KONVEKSNI POLIGON: DEFINICIJA, ELEMENTI, SVOJSTVA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2025

Poligona je geometrijski lik koji se nalazi u ravnini koja je naznačena time jer je sve svoje dijagonale u unutrašnjosti i njegovih kutova mjeri manje od 180 °. Među njegovim svojstvima su sljedeća:

1) Sastoji se od n uzastopnih segmenata gdje se zadnji od segmenata pridružuje prvom. 2) Nijedan od segmenata ne presijeca se na način da ograniči ravninu u unutarnjem i vanjskom području. 3) Svaki kut u unutrašnjosti regije strogo je manji od ravnog kuta.

Slika 1. Poligoni 1, 2 i 6 su konveksni. (Priredio Ricardo Pérez).

Jednostavan način da se utvrdi je li mnogokut konveksan ili ne je razmotriti pravac koji prolazi kroz jednu od njegovih strana, a koji određuje dvije polu-ravnine. Ako su u svakoj liniji koja prolazi kroz jednu stranu ostale strane poligona bile u istoj polovini ravnine, onda je to konveksni mnogokut.

Elementi poligona

Svaki poligon se sastoji od sljedećih elemenata:

- Strani

- Vrhovi

Stranice su svaki od uzastopnih segmenata koji čine poligon. U poligonu nijedan od segmenata koji ga čine ne može imati otvoreni kraj, u tom slučaju bi postojala mnogokutna linija, ali ne i poligon.

Vrhovi su mjesta spajanja dva uzastopna segmenta. U poligonu je broj vrhova uvijek jednak broju strana.

Ako se dvije strane ili segmenti poligona presijecaju, tada imate prekriženi poligon. Prijelazno mjesto se ne smatra vrhom. Križni poligon je nekonveksan mnogokut. Zvjezdani poligoni su poprečni poligoni i zbog toga nisu konveksni.

Kad poligon ima sve strane jednake duljine, tada imamo pravilan poligon. Svi pravilni poligoni su konveksni.

Konveksni i ne konveksni poligoni

Na slici 1. prikazano je nekoliko poligona, neki su konveksni, a neki nisu. Analizirajmo ih:

Broj 1 je trostrani mnogokut (trokut), a svi su unutarnji kutovi manji od 180 °, dakle radi se o konveksnom mnogokutu. Svi su trokuti konveksni mnogokutnici.

Broj 2 je četverostrani poligon (četverostrani) gdje se nijedna strana ne presijeca, a svaki unutarnji kut je manji od 180 °. Tada je konveksni mnogokut s četiri strane (konveksni četverokut).

S druge strane, broj 3 je poligon s četiri strane, ali jedan je njegov unutarnji kut veći od 180 °, tako da ne ispunjava uvjet konveksnosti. Odnosno, radi se o nekonveksnom četverostranom mnogokutniku koji se naziva konkavni četverokut.

Broj 4 je poligon s četiri segmenta (strane), od kojih se dva presijecaju. Četiri unutarnja kuta su manja od 180 °, ali budući da se dvije strane presijecaju, to je nekokonveksni poprečni poligon (prekriženi četverostrani).

Drugi slučaj je broj 5. Ovo je poligon s pet strana, ali budući da je jedan njegov unutarnji kut veći od 180 °, tada imamo konkavni poligon.

Konačno, broj 6, koji također ima pet strana, ima sve svoje unutarnje kutove manje od 180º, tako da je to konveksni mnogokut s pet strana (konveksni peterokut).

Svojstva konveksnog poligona

1- Nepokriženi mnogokut ili jednostavan poligon dijeli ravninu koja ga sadrži na dvije regije. Unutarnju i vanjsku regiju, poligon je granica između dviju regija.

Ali ako je poligon dodatno konveksan, tada imamo unutarnju regiju koja je jednostavno povezana, što znači da uzimajući bilo koje dvije točke iz područja unutrašnjosti, uvijek se može pridružiti segmentu koji u potpunosti pripada području unutrašnjosti.

Slika 2. Konveksni poligon je jednostavno povezan, dok konkavni nije. (Priredio Ricardo Pérez).

2- Svaki unutarnji kut konveksnog poligona manji je od ravnog kuta (180 °).

3- Sve unutarnje točke konveksnog poligona uvijek pripadaju jednoj od polu-ravnina definiranih linijom koja prolazi kroz dvije uzastopne vrhove.

4- U konveksnom mnogokutu sve se dijagonale nalaze u unutarnjoj poligonalnoj regiji.

5- Unutarnje točke konveksnog poligona u potpunosti pripadaju konveksnom kutnom sektoru definiranom svaki unutarnji kut.

6- Svaki poligon u kojem su sve njegove vrhove na obodu je konveksni mnogokut koji se naziva ciklički poligon.

7- Svaki ciklični poligon je konveksan, ali nije svaki konveksni poligon ciklički.

8- Bilo koji nepokriženi mnogokut (jednostavan poligon) koji ima sve strane jednake duljine je konveksan i poznat je kao pravilan mnogokut.

Dijagonale i kutovi u konveksnim mnogokutima

9- Ukupni broj N dijagonala konveksnog poligona s n stranicama dan je sljedećom formulom:

N = ½ n (n - 3)

Dokaz: U konveksnom poligonu s n stranicama svake vrhove nacrtano je n - 3 dijagonale, budući da su isključena i sama vršna i dvije susjedne. Budući da postoji n vrhova, crta se ukupno n (n - 2) dijagonala, ali svaka je dijagonala nacrtana dva puta, tako da je broj dijagonala (bez ponavljanja) n (n-2) / 2.

10- Zbroj S unutarnjih kutova konveksnog poligona s n stranama dat je sljedećim odnosom:

S = (n - 2) 180 °

Primjeri

Primjer 1

Ciklički šesterokut je poligon sa šest strana i šest vrhova, ali svi su vrhovi na istom obodu. Svaki ciklični poligon je konveksan.

Ciklički šesterokut.

Primjer 2

Odredite vrijednost unutarnjih kutova pravilnog enegona.

Rješenje: enegon je poligon sa 9 strana, ali ako je također pravilan, sve su mu stranice i kutovi jednaki.

Zbroj svih unutarnjih kutova devetstranog poligona iznosi:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Ali postoji 9 unutarnjih kutova jednake mjere α, tako da se mora ispuniti sljedeća jednakost:

S = 9 α = 1260º

Iz čega proizlazi da je mjera α svakog unutarnjeg kuta pravilnog enegona:

α = 1260º / 9 = 140º