SLOŽENA PROPORCIONALNOST: OBJAŠNJENJE, SLOŽENO PRAVILO TRI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Kompozitni ili višestruko proporcionalnosti je omjer više od dvije veličine, koji se mogu izravno promatrati i obrnuta razmjernost između podataka i nepoznato. Ovo je naprednija verzija jednostavne proporcionalnosti, iako su tehnike korištene u oba postupka slične.

Na primjer, ako je potrebno 7 osoba za istovar 10 tona robe u 3 sata, složena proporcionalnost može se upotrijebiti za izračunavanje koliko će ljudi trebati da se u 4 sata istovari 15 tona.

Izvor: pixabay.com

Da biste odgovorili na ovo pitanje, prikladno je napraviti tablicu vrijednosti koja će proučavati i povezivati ​​veličine i nepoznanice.

Nastavljamo analizirati vrste odnosa između svake veličine i sadašnje nepoznanice, što u ovom slučaju odgovara broju ljudi koji će raditi.

Kako se težina robe povećava, tako raste i broj ljudi potrebnih za istovar. Zbog toga je odnos težine i radnika izravan.

S druge strane, kako se broj radnika povećava, radno vrijeme se smanjuje. Zbog toga je odnos između ljudi i radnog vremena obrnut.

Kako izračunati složene proporcije

Za rješavanje primjera poput onog gore, uglavnom se koristi složeno pravilo tri metode. Sastoji se od utvrđivanja vrsta odnosa između količine i nepoznanice, a zatim predstavlja proizvoda između frakcija.

U odnosu na početni primjer, frakcije koje odgovaraju tablici vrijednosti organiziraju se kako slijedi:

Ali prije rješavanja i rješavanja nepoznatog, frakcije koje odgovaraju obratnom odnosu moraju biti obrnute. Koje za ovaj slučaj odgovaraju promjenjivom vremenu. Na ovaj će način operacija koju treba riješiti biti:

Čija je jedina razlika inverzija frakcije koja odgovara vremenskoj varijabli 4/3. Nastavljamo s radom i čistimo vrijednost x.

Dakle, potrebno je više od jedanaest ljudi za istovar 15 tona robe u 4 sata ili manje.

Obrazloženje

Proporcionalnost je stalni odnos između količina koje su podložne promjenama, a koje će biti simetrične za svaku od uključenih količina. Postoje izravni i obrnuto proporcionalni odnosi, čime se definiraju parametri jednostavne ili složene proporcije.

Izravno pravilo tri

Sastoji se od proporcije između varijabli koje pokazuju isto ponašanje kada su modificirane. Vrlo je česta u izračunavanju postotaka koji se odnose na veličine od stotinu, gdje se uvažava njegova temeljna struktura.

Primjerice, može se izračunati 15% od 63. Na prvi pogled ovaj se postotak ne može olako procijeniti. No, primjenjujući pravilo tri, može se uspostaviti sljedeći odnos: ako je 100% 63, onda 15%, koliko će biti?

100% ---- 63

15% ---– X

A odgovarajuća operacija je:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Tamo gdje su pojednostavljeni znakovi pojednostavljeni i dobiva se broj 9,45, što predstavlja 15% od 63.

Obrnuto pravilo tri

Kao što mu ime govori, u ovom je slučaju odnos između varijabli suprotan. Inverzni odnos mora se uspostaviti prije nego što se pristupi proračunu. Njegov postupak homologan je onom izravne vladavine tri, osim ulaganja u ulomak koji se izračunava.

Na primjer, 3 slikara trebaju 5 sati da završe zid. Za koliko sati bi ga završili 4 slikara?

U ovom slučaju odnos je obrnut, jer kako se broj slikara povećava, radno vrijeme bi se trebalo smanjivati. Veza je uspostavljena;

3 slikara - 5 sati

4 slikara - X sati

Kako se odnos preokreće, redoslijed rada preokreće se. To je ispravan način;

(3 slikara). (5 sati) / 4 slikara = 3,75 sati

Pojam slikari je pojednostavljen, a rezultat je 3,75 sati.

Stanje

Da biste bili u prisutnosti spoja ili više proporcionalnosti, potrebno je pronaći obje vrste odnosa između veličine i varijabli.

- Izravno: varijabla ima isto ponašanje kao nepoznata. To jest, kada se jedno povećava ili smanjuje, drugo se jednako mijenja.

- Obrnuto: varijabla ima antonimsko ponašanje prema nepoznatom. Frakcija koja definira navedenu varijablu u tablici vrijednosti mora biti obrnuta, kako bi prikazala obrnuto proporcionalan odnos između varijable i nepoznanice.

Provjera rezultata

Vrlo je uobičajeno zbuniti redoslijed količina kod rada sa složenim proporcijama, za razliku od onoga što se događa u uobičajenim proračunima proporcija, čija je priroda uglavnom izravna i rješiva ​​pomoću jednostavnog pravila tri.

Iz tog razloga, važno je ispitati logički redoslijed rezultata, provjeravajući koherentnost brojki dobivenih složenim pravilom od tri.

U početnom primjeru, takva greška bi rezultirala s 20 kao rezultatom. Odnosno, 20 ljudi za istovar 15 tona robe u 4 sata.

