ŠTO SU ISTODOBNE JEDNADŽBE? (VJEŽBE RIJEŠENE) - MATEMATIKA - 2026

U simultanih jednadžbi su oni jednadžbe koji moraju biti ispunjeni u isto vrijeme. Stoga, da biste imali jednake jednadžbe, morate imati više jednadžbi.

Kada imate dvije ili više različitih jednadžbi, koje moraju imati isto rješenje (ili ista rješenja), kaže se da imate sustav jednadžbi ili se također kaže da imate simultane jednadžbe.

Kad imamo simultane jednadžbe, može se dogoditi da nemaju zajednička rješenja ili imaju konačnu količinu ili imaju beskonačnu količinu.

Simultane jednadžbe

S obzirom na dvije različite jednadžbe Eq1 i Eq2, slijedi da se sustav ove dvije jednadžbe naziva istodobnim jednadžbama.

Istovremene jednadžbe zadovoljavaju da je ako je S rješenje Eq1, tada je S rješenje i Eq2 i obrnuto

karakteristike

Kada je u pitanju sustav istodobnih jednadžbi, možete imati 2 jednadžbe, 3 jednadžbe ili N jednadžbe.

Najčešće metode koje se koriste za rješavanje istodobnih jednadžbi su: supstitucija, izjednačavanje i redukcija. Postoji i druga metoda koja se zove Cramerovo pravilo, a koja je vrlo korisna za sustave s više od dvije istodobne jednadžbe.

Primjer istodobnih jednadžbi je sustav

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Može se vidjeti da je x = 0, y = 2 rješenje Eq1, ali to nije rješenje Eq2.

Jedino zajedničko rješenje koje obje jednadžbe imaju je x = 1, y = 1. To jest, x = 1, y = 1 je rješenje sustava simultanih jednadžbi.

Riješene vježbe

Zatim nastavljamo rješavati gore prikazani sustav istodobnih jednadžbi, pomoću 3 spomenute metode.

Prva vježba

Riješite sustav jednadžbi Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomoću metode supstitucije.

Riješenje

Metoda supstitucije sastoji se u rješavanju jedne od nepoznanica u jednoj od jednadžbi, a zatim njenom nadomještanju u drugoj jednadžbi. U ovom konkretnom slučaju možemo riješiti za "y" iz Eq1 i dobit ćemo da je y = 2-x.

Supstituirajući ovu vrijednost "y" u Eq2, dobivamo 2x- (2-x) = 1. Stoga dobivamo da je 3x-2 = 1, to jest x = 1.

Zatim, pošto je poznata vrijednost x, ona se supstituira u "y" i dobivamo da je y = 2-1 = 1.

Stoga je jedino rješenje sustava simultanih jednadžbi Eq1 i Eq2 x = 1, y = 1.

Druga vježba

Riješite sustav jednadžbi Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomoću metode podudaranja.

Riješenje

Metoda podudaranja sastoji se od rješavanja iste nepoznanice u obje jednadžbe i zatim podudaranja rezultirajućih jednadžbi.

Rješavajući za "x" iz obje jednadžbe, dobivamo da je x = 2-y, a da je x = (1 + y) / 2. Sada su ove dvije jednadžbe izjednačene i dobivamo da je 2-y = (1 + y) / 2, iz čega proizlazi da je 4-2y = 1 + y.

Grupiranje nepoznatog "y" na istoj strani rezultira y = 1. Sada kada je poznato "y", nastavljamo s pronalaženjem vrijednosti "x". Supstituirajući y = 1, dobivamo da je x = 2-1 = 1.

Stoga je zajedničko rješenje jednadžbi Eq1 i Eq2 x = 1, y = 1.

Treća vježba

Riješite sustav jednadžbi Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomoću metode redukcije.

Riješenje

Metoda redukcije sastoji se od množenja jednadžbi danih odgovarajućim koeficijentima, tako da se pri dodavanju tih jednadžbi jedna od varijabli poništava.

U ovom konkretnom primjeru nije potrebno množiti bilo koju jednadžbu bilo kojim koeficijentom, samo ih dodajte. Dodavanjem Eq1 plus Eq2, dobivamo taj 3x = 3, iz čega dobijamo da je x = 1.

Procjenjujući x = 1 u Eq1, dobivamo da je 1 + y = 2, iz čega slijedi da je y = 1.

Stoga je x = 1, y = 1 jedino rješenje istodobnih jednadžbi Eq1 i Eq2.

Četvrta vježba

Riješite sustav istodobnih jednadžbi Eq1: 2x-3y = 8 i Eq2: 4x-3y = 12.

Riješenje

U ovoj vježbi nije potrebna posebna metoda, pa se može primijeniti metoda koja je najudobnija za svakog čitatelja.

U ovom će se slučaju koristiti metoda redukcije. Pomnoženjem Eq1 s -2 daje jednadžbu Eq3: -4x + 6y = -16. Sada, dodajući Eq3 i Eq2, dobivamo da je 3y = -4, dakle y = -4 / 3.

Sada, ocjenjujući y = -4 / 3 u Eq1, dobivamo da je 2x-3 (-4/3) = 8, odakle je 2x + 4 = 8, dakle, x = 2.

Zaključno, jedino rješenje sustava simultanih jednadžbi Eq1 i Eq2 je x = 2, y = -4 / 3.

zapažanje

Metode opisane u ovom članku mogu se primijeniti na sustave s više od dvije istodobne jednadžbe.

Što je više jednadžbi i što je više nepoznanica to je kompliciraniji postupak rješavanja sustava.

Bilo koja metoda rješavanja sustava jednadžbi dobit će ista rješenja, odnosno rješenja ne ovise o primijenjenoj metodi.

Reference

1. Fuentes, A. (2016). OSNOVNA MATH. Uvod u računicu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratne jednadžbe.: Kako riješiti kvadratnu jednadžbu. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, i Paul, RS (2003). Matematika za menadžment i ekonomiju. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prag.
5. Preciado, CT (2005). Tečaj matematike 3. razred Urednički Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I je jednostavno! Tako jednostavno. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trigonometrija. Pearson Education.