KOJE SU TRIGONOMETRIJSKE GRANICE? (VJEŽBE RIJEŠENE) - MATEMATIKA - 2025

U trigonometrijske granice su granice funkcije kao što su ove funkcije nastalih trigonometrijskih funkcija.

Postoje dvije definicije koje se moraju znati kako bi se razumjelo kako izračunati trigonometrijsku granicu.

Te su definicije:

- Granica funkcije «f» kada je «x» sklona «b»: sastoji se od izračunavanja vrijednosti kojoj se f (x) približava «x», a približava se «b», a da ne doseže «b» ».

- Trigonometrijske funkcije: trigonometrijske funkcije su sinusna, kosinusna i tangencijalna funkcija, označene sinom (x), cos (x) i tanom (x).

Ostale trigonometrijske funkcije dobivaju se iz gore spomenute tri funkcije.

Ograničenja funkcije

Da bismo pojasnili pojam ograničenja funkcije, nastavit ćemo s prikazivanjem nekih primjera s jednostavnim funkcijama.

- Granica f (x) = 3 kada je "x" teži "8" jednaka je "3", budući da je funkcija uvijek konstantna. Bez obzira koliko vrijedi "x", vrijednost f (x) uvijek će biti "3".

- Granica f (x) = x-2 kada je «x» teži «6» je «4». Od kada se "x" približava "6", tada "x-2" prilazi "6-2 = 4".

- Granica g (x) = x² kada je "x" teži "3" jednaka je 9, jer kada se "x" približava "3", tada se "x²" približava "3² = 9",

Kao što se može vidjeti u prethodnim primjerima, izračunavanje ograničenja sastoji se od procjene vrijednosti do koje "x" teži u funkciji, a rezultat će biti vrijednost ograničenja, mada to vrijedi samo za kontinuirane funkcije.

Postoje li složenija ograničenja?

Odgovor je da. Gornji primjeri su najjednostavniji primjeri ograničenja. U knjigama s računima, glavne granične vježbe su one koje generiraju neodređenost tipa 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 i (∞) ^ 0.

Ti se izrazi nazivaju neodređenošću, jer su izrazi koji nemaju smisla matematički.

Osim toga, ovisno o funkcijama koje su uključene u izvornu granicu, rezultat dobiven prilikom rješavanja neodređenosti može biti različit u svakom slučaju.

Primjeri jednostavnih trigonometrijskih granica

Da biste riješili ograničenja, uvijek je vrlo korisno znati grafikone uključenih funkcija. Grafikoni funkcija sinusa, kosinusa i tangenta prikazani su u nastavku.

Neki primjeri jednostavnih trigonometrijskih ograničenja su:

- Izračunajte granicu grijeha (x) kada je «x» sklon «0».

Kada pogledate graf može se vidjeti da ako se "x" približi "0" (i s lijeve i s desne strane), tada se sinusni graf također bliži "0". Prema tome, granica grijeha (x) kada "x" teži "0" je "0".

- Izračunajte granicu cos (x) kada je «x» teži «0».

Promatrajući graf kosinusa, vidi se da kada je "x" blizu "0", tada je i grafikon kosinusa blizu "1". To implicira da je granica cos (x) kada "x" teži do "0" jednaka "1".

Ograničenje može postojati (biti broj), kao u prethodnim primjerima, ali može se dogoditi i da ne postoji kao što je prikazano u sljedećem primjeru.

- Granica tan (x) kada je «x» usmjerena na «Π / 2» s lijeve strane jednaka je «+ ∞», kao što se može vidjeti na grafu. S druge strane, granica tan (x) kada "x" teži ka "-Π / 2" s desne strane, jednaka je "-∞".

Trigonometrijska ograničenja identiteta

Dva vrlo korisna identiteta pri izračunavanju trigonometrijskih ograničenja su:

- Granica «sin (x) / x» kada je «x» teži «0», jednaka je «1».

- Granica «(1-cos (x)) / x» kada je «x» teži «0», jednaka je «0».

Ti se identiteti koriste vrlo često kada imate neku vrstu neodređenosti.

Riješene vježbe

Riješite za sljedeća ograničenja pomoću gore opisanih identiteta.

- Izračunajte granicu «f (x) = sin (3x) / x» kada je «x» teži «0».

Ako se funkcija "f" procjenjuje na "0", dobit će se neodređenost tipa 0/0. Stoga ovu neodređenost moramo pokušati riješiti koristeći opisane identitete.

Jedina razlika između ove granice i identiteta je broj 3 koji se pojavljuje u sinusnoj funkciji. Da bismo primijenili identitet, funkciju «f (x)» moramo prepisati na sljedeći način «3 * (sin (3x) / 3x)». Sada su i sine argument i nazivnik jednaki.

Dakle, kada je "x" sklon "0", koristeći identitet daje "3 * 1 = 3". Stoga je granica f (x) kada "x" teži "0" jednaka "3".

- Izračunajte granicu od «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» kada je «x» teži «0».

Kad je "x = 0" supstituiran u g (x), dobiva se neodređenost tipa ∞-∞. Da bi se to riješilo, frakcije se najprije oduzimaju, što daje "(1-cos (x)) / x".

Sada primjenjujući drugi trigonometrijski identitet imamo da je granica g (x) kada «x» teži «0» jednaka 0.

- Izračunajte granicu od «h (x) = 4tan (5x) / 5x» kada je «x» teži «0».

Opet, ako se h (x) procjenjuje na "0", dobit će se neodređenost tipa 0/0.

Prepisivanje kao (5x) kao sin (5x) / cos (5x) rezultira h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Koristeći to da je granica 4 / cos (x) kada "x" teži "0" jednaka "4/1 = 4" i dobiven je prvi trigonometrijski identitet da je granica h (x) kada "x" teži a "0" je jednak "1 * 4 = 4".

zapažanje

Trigonometrijske granice nije uvijek lako riješiti. U ovom su članku prikazani samo osnovni primjeri.

Reference

1. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice.
2. Fleming, W., i Varberg, DE (1989). Prekalkul matematika: pristup rješavanju problema (2, Ilustrirano ur.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Prekalkulus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., i Rigdon, SE (2007). Račun (Deveto izdanje). Dvorana Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Diferencijalni račun s ranim transcendentnim funkcijama za znanost i inženjerstvo (drugo izdanje, ed.). Hipotenuza.
9. Scott, Kalifornija (2009). Kartezijanska ravnina geometrija, dio: Analitički koniki (1907) (reprint ed.). Izvor munje.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.