Na prvi pogled ne djeluje poput ludog rezultata, ali zanimljivo je povećanje od gotovo 200% osoblja (sa 7 na 20 ljudi) kada je povećanje robe 50%, pa čak i s većom razmakom vremena za obavljanje posao.

Dakle, logična provjera rezultata predstavlja važan korak u provedbi složenog pravila od tri.

odobrenje

Iako je više prirode u odnosu na matematički trening, čišćenje je važan korak u slučajevima proporcionalnosti. Pogrešno uklanjanje dovoljno je za poništavanje bilo kojeg rezultata dobivenog u jednostavnom ili složenom pravilu tri.

Povijest

Vladavina troje postala je poznata na Zapadu preko Arapa, s publikacijama raznih autora. Među njima su Al-Jwarizmi i Al-Biruni.

Al-Biruni je zahvaljujući svom multikulturalnom znanju imao pristup opsežnim informacijama o toj praksi na putovanjima u Indiju, odgovoran za najopsežniju dokumentaciju o vladavini trojice.

U svom istraživanju navodi da je Indija bila prvo mjesto gdje je upotreba pravila troje postala uobičajena. Pisac uvjerava da je izveden fluidno u svojim izravnim, obrnutim i čak sastavljenim verzijama.

Točan datum kada je pravilo troje postalo dio matematičkog znanja o Indiji još uvijek nije poznat. Međutim, najstariji dokument koji se bavi ovom praksom, rukopisom Bakhshali, otkriven je 1881. Trenutno se nalazi u Oxfordu.

Mnogi povjesničari matematike tvrde da ovaj rukopis potječe s početka sadašnje ere.

Riješene vježbe

Vježba 1

Zrakoplovna kompanija mora prevoziti 1.535 ljudi. Poznato je da bi s 3 aviona trebalo 12 dana da dođu zadnji putnik na odredište. Još 450 ljudi je stiglo u zrakoplovnu tvrtku, a dva zrakoplova naređena su da se poprave kako bi pomogla u ovom zadatku. Koliko će dana trebati zrakoplovnoj kompaniji da prebaci svakog zadnjeg putnika na njegovo odredište?

Odnos između broja ljudi i dana rada je izravan, jer što je veći broj ljudi, više će dana trebati za obavljanje ovog posla.

S druge strane, odnos između zrakoplova i dana obrnuto je proporcionalan. Kako se broj aviona povećava, dani potrebni za prijevoz svih putnika smanjuju se.

Izrađena je tablica vrijednosti koja se odnosi na ovaj slučaj.

Kao što je detaljno opisano u početnom primjeru, brojač i nazivnik moraju biti obrnuti u frakciji koja odgovara obrnutoj varijabli s obzirom na nepoznato. Operacija je sljedeća:

X = 71460/7675 = 9,31 dan

Za prebacivanje 1985 osoba koje koriste 5 aviona potrebno je više od 9 dana.

Vježba 2

Usjev od 25 tona kukuruza odvezen je u teretna vozila. Poznato je da im je prethodne godine trebalo 8 sati s plaćom od 150 radnika. Ako se za ovu godinu plaća povećala za 35%, koliko će im trebati vremena da napune teretne kamione s 40-tonskim usjevima?

Prije predstavljanja tablice vrijednosti mora se definirati broj radnika za ovu godinu. To je poraslo za 35% od početnog broja od 150 radnika. Za to se koristi izravno troje.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35.100) / 100 = 52.5. To je broj dodatnih radnika u odnosu na prethodnu godinu, dobivši ukupan broj radnika od 203, nakon zaokruživanja dobivenog iznosa.

Nastavljamo s definiranjem odgovarajuće tablice podataka

U ovom slučaju, težina predstavlja varijablu koja je izravno povezana s nepoznatim vremenom. Sa druge strane, varijabla radnika ima obrnutu vezu s vremenom. Što je veći broj radnika, kraći je radni dan.

Uzimajući u obzir ta razmatranja i obrćući udio koji odgovara radnoj varijabli, nastavljamo s proračunom.

X = 40600/6000 = 6,76 sati

Putovanje će trajati nešto manje od 7 sati.

Predložene vježbe

- Odredite 73% od 2875.

- Izračunajte broj sati u kojima Teresa spava, ako se zna da za dan spava samo 7%. Odredite koliko sati tjedno spavate.

- Novine objavljuju 2000 primjeraka svakih 5 sati, koristeći samo 2 stroja za tisak. Koliko primjeraka će proizvesti za 1 sat, ako koristi 7 strojeva? Koliko će vremena trebati da se proizvede 10 000 primjeraka pomoću 4 stroja?

Reference

1. Enciklopedija Alvarez-inicijacija. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Kompletni priručnik o osnovnim i višim osnovnim uputama: za upotrebu početnika učitelja, posebno učenika normalnih škola provincije, svezak 1. Joaquín Avendaño. Tisak D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Racionalno približavanje stvarnih funkcija. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. ožujka. 2011.
4. Elementarna aritmetika za podučavanje u školama i fakultetima u Srednjoj Americi. Darío González. Savjet. Arenales, 1926.
5. Studij matematike: O proučavanju i poteškoćama matematike. Augustus De Morgan. Baldwin i Cradock, 1830.