Riemann suma je naziv za približno izračunavanje definitivno integral, pomoću diskretne zbrajanje s konačnim brojem pojmova. Uobičajena je primjena aproksimacija područja funkcija na grafu.

To je bio njemački matematičar Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) koji je ponudio rigoroznu definiciju integralne funkcije u određenom intervalu. To je dao do znanja u članku objavljenom 1854.

Slika 1. Riemannov zbroj definiran je na funkciji f i na particiji u intervalu. Izvor: Fanny Zapata.

Riemannova suma definirana je na funkciji y = f (x), pri čemu x pripada zatvorenom intervalu. Na tom intervalu se izrađuje particija P od n elemenata:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

To znači da je interval podijeljen kako slijedi:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

Na slici 1 grafički je prikazan Riemannov zbroj funkcije f u intervalu na particiji četiri potporeza, sivih pravokutnika.

Zbroj predstavlja ukupnu površinu pravokutnika, a rezultat tog zbroja numerički se približava području ispod krivulje f, između apscisa x = x _{0 i} x = x ₄.

Naravno, približavanje području ispod krivulje znatno se poboljšava što je broj n particija veći. Na taj se način zbroj konvertira u područje ispod krivulje, kada je broj n particija teži beskonačnosti.

Formule i svojstva

Riemannov zbroj funkcije f (x) na particiji:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Definiran preko intervala, daje ga:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Gdje je t _k vrijednost u intervalu. U Riemannovom zbroju obično se koriste pravilni intervali širine Δx = (b - a) / n, gdje su a i b minimalne i maksimalne vrijednosti apscis, dok je n broj pododjela.

U tom slučaju pravi Riemannov zbroj je:

Sd (f, n) = * Δx

Slika 2. Riemannova desna suma. Izvor: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Dok se Riemannova lijeva svota izražava kao:

Ako je (f, n) = * Δx

Slika 3. Lijeva Riemannova suma. Izvor: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Napokon je središnja Riemannova suma:

Sc (f, n) = * Δx

Slika 4. Srednja Riemannova suma. Izvor: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Ovisno o mjestu gdje se nalazi točka t _k u intervalu, Riemannova suma može precijeniti ili podcijeniti točnu vrijednost područja ispod krivulje funkcije y = f (x). Drugim riječima, pravokutnici mogu izlaziti iz krivulje ili biti malo ispod nje.

Područje ispod krivulje

Glavno svojstvo Riemannovog zbroja i iz kojeg proizlazi njegova važnost jest da ako se broj pododjeljenja teži beskonačnosti, rezultat zbroja konvergira u točno definirani integral funkcije:

Riješene vježbe

- Vježba 1

Izračunajte vrijednost određenog integrala između a = -2 do b = +2 funkcije:

f (x) = x ²

Iskoristite Riemannovu svotu. Da biste to učinili, prvo pronađite zbroj za n redovitih particija intervala, a zatim uzmite matematičku granicu za slučaj da je broj particija teži beskonačnosti.

Riješenje

Ovo su sljedeći koraci:

- Najprije, interval particije je definiran kao:

Δx = (b - a) / n.

-Tada Riemannov zbroj s desne strane koji odgovara funkciji f (x) izgleda ovako:

-A zatim se pažljivo supstituira u zbrajanju:

- Sljedeći je korak razdvajanje zbirnih podataka i uzimanje konstantnih količina kao zajedničkog faktora svake svote. Potrebno je uzeti u obzir da je indeks i, pa se brojevi i izrazi s n smatraju konstantnim:

-Svaki zbroj se vrednuje, jer za svaki od njih postoje odgovarajući izrazi. Na primjer, prvi od zbroja daje n:

-Na kraju, integral koji se izračunava je:

Čitatelj može provjeriti je li točan rezultat, koji se može dobiti rješavanjem neodređenog integrala i ocjenom granica integracije Barrowovim pravilom.

- Vježba 2

Približno odredite područje u funkciji:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Unesite x = -1 i x = + 1, koristeći središnju Riemannovu sumu s 10 particija. Usporedite s točnim rezultatom i procijenite postotnu razliku.

Riješenje

Korak ili priraštaj između dvije uzastopne diskretne vrijednosti je:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Dakle, particija P na kojoj su definirani pravokutnici izgleda ovako:

P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; 0,2; 0.0; 0,2; 0,4; 0.6; 0,8; 1,0}

Ali budući da je ono što se traži je središnji zbroj, funkcija f (x) bit će evaluirana u srednjim točkama podintenvala, to jest u skupu:

T = {-0,9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0,3; 0.5; 0,7; 0,9}.

(Središnji) Riemannov zbroj izgleda ovako:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Kako je funkcija f simetrična, zbroj je moguće smanjiti na samo 5, a rezultat se množi sa dva:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683

Funkcija dana u ovom primjeru nije ništa drugo do dobro poznato Gaussovo zvono (normalizirano, sa srednjom vrijednosti jednakom nuli i standardnom devijacijom jedna). Područje ispod krivulje u intervalu za ovu funkciju poznato je da je 0,6827.

Slika 5. Područje pod Gaussovim zvonom aproksimirano Riemannovim zbrojem. Izvor: F. Zapata.

To znači da približno rješenje s samo 10 pojmova odgovara točnom rješenju na tri decimalna mjesta. Postotna pogreška između približne i točne integrale iznosi 0,07%.

Reference

1. Casteleiro, JM, i Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralno računanje (Ilustrirano izd.). Madrid: Uredništvo ESIC-a.
2. Unican. Povijest koncepta integral. Oporavak od: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann sumira. Oporavak od: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemannova svota. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemannova integracija. Oporavak od: es.wikipedia.com