KOPLANARNE TOČKE: JEDNADŽBA, PRIMJER I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Sve koplanarne točke pripadaju istoj ravnini. Dvije točke su uvijek koplanarne, jer ove točke određuju liniju kroz koju prolaze beskonačne ravnine. Zatim obje točke pripadaju svakoj od ravnina koje prolaze kroz liniju i zato će uvijek biti koplanarne.

S druge strane, tri točke definiraju jednu ravninu, iz čega proizlazi da će tri točke uvijek biti koplanarne prema ravnini koju određuju.

Slika 1. A, B, C i D su koplanarne prema ravnini (Ω). E, F i G nisu koplanarne prema (Ω), već su koplanarne prema ravnini koju definiraju. Izvor: F. Zapata.

Više od tri točke može biti koplanarno ili ne. Na primjer, na slici 1, točke A, B, C i D su koplanarne prema ravnini (Ω). Ali E, F i G nisu koplanarni s (Ω), iako su koplanarni s ravninom koju definiraju.

Jednadžba ravnine s tri točke

Jednadžba ravnine određena s tri poznate točke A, B, C matematički je odnos koji jamči da bilo koja točka P s generičkim koordinatama (x, y, z) koja ispunjava jednadžbu pripada navedenoj ravnini.

Prethodna izjava jednaka je izreci da ako P koordinate (x, y, z) ispunjava jednadžbu ravnine, tada će ta točka biti koplanarna s tri točke A, B, C koje su odredile ravninu.

Da bismo pronašli jednadžbu ove ravnine, započnimo s pronalaženjem vektora AB i AC:

AB =

AC =

Vektorski proizvod AB X AC rezultira vektorom okomitim ili normalnim prema ravnini određenoj točkama A, B, C.

Bilo koja točka P s koordinatama (x, y, z) pripada ravnini ako je vektor AP okomit na vektor AB X AC, što je zajamčeno ako:

AP • (AB X AC) = 0

To je ekvivalentno izjavi da je trostruki proizvod AP, AB i AC jednak nuli. Gornja jednadžba može se napisati u obliku matrice:

Primjer

Neka su točke A (0, 1, 2); B (1,2,3); C (7, 2, 1) i D (a, 0, 1). Kakvu vrijednost mora imati da bi četiri točke bile koplanarne?

Riješenje

Da bi pronašla vrijednost a, točka D mora biti dio ravnine određene A, B i C, što je zajamčeno ako zadovoljava jednadžbu ravnine.

Razvijajući odrednicu imamo:

Prethodna jednadžba govori nam da je a = -1 za ispunjavanje jednakosti. Drugim riječima, jedini način da je točka D (a, 0,1) koplanarna s točkama A, B i C je da a bude -1. Inače neće biti koplanarna.

Riješene vježbe

- Vježba 1

Ravnina presijeca kartezijanske osi X, Y, Z na 1,2, 3. Sjecište ove ravnine s osovinama određuje točke A, B i C. Pronađite komponentu Dz točke D, čije su kartezijeve komponente:

Pod uvjetom da je D koplanar s točkama A, B i C.

Riješenje

Kad su poznati presretanji ravnine kartezijanskim osovinama, može se upotrijebiti segmentni oblik jednadžbe ravnine:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Budući da točka D mora pripadati prethodnoj ravnini, mora:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

To znači:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Iz navedenog proizlazi da je točka D (3, -2, -3) koplanarna s točkama A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) i C (0, 0, 3).

- Vježba 2

Utvrdite jesu li točke A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) i D (2, 3, 1) su koplanarni.

Riješenje

Oblikujemo matricu čiji su redovi koordinate DA, BA i CA. Tada se izračunava odrednica i provjerava je li ili ne.

Nakon obavljenih svih izračuna zaključuje se da su koplanarni.

- Vježba 3

U prostoru postoje dvije crte. Jedan od njih je linija (R) čija je parametrijska jednadžba:

A drugi je pravac (S) čija je jednadžba:

Pokažite da su (R) i (S) koplanarne linije, odnosno da leže u istoj ravnini.

Riješenje

Počnimo s proizvoljnim uzimanjem dviju točaka na liniji (R) i dvije na liniji (S):

Linija (R): λ = 0; A (1, 1, 1) i λ = 1; B (3, 0, 1)

Neka je x = 0 na liniji (S) => y = ½; C (0, ½, -1). A s druge strane, ako napravimo y = 0 => x = 1; D (1,0, -1).

Odnosno, uzeli smo točke A i B koje pripadaju liniji (R) i točke C i D koje pripadaju liniji (S). Ako su te točke koplanarne, tada će i dvije linije biti previše.

Sada kao pivot odabiremo točku A, a zatim pronalazimo koordinate vektora AB, AC i AD. Na ovaj način dobivate:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Sljedeći korak je izgradnja i izračunavanje determinante čiji su prvi red koeficijenti vektora AB, drugi su red AC i treći red oni vektora AD:

Budući da se pokazatelj čini nulanim, tada možemo zaključiti da su četiri točke koplanarne. Uz to, može se reći da su i linije (R) i (S) koplanarne.

- Vježba 4

Linije (R) i (S) su koplanarne, kao što je pokazano u vježbi 3. Pronađite jednadžbu ravnine koja ih sadrži.

Riješenje

Točke A, B, C u potpunosti definiraju tu ravninu, ali želimo nametnuti da joj tačka X koordinata (x, y, z) pripada.

Da bi X pripadao ravnini definiranoj s A, B, C i u kojoj su sadržane linije (R) i (S), potrebno je da odrednica koja je u svom prvom redu formirana komponentama AX, u drugom redu po AB i u trećem po AC:

Nakon ovog rezultata grupiramo se na ovaj način:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

I odmah vidite da se može ovako prepisati:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Stoga je x + 2y - z = 2 jednadžba ravnine koja sadrži pravce (R) i (S).

Reference

1. Fleming, W. 1989. Prekalkulusna matematika. Dvorana Prentice.
2. Kolman, B. 2006. Linearna algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Ravna analitička geometrija. Mérida - Venezuela: Uredništvo Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektori. Oporavak od: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Predračun. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Osnovni pojmovi geometrije. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.