TEORIJA ČEKANJA: POVIJEST, MODEL, ČEMU SLUŽI I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Teorija čekanjem je grana matematike koja proučava pojave i ponašanja u redovima čekaju. Oni se definiraju kada korisnik koji zahtijeva određenu uslugu odluči pričekati da se poslužitelj obradi.

Proučite elemente koji su prisutni u redovima čekanja bilo koje vrste, bilo da su u pitanju ljudski elementi ili podaci ili obrada podataka. Njegovi su zaključci stalna primjena u proizvodnim linijama, registraciji i obradi.

Pexels font

Njegove vrijednosti služe za parametrizaciju procesa prije njihove provedbe, a služe kao ključni organizacijski element za pravilno upravljanje planiranjem.

Povijest

Glavni odgovoran za njegov razvoj bio je matematičar rođen u Danskoj Agner Kramp Erlang, koji je radio u telekomunikacijskoj kompaniji Kopenhagenska telefonska centrala.

Agner je uočio rastuće potrebe u sustavu isporuke telefonskih usluga tvrtke. Zato je započelo proučavanje matematičkih fenomena koji se mogu kvantificirati u sustavu linija čekanja.

Njegova prva službena publikacija bio je članak pod naslovom Teorija čekanja, objavljen 1909. Njegov fokus bio je uglavnom usmjeren na problem dimenzioniranja linija i telefonskih centrala za prebacivanje usluga poziva.

Model i elementi

Postoje različiti modeli čekanja gdje su neki aspekti odgovorni za definiranje i karakterizaciju svakog od njih. Prije definiranja modela predstavljeni su elementi koji čine svaki model čekanja.

-Elementi

Izvor ulaska ili potencijalna populacija

To je skup mogućih podnositelja zahtjeva za uslugu. Ovo se odnosi na bilo koju vrstu varijable, od korisnika korisnika do skupa podataka. Razvrstavaju se u konačne i beskonačne, ovisno o prirodi skupa.

Rep

Odnosi se na skup elemenata koji su već dio uslužnog sustava. Koji su se već dogovorili da čekaju dostupnost operatera. Oni čekaju rješenja sustava.

-Radni sustav

Sastoji se od trijade koju čine red, mehanizam usluge i disciplina čekanja. Ona daje strukturu protokolu sustava, upravljajući kriterijima odabira elemenata u redu.

- Mehanizam usluga

To je postupak kojim se usluga pruža svakom korisniku.

-Klijent

To je svaki element koji pripada potencijalnoj populaciji koja zahtijeva uslugu. Važno je znati stopu ulaska klijenata, kao i vjerojatnost da ih izvor generira.

Kapacitet reda

Odnosi se na maksimalni kapacitet predmeta koji mogu čekati na posluživanje. Može se smatrati konačnom ili beskonačnom, biti u većini slučajeva beskonačna kriterijima praktičnosti.

-Disciplina reda čekanja

To je protokol kojim se utvrđuje redoslijed u kome se kupcu servira. On služi kao kanal za obradu i narudžbu korisnika, odgovoran za njihov položaj i kretanje unutar reda. Prema vašim kriterijima, može biti različitih vrsta.

- FIFO: Iz kratice na engleskom jeziku First in first out, također poznat kao FCFS first come first serve. Što znači, Prvo u prvom izlazu, a Prvo u prvom serviranju. Oba oblika označavaju da će prvi klijent koji će stići biti prvi koji je primljen.

- LIFO: Posljednji u prvom izlasku također poznat kao stog ili LCFS zadnji put prvi serviran. Tamo gdje se najprije uslužuje kupac koji je stigao zadnji.

- RSS: Slučajni odabir usluge koja se također naziva i SIRO usluga slučajnim redoslijedom, pri čemu se korisnici biraju prema slučajnim ili slučajnim kriterijima.

modeli

Postoje 3 aspekta koja reguliraju model čekanja koji treba razmotriti. To su sljedeće:

- Raspodjela vremena između dolazaka: odnosi se na brzinu kojom se jedinice dodaju u red. Oni su funkcionalne vrijednosti i podliježu različitim varijablama, ovisno o njihovoj prirodi.

- Distribucija vremena usluge: vrijeme koje poslužitelj koristi za obradu usluge koju traži klijent. Ona ovisi o broju utvrđenih operacija ili postupaka.

Ova dva aspekta mogu uzeti sljedeće vrijednosti:

M: eksponencijalna eksponencijalna raspodjela (Markoviana).

D: Degenerirana raspodjela (stalno vrijeme).

E _k: Erlang raspodjela s parametrom oblika k.

G: Opća distribucija (bilo koja distribucija).

- Broj poslužitelja: Servisna vrata otvorena i dostupna za obradu klijenata. Oni su bitni u strukturnoj definiciji svakog modela čekanja.

Na taj su način definirani modeli čekanja, koji prvo uzimaju inicijale velikim slovima distribucije vremena dolaska i raspoređivanja vremena usluge. Na kraju se proučava broj poslužitelja.

Prilično uobičajen primjer je MM 1, koji se odnosi na eksponencijalnu vrstu raspodjele vremena dolaska i usluge tijekom rada s jednim poslužiteljem.

