Da biste saznali koliki je zbroj kvadrata dva uzastopna broja, može se naći formula s kojom je dovoljno zamijeniti uključene brojeve da biste dobili rezultat.
Ova se formula može naći na općeniti način, odnosno može se koristiti za bilo koji par uzastopnih brojeva.
Izgovarajući "uzastopne brojeve" implicitno kažete da su oba broja cijeli brojevi. A pod "trgovima" on misli na kvarenje svakog broja.
Na primjer, ako se uzmu u obzir brojevi 1 i 2, njihovi su kvadrati 1² = 1 i 2² = 4, dakle, zbroj kvadrata je 1 + 4 = 5.
S druge strane, ako uzmemo brojeve 5 i 6, njihovi su kvadrati 5² = 25 i 6² = 36, pri čemu je zbroj kvadrata 25 + 36 = 61.
Koliki je zbroj kvadrata dva uzastopna broja?
Cilj je sada generalizirati ono što je učinjeno u prethodnim primjerima. Da biste to učinili, potrebno je pronaći općeniti način pisanja cijelog broja i njegovog uzastopnog cijelog broja.
Ako pogledate dva uzastopna cijela broja, na primjer 1 i 2, možete vidjeti da se 2 mogu zapisati kao 1 + 1. Također, ako se promatraju brojevi 23 i 24, zaključuje se da se 24 može zapisati kao 23 + 1.
Za negativne cijeli brojeve to se ponašanje može i potvrditi. Ako se uzmu u obzir -35 i -36, može se vidjeti da je -35 = -36 + 1.
Stoga, ako je odabran bilo koji cijeli broj "n", tada je cijeli uzastopni niz "n" "n + 1". Dakle, odnos između dva uzastopna cijela broja već je uspostavljen.
Koliki je zbroj kvadrata?
S obzirom na dva uzastopna cjelobrojna broja "n" i "n + 1", njihovi su kvadrati "n²" i "(n + 1) ²". Koristeći svojstva značajnih proizvoda, ovaj posljednji izraz može se napisati na sljedeći način:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.
Konačno, zbroj kvadrata dva uzastopna broja dat je izrazom:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.
Ako je prethodna formula detaljna, vidi se da je dovoljno znati samo najmanji cijeli broj "n" da bismo znali koliki je zbroj kvadrata, to jest, dovoljno je koristiti samo najmanji od dva cjelobrojna broja.
Druga perspektiva dobivene formule je: odabrani brojevi se množe, zatim dobiveni rezultat množi s 2 i na kraju se dodaje 1.
S druge strane, prvi dodatak s desne strane je parni broj, a dodavanje 1 rezultirat će neparnim. To govori da će rezultat dodavanja kvadrata dva uzastopna broja uvijek biti neparan broj.
Također se može napomenuti da, budući da se dodaju dva broja u kvadrat, tada će ovaj rezultat uvijek biti pozitivan.
Primjeri
1.- Razmotrimo cijeli brojeve 1 i 2. Najmanji cijeli broj je 1. Koristeći prethodnu formulu, zaključuje se da je zbroj kvadrata: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Što se podudara s brojenjem napravljenim na početku.
2.- Ako uzmemo cijele brojeve 5 i 6, tada će zbroj kvadrata biti 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, što se također podudara s rezultatom dobivenim na početku.
3.- Ako su odabrani cijeli brojevi -10 i -9, tada je zbroj njihovih kvadrata: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Neka su cijeli brojevi u ovoj prilici -1 i 0, tada je zbroj njihovih kvadrata dan sa 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Reference
- Bouzas, PG (2004). Algebra u srednjoj školi: kooperativni rad iz matematike. Narcejska izdanja.
- Cabello, RN (2007). Moći i korijeni. Objavite svoje knjige.
- Cabrera, VM (1997). Proračun 4000. Urednički zbornik.
- Guevara, MH (drugi). Skup cijelih brojeva. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Thomson. (2006). Prolazak GED-a: Matematika. InterLingua Publishing.