TEORIJSKA VJEROJATNOST: KAKO TO DOBITI, PRIMJERI, VJEŽBE - DUDÁS - 2026

Teorijski (ili Laplacea) vjerojatnost da je događaj koji se događa E pripada uzorka prostora S, u kojima su svi događaji imaju isti vjerojatnost pojave, definira se kao matematička notacija: P (E) = N (E) / N (S)

Gdje je P (E) vjerojatnost, dana kao kvocijent između ukupnog broja mogućih ishoda događaja E, kojeg nazivamo n (E), podijeljenog s ukupnim brojem N (S) mogućih ishoda u uzorku prostora S.

Slika 1. Pri bacanju šesterostrane matrice teoretska vjerojatnost da će troglava glava biti na vrhu je ⅙. Izvor: Pixabay.

Teorijska vjerojatnost je stvaran broj između 0 i 1, ali često se izražava kao postotak, u tom slučaju će vjerojatnost biti vrijednost između 0% i 100%.

Izračunavanje vjerojatnosti da se neki događaj dogodi vrlo je važan u mnogim poljima, poput trgovanja dionicama, osiguravajućih društava, kockanja i mnogih drugih.

Kako doći do teorijske vjerojatnosti?

Ilustrativni slučaj su slučajevi tombole ili lutrije. Pretpostavimo da se izdaje 1.000 ulaznica za postavljanje pametnih telefona. Kako se izvlačenje vrši nasumično, bilo koja od ulaznica ima jednake šanse da postane pobjednik.

Da bi se utvrdila vjerojatnost da je osoba koja kupi kartu s brojem 81 pobjednica, provodi se sljedeći teoretski proračun vjerojatnosti:

P (1) = 1 / 1.000 = 0.001 = 0.1%

Gornji se rezultat tumači na sljedeći način: ako se izvlačenje ponovi beskonačno mnogo puta, svakih 1000 puta ulaznica 81 bila bi u prosjeku izabrana jednom.

Ako iz nekog razloga netko nabavi sve ulaznice, sigurno je da će osvojiti nagradu. Vjerojatnost dobitka nagrade ako imate sve ulaznice izračunava se na sljedeći način:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

To jest, ta vjerojatnost 1 ili 100% znači da je posve sigurno da će se taj rezultat dogoditi.

Ako netko posjeduje 500 ulaznica, šanse za pobjedu ili gubitak su iste. Teoretska vjerojatnost dobitka nagrade u ovom se slučaju izračunava na sljedeći način:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0.5 = 50%.

Onaj koji ne kupi nijednu kartu nema šanse za pobjedu i njegova teorijska vjerojatnost je određena na sljedeći način:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Primjeri

Primjer 1

Imate novčić s licem s jedne strane i štitom ili pečatom na drugoj strani. Kad se novčić baci, koja je teoretska vjerojatnost da će se pojaviti na glavi?

P (lice) = n (lice) / N (lice + štit) = ½ = 0,5 = 50%

Rezultat se tumači na sljedeći način: ako se napravi ogroman broj bacanja, u prosjeku bi na svaka dva bacanja jedan od njih dizao glave.

Procentualno, interpretacija rezultata je da bi se od beskonačno velikog broja udaraca u prosjeku od 100 njih 50 stvorilo glavu.

Primjer 2

U kutiji su 3 plava mramora, 2 crvena mramora i 1 zeleni. Kolika je teoretska vjerojatnost da kad izvadite mramor iz kutije on će biti crven?

Slika 2. Vjerojatnost vađenja obojenih mramora. Izvor: F. Zapata.

Vjerojatnost da se pojavi crvena je:

P (crvena) = Broj povoljnih slučajeva / Broj mogućih slučajeva

To znači:

P (crvena) = Broj crvenih mramora / Ukupan broj mramora

Na kraju, vjerojatnost crtanja crvenog mramora je:

P (crvena) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Iako je vjerojatnost da će pri crtanju zelenog mramora biti:

P (zelena) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Konačno, teoretska vjerojatnost dobivanja plavog mramora slijepim ekstrakcijama je:

P (plava) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Odnosno, za svaka dva pokušaja rezultat će biti plav u jednom, a drugi u drugom pokušaju, pod pretpostavkom da se ekstrahirani mramor zamijeni i da je broj pokusa vrlo, vrlo velik.

vježbe

Vježba 1

Odredite vjerojatnost da će valjanje matrice dobiti vrijednost manju ili jednaku 4.

Riješenje

Za izračunavanje vjerojatnosti da će se ovaj događaj dogoditi primijenit će se definicija teorijske vjerojatnosti:

P (≤4) = Broj povoljnih slučajeva / Broj mogućih slučajeva

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Vježba 2

Pronađite vjerojatnost da će se na dva uzastopna bacanja normalne šesterostrane matrice 5 otkotrljati 2 puta.

Riješenje

Da biste odgovorili na ovu vježbu, napravite tablicu u kojoj će se prikazati sve mogućnosti. Prva znamenka označava rezultat prve matrice, a druga rezultat druge.

Za izračun teorijske vjerojatnosti moramo znati ukupan broj mogućih slučajeva, u ovom slučaju, kao što je vidljivo iz prethodne tablice, postoji 36 mogućnosti.

Također, promatrajući tablicu, zaključuje se da je broj slučajeva povoljnih za slučaj da u dva uzastopna lansiranja izađe 5 samo 1, označen bojom, tako da je vjerojatnost da se ovaj događaj dogodi:

P (5 x 5) = 1/36.

Do ovog se rezultata moglo doći i korištenjem jednog od svojstava teorijske vjerojatnosti, koji kaže da je kombinirana vjerojatnost dvaju neovisnih događaja proizvod njihovih pojedinačnih vjerojatnosti.

U ovom slučaju vjerojatnost da će prvi bacanje baciti 5 je ⅙. Drugo bacanje potpuno je neovisno o prvom, pa je vjerovatnoća da se 5 valja u drugom također je ⅙. Dakle, kombinirana vjerojatnost je:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Vježba 3

Pronađite vjerojatnost da se na prvom bacanju prevrne broj manji od 2, a na drugi jedan.

Riješenje

Opet se mora sastaviti tablica mogućih događaja gdje su oni u kojima je prvo bacanje bilo manje od 2, a u drugom veće od 2, podcrtane.

Ukupno postoje 4 mogućnosti od ukupno 36. To jest, vjerojatnost ovog događaja je:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Koristeći teoremu vjerojatnosti koja kaže:

Dobiva se isti rezultat:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Vrijednost dobivena ovim postupkom podudara se s prethodnim rezultatom, putem teorijske ili klasične definicije vjerojatnosti.

Vježba 4

Kolika je vjerojatnost da će se prilikom valjanja dviju kockica zbroj vrijednosti iznositi 7.

Riješenje

Da bi se pronašlo rješenje u ovom slučaju, sastavljena je tablica mogućnosti u kojoj su slučajevi koji ispunjavaju uvjet da zbroj vrijednosti bude 7, označeni bojom.

Gledajući tablicu, može se prebrojati 6 mogućih slučajeva, tako da je vjerojatnost:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Reference

1. Canavos, G. 1988. Vjerojatnost i statistika: Primjene i metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Vjerojatnost i statistika za inženjerstvo i znanost. 8.. Izdanje. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Serija Schaum: Vjerojatnost. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorija vjerojatnosti. Uredništvo Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Vjerojatnost i statistika za inženjering i znanosti. Pearson.