koji su tvorili primarnim prirodnim brojevima manjim od 9. Odredite oba skupa i proširite vezu između dva skupa.

Rješenje: Da bismo odredili elemente skupa A, moramo početi pronalaženjem faktora prirodnog broja 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Tada se piše skup A:

A = {2, 3, 5, 7}

Sada smatramo da je skup B, koji je primes manji od 9. 1 nije primarni jer ne zadovoljava definiciju pravog: "broj je premošten ako i samo ako ima točno dva djelitelja, 1 i sam broj." 2 su ravnomjerne, a istodobno su primarne jer ispunjavaju definiciju prama, ostali primesi manji od 9 su 3, 5 i 7. Dakle, skup B je:

B = {2, 3, 5, 7}

Stoga su dva skupa jednaka: A = B.

Vježba 3

Odredite skup čiji su se elementi x razlikovali od x.

Rješenje: C = {x / x ≠ x}

Budući da je svaki element, broj ili objekt jednak sebi, skup C ne može biti drugačiji od praznog skupa:

C = Ø

Vježba 4

Neka je niz N prirodnih brojeva, a Z skupa cijeli broj. Odredite N ⋂ Z i N ∪ Z.

Riješenje:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z jer je N ⊂ Z.

Reference

1. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, i Paul, RS (2003). Matematika za menadžment i ekonomiju. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
4. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Urednički Progreso.
5. Matematika 10 (2018). "Primjeri konačnih setova". Oporavak od: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teorija skupova. Oporavak od: es.wikipedia.com