MULTIPLIKATIVNI PRINCIP: TEHNIKE BROJANJA I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Multiplikativni princip je tehnika koja se koristi za rješavanje problema računajući pronaći rješenje, bez potrebe da se popis njegovih elemenata. Poznato je i kao temeljno načelo kombinatorne analize; temelji se na uzastopnom množenju kako bi se utvrdilo kako se događaj može dogoditi.

Ovo načelo kaže da, ako se odluka (d ₁) može donijeti na n načina i druga odluka (d ₂) može se donijeti na m način, ukupan broj načina na koje se mogu donijeti odluke d ₁ i d ₂ bit će jednak pomnožiti s n _* m. Prema principu, svaka se odluka donosi jedna za drugom: broj načina = N _{1 *} N ₂… _* N _x načina.

Primjeri

Primjer 1

Paula planira otići u kino s prijateljima, a za odabir odjeće koju će nositi odvojim 3 bluze i 2 suknje. Na koliko se načina Paula može odijevati?

Riješenje

U ovom slučaju, Paula mora donijeti dvije odluke:

d ₁ = Odaberite između 3 bluze = n

d ₂ = Odaberite između 2 suknje = m

Tako Paula ima n _* m odluke upućivati ili različite načine odijevanja.

n _* m = 3 _* 2 = 6 odluka.

Multiplikativni princip proizlazi iz tehnike dijagrama stabla, koja je dijagram koji povezuje sve moguće ishode, tako da se svaki može pojaviti u konačnom broju puta.

Primjer 2

Mario je bio jako žedan, pa je otišao u pekaru kupiti sok. Luis se brine za njega i govori mu da dolazi u dvije veličine: velikoj i maloj; i četiri okusa: jabuka, naranča, limun i grožđe. Na koliko načina Mario može odabrati sok?

Riješenje

Na dijagramu se vidi da Mario ima 8 različitih načina da odabere sok i da se, kao u multiplikativnom principu, taj rezultat dobije množenjem n _* m. Jedina je razlika što kroz ovaj dijagram možete vidjeti kako izgledaju načini na koji Mario bira sok.

S druge strane, kada je broj mogućih ishoda vrlo velik, praktičnije je koristiti multiplikativni princip.

Tehnike brojanja

Tehnike brojanja su metode koje se koriste za izravno brojanje i na taj način se zna broj mogućih aranžmana koje mogu imati elementi određenog skupa. Te se tehnike temelje na nekoliko principa:

Načelo dodavanja

Ovo načelo kaže da, ako se dva događaja m i n ne mogu istovremeno dogoditi, broj načina na koji se može dogoditi prvi ili drugi događaj bit će zbroj m + n:

Broj oblika = m + n… + x različitih oblika.

Primjer

Antonio želi krenuti na putovanje, ali ne odlučuje na koje će odredište; u Južnoj turističkoj agenciji nude vam promociju za putovanje u New York ili Las Vegas, dok Istočna turistička agencija preporučuje putovanje u Francusku, Italiju ili Španjolsku. Koliko različitih alternativa za putovanja nudi vam Antonio?

Riješenje

Sa Južnom turističkom agencijom Antonio ima dvije alternative (New York ili Las Vegas), dok s istočnom turističkom agencijom ima 3 mogućnosti (Francuska, Italija ili Španjolska). Broj različitih alternativa je:

Broj alternativa = m + n = 2 + 3 = 5 alternativa.

Princip permutacije

Radi se o specifičnom naručivanju svih ili nekih elemenata koji čine skup kako bi se olakšalo brojanje svih mogućih aranžmana koji se mogu sklopiti s elementima.

Broj permutacija n različitih elemenata uzetih odjednom, predstavljen je kao:

_n P _n = n!

Primjer

Četiri prijatelja žele se fotografirati i žele znati na koliko različitih načina se mogu dogovoriti.

Riješenje

Želite znati skup svih mogućih načina na koje se mogu postaviti 4 osobe za fotografiranje. Dakle, morate:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 različita oblika.

Ako je broj permutacija n raspoloživih elemenata uzeo dijelovima skupa koji je sastavljen od r elemenata, predstavlja se kao:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Primjer

U učionici ima 10 mjesta. Ako nastavu pohađaju 4 učenika, na koliko različitih načina učenici mogu popuniti pozicije?

Riješenje

Imamo da je ukupni broj garniture stolica 10, a od ove će se koristiti samo 4. Dana formula se primjenjuje za određivanje broja permutacija:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 načina za popunjavanje pozicija.

Postoje slučajevi u kojima se neki od dostupnih elemenata skupa ponavljaju (isti su). Za izračunavanje broja nizova koji uzimaju sve elemente istovremeno, koristi se sljedeća formula:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Primjer

Koliko različitih riječi s četiri slova može nastati od riječi "vuk"?

Riješenje

U ovom slučaju postoje 4 elementa (slova) od kojih su dva potpuno ista. Primjenjujući zadanu formulu, zna se koliko različitih riječi rezultiraju:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 različitih riječi.

Princip kombinacije

Riječ je o organiziranju svih ili nekih elemenata koji čine skup bez određenog reda. Na primjer, ako imate XYZ aranžman, bit će identičan između rasporeda ZXY, YZX, ZYX; to je zato što su, iako nisu u istom redoslijedu, elementi svakog aranžmana isti.

Kad su neki elementi (r) uzeti iz skupa (n), princip kombinacije dan je sljedećom formulom:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Primjer

U trgovini prodaju 5 različitih vrsta čokolade. Na koliko različitih načina mogu se odabrati 4 čokolade?

Riješenje

U ovom slučaju se moraju odabrati 4 čokolade iz 5 vrsta koje se prodaju u trgovini. Redoslijed odabira nije važan, a osim toga, vrsta čokolade može se odabrati više od dva puta. Primjenjujući formulu, morate:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 različitih načina za odabir 4 čokolade.

Kada su uzeti svi elementi (r) skupa (n), princip kombinacije je dan sljedećom formulom:

_n C _{n =} n!

Riješene vježbe

Vježba 1

Postoji bejzbol ekipa sa 14 članova. Na koliko načina se može dodijeliti 5 pozicija za igru?

Riješenje

Skup se sastoji od 14 elemenata i želite dodijeliti 5 određenih položaja; to jest, naređuje stvari. Formula permutacije primjenjuje se tamo gdje su n raspoloživih elemenata uzeti dijelovi skupa koji se tvori r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Gdje je n = 14 i r = 5. Supstituiran je u formuli:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 načina da dodijelite 9 igara pozicija.

Vježba 2

Ako obitelj od 9 osoba kreće na put i kupi karte za uzastopnim sjedalima, na koliko različitih načina mogu sjesti?

Riješenje

Riječ je o 9 elemenata koji će zauzeti 9 mjesta uzastopno.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 različitih načina sjedenja.

Reference

1. Hopkins, B. (2009). Resursi za podučavanje diskretne matematike: projekti u učionici, povijesni moduli i članci.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskretna matematika. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Konačni i diskretni matematički problem. Urednici udruženja za istraživanje i obrazovanje
4. Padró, FC (2001). Diskretna matematika. Politèc. od Katalonije.
5. Steiner, E. (2005). Matematika za primijenjene znanosti. Reverte.