Ostale vrste modela čepova su između ostalih MM s, MG 1, ME 1, DM 1.

Vrste sustava čekanja

Postoji nekoliko vrsta sustava čekanja u kojima više varijabli služi kao pokazatelj predstavljenog tipa sustava. Ali u osnovi njime upravlja broj redova i broj poslužitelja. Primjenjuje se i linearna struktura kojoj je korisnik izložen za dobivanje usluge.

- Red i poslužitelj. To je uobičajena struktura, gdje korisnik putem sustava dolaska ulazi u red, gdje nakon završetka svog čekanja prema disciplini reda, a obrađuje ih jedini poslužitelj.

- Jedan red i više poslužitelja. Na kraju svog vremena čekanja korisnik može ići na različite poslužitelje koji mogu biti izvršitelji istih procesa, kao i oni mogu biti privatni za različite postupke.

- Višestruki redovi i više poslužitelja. Struktura se može podijeliti za različite procese ili služi kao široki kanal za pokrivanje velike potražnje za zajedničkom uslugom.

- Red s rednim poslužiteljima. Korisnici prolaze kroz različite faze. Ulaze i zauzimaju mjesto u redu čekanja, a kad ih posluži prvi poslužitelj, prelaze na novu fazu koja zahtijeva prethodna ispunjenja izvršena u prvoj usluzi.

Terminologija

- λ: Ovaj simbol (Lambda) predstavlja u teoriji reda očekivanu vrijednost ulaza po vremenskom intervalu.

- 1 / λ: Odgovara očekivanoj vrijednosti između vremena dolaska svakog korisnika koji uđe u sustav.

- μ: Simbol Mu odgovara očekivanom broju klijenata koji dovrše uslugu po jedinici vremena. Ovo se odnosi na svaki poslužitelj.

- 1 / μ: Vrijeme servisa koje očekuje sustav.

- ρ: Simbol Rho označava faktor iskorištenosti poslužitelja. Koristi se za mjerenje koliko će vremena poslužitelj biti zauzet obrađivanjem korisnika.

ρ = λ / sμ

Ako je p> 1, sustav će biti prolazan i povećavat će se, jer je stopa korisnosti poslužitelja ispod broja korisnika koji ulaze u sustav.

Ako je p <1, sustav će ostati stabilan.

Čemu služi teorija

Stvorena je kako bi se optimizirali procesi pružanja telefonskih usluga. To označava korisnost u odnosu na pojave linija čekanja, gdje se nastoji smanjiti vremenske vrijednosti i otkazati bilo koju vrstu preradbe ili suvišnog procesa koji usporava proces korisnika i operatora.

Pexels font

Na složenijim razinama, gdje ulazne i uslužne varijable uzimaju mješovite vrijednosti, proračuni izvedeni izvan teorije reda čekanja gotovo su nezamislivi. Formule koje je pružila teorija otvorile su napredni račun unutar ove grane.

Elementi prisutni u formulama

- Pn: Vrijednost koja se odnosi na vjerojatnost da su "n" jedinice unutar sustava.

- Lq: duljina reda ili prosječna vrijednost korisnika u njemu.

- Ls: Prosjek jedinica u sustavu.

- Wq: prosječna stopa čekanja u redu čekanja.

- Ws: prosječna stopa čekanja u sustavu.

- _λ: prosječni broj klijenata koji ulaze u uslugu.

- Ws (t): Vrijednost koja se odnosi na vjerojatnost da kupac ostane više od "t" jedinica u sustavu.

- Wq (t): Vrijednost koja se odnosi na vjerojatnost da kupac ostaje više od „t” jedinica u redu.

Primjeri

Registar ima jedan poslužitelj za obradu putovnica korisnika koji dolaze. Prosječno 35 korisnika na sat sudjeluje u registru. Poslužitelj ima kapacitet opsluživanja 45 korisnika na sat. Od ranije je poznato da korisnici provode prosječno 5 minuta u redu čekanja.

Ti želiš znati:

1. Prosječno vrijeme koje svaki korisnik provede u sustavu
2. Prosječni broj kupaca u redu

Imamo λ = 35/45 kupaca / minuta

μ = 45/60 klijenata / minuta

Wq = 5 minuta

Dio A

Prosječno vrijeme u sustavu može se izračunati s Ws

Ws = Wq + 1 / µ = 5 minuta + 1,33 = 6,33 minute

Na taj je način definirano ukupno vrijeme u kojem će korisnik biti u sustavu, pri čemu će 5 minuta biti u redu, a 1,33 minute s poslužiteljem.

Dio b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 klijenta minuta) x (5 minuta) = 3,89 klijenata

U redu čekanja može biti više od 3 klijenta istovremeno.

Reference

1. Upravljanje operacijama. Uredništvo Vértice, 16. travnja. 2007
2. Teorija redova ili red čekanja. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Teorija sustava rješavala je probleme. Roberto Sanchis Llopis. Publikacije Universitat Jaume I, 2002
4. Kvantitativne metode industrijske organizacije II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. iz Katalonije, 2009
5. Teorija inventara i njezina primjena. Uredništvo Pax-México, 1967