PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA: FORMULE, DOKAZ, VJEŽBE, PRIMJERI - DUDÁS - 2026

Permutacija bez ponavljanja od n elemenata je svaka skupina različitih elemenata koji se mogu dobiti od ne ponavlja niti jedan element, samo mijenjajući redoslijed postavljanja elemenata.

Da biste saznali broj permutacija bez ponavljanja, koristi se sljedeća formula:

Pn = n!

Koji bi se proširio bio Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Tako bi se u prethodnom praktičnom primjeru primijenio na sljedeći način:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 različita četveroznamenkasti broja.

To su ukupno 24 niza: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Kao što se vidi, ni u jednom slučaju nema ponavljanja, a radi se o 24 različita broja.

Demo i formule

24 aranžmani od 4 različite figure

Analizirat ćemo konkretnije primjer 24 različita četveroznamenkastog niza koji se mogu oblikovati znamenkama broja 2468. Broj nizova (24) može biti poznat na sljedeći način:

Imate 4 mogućnosti za odabir prve znamenke, što ostavlja 3 mogućnosti za odabir druge. Dvije su znamenke već postavljene, a preostale su dvije mogućnosti za odabir treće znamenke. Zadnja znamenka ima samo jednu mogućnost odabira.

Stoga je broj permutacija, označen s P4, dobiven produktom opcija za odabir u svakom položaju:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 različita četveroznamenkasti brojevi

Općenito, broj različitih permutacija ili aranžmana koji se mogu izvesti sa svih n elemenata određenog skupa je:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Izraz n! poznat je kao n faktorski i znači proizvod svih prirodnih brojeva koji leže između broja n i broja jedan, uključujući oba.

12 Raspored 2 različite figure

Sad pretpostavimo da želite znati broj permutacija ili dvocifrenih brojeva koji se mogu formirati s znamenkama broja 2468.

To bi bilo ukupno 12 aranžmana: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Imate 4 mogućnosti za odabir prve znamenke, koja ostavlja 3 znamenke za odabir druge. Stoga je broj permutacija 4 znamenke uzete dvije po dvije, označene s 4P2, dobiven proizvodom opcija izbora u svakoj poziciji:

4P2 = 4 * 3 = 12 različitih dvoznamenkastih brojeva

Općenito, broj različitih permutacija ili aranžmana koji se u određenom skupu mogu izvesti s r elementima n ukupno:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Gornji izraz je skraćen prije igranja n !. Za dovršetak n! iz nje bi trebali pisati:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Čimbenici koje dodamo, zauzvrat, predstavljaju tvornicu:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Tako, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Odavde

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Primjeri

Primjer 1

Koliko različitih kombinacija slova s ​​5 slova može biti izrađeno slovima riječi KLJUČ?

Želimo pronaći broj različitih kