POLTROPNI POSTUPAK: KARAKTERISTIKE, PRIMJENE I PRIMJERI - FIZIČKA - 2024

Politropna Postupak je termodinamički proces koji se pojavljuje kada je odnos između tlaka i volumena V P daje PV ⁿ drži konstantnom. Izložak n je stvaran broj, uglavnom između nule i beskonačnosti, ali u nekim slučajevima može biti negativan.

Vrijednost n naziva se indeks politropije i važno je imati na umu da za vrijeme politropskog termodinamičkog procesa navedeni indeks mora održavati fiksnu vrijednost, jer se u protivnom postupak neće smatrati politropnim.

Slika 1. Karakteristična jednadžba politropnog termodinamičkog procesa. Izvor: F. Zapata.

Karakteristike politropnih procesa

Neki karakteristični slučajevi politropnih procesa su:

- Izotermalni proces (pri konstantnoj temperaturi T), u kojem je eksponent n = 1.

- Izobarni proces (pri konstantnom tlaku P), u ovom slučaju n = 0.

- Izohorni proces (pri konstantnom volumenu V), za koji je n = + ∞.

- Adiabatski procesi (pri stalnoj S entropiji), u kojima je eksponent n = γ, gdje je γ adijabatska konstanta. Ta konstanta je kvocijent između toplinskog kapaciteta pri konstantnom tlaku Cp podijeljenog s toplinskim kapacitetom u konstantnom volumenu Cv:

γ = Cp / Cv

- Bilo koji drugi termodinamički proces koji nije jedan od prethodnih slučajeva. ali ako se susreće PV ⁿ = ctte s pravim i konstantnim politropnim indeksom n, također će biti politropni proces.

Slika 2. Različiti karakteristični slučajevi poltropnih termodinamičkih procesa. Izvor: Wikimedia Commons.

Prijave

Jedna od glavnih primjena politropne jednadžbe je izračunavanje rada obavljenog zatvorenim termodinamičkim sustavom, kada kvazi-statički način prijeđe iz početnog stanja u krajnje stanje, to jest slijedi sukcesija ravnotežnih stanja.

Rad na politropnim procesima za različite vrijednosti n

Za n ≠ 1

Mehanički rad W koji izvodi zatvoreni termodinamički sustav izračunava se izrazom:

W = ∫P.dV

Tamo gdje je P tlak, a V volumen.

Kao u slučaju politropnog procesa, odnos tlaka i volumena je:

Mehanički rad je učinjen tijekom jednog politropnog procesa, koji započinje u početnom stanju 1 i završava u konačnom stanju 2. Sve se to pojavljuje u sljedećem izrazu:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Zamjenom vrijednosti konstante u radnom izrazu, dobivamo:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

U slučaju da se radna tvar može modelirati kao idealan plin, imamo sljedeću jednadžbu stanja:

PV = mRT

Gdje je m broj mola idealnog plina, a R je univerzalna plinska konstanta.

Za idealno plin koji slijedi politropna postupak s indeksom koji se razlikuje od polytropy jedinstva i da prolazi iz stanja s početne temperature T ₁ do drugo stanje s temperaturi T ₂ je rad daje slijedeće formule:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

Za n → ∞

Prema formuli za rad dobivenom u prethodnom odjeljku, smatramo da je rad politropnog procesa s n = ∞ nulatan, jer je izraz rada podijeljen s beskonačnošću i stoga rezultat teži nuli, Drugi način da se dođe do ovog rezultata je polaziti od odnosa P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, koji se može prepisati na sljedeći način:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Uzimajući nti korijen u svakom članu, dobivamo:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

U slučaju da je n → ∞, imamo (V ₂ / V1) = 1, što znači da:

V ₂ = V ₁

Odnosno, volumen se ne mijenja u politropnom procesu s n → ∞. Prema tome, diferencijalni volumen dV u integralu mehaničkog rada je 0. Ova vrsta poltropnih procesa je također poznata kao izohorski procesi, ili konstantni volumni procesi.

Za n = 1

Opet imamo izraz izraz za rad:

W = ∫P dV

U slučaju poltropnog procesa s n = 1, odnos tlaka i volumena je:

PV = konstanta = C

Rješavanjem P iz prethodnog izraza i supstitucijom imamo završen posao da bismo prešli iz početnog stanja u konačno stanje 2:

To znači:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Kako su početna i konačna stanja dobro određena, tako će i ctte. To znači:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Na kraju, imamo sljedeće korisne izraze za pronalaženje mehaničkog rada zatvorenog politropnog sustava u kojem je n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Ako se radna tvar sastoji od m molova idealnog plina, tada se može primijeniti jednadžba idealnog plina: PV = mRT

U ovom slučaju, budući da je PV ₁ = ctte, imamo da jetrotropni proces s n = 1 proces pri konstantnoj temperaturi T (izotermalni), tako da se mogu dobiti sljedeći izrazi za rad:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Slika 3. Bočica koja se topi, primjer izotermičkog postupka. Izvor: Pixabay.

Primjeri poltropnih procesa

- Primjer 1

Pretpostavimo da je cilindar s pomičnim klipom ispunjen jednim kilogramom zraka. U početku zrak zauzima volumen V ₁ = 0,2 m ³ pri tlaku P ₁ = 400 kPa. Politropna postupak slijedi sa n = γ = 1.4, čija je konačno stanje je tlak P ₂ = 100 kPa. Odredite posao koji radi zrak na klipu.

Riješenje

Kad je indeks politropije jednak adijabatskoj konstanti, događa se postupak u kojem radna tvar (zrak) ne razmjenjuje toplinu s okolinom, pa se stoga entropija ne mijenja.

Za zrak, dijatomejski idealni plin, imamo:

γ = Cp / Cv, s Cp = (7/2) R i Cv = (5/2) R

Tako:

γ = 7/5 = 1.4

Pomoću izraza politropnog postupka može se odrediti konačni volumen zraka:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Sada imamo uvjete da primijenimo formulu rada učinjenog u politropnom procesu za n ≠ 1 dobivenu gore:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Zamjenom odgovarajućih vrijednosti imamo:

Š = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Primjer 2

Pretpostavimo isti cilindar iz primjera 1, sa pomičnim klipom ispunjenim jednim kilogramom zraka. U početku zrak zauzima volumen V1 = 0,2 m ³ pri tlaku P1 = 400 kPa. Ali za razliku od prethodnog slučaja, zrak se širi izotermalno kako bi dostigao krajnji tlak P2 = 100 kPa. Odredite posao koji radi zrak na klipu.

Riješenje

Kao što smo vidjeli, izotermalni procesi su politropni procesi s indeksom n = 1, tako da je tačno da:

P1 V1 = P2 V2

Na taj se način konačni volumen može lako odvojiti radi dobivanja:

V2 = 0,8 m ³

Zatim, koristeći izraženi radni izraz za slučaj n = 1, imamo da je rad koji zrak u klipu obavlja u ovom procesu:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fizika za inženjerstvo i znanosti. Svezak 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodinamika. 7. izdanje. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 4. Tekućine i termodinamika. Uredio Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Prvi zakon termodinamike. Oporavilo od: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fizika za znanstvenike i inženjerstvo: strateški pristup. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Osnove fizike. 9. izd. Cengage Learning.
7. Sveučilište Sevilla. Toplinski strojevi. Oporavak od: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Poltropni proces. Oporavilo od: wikiwand.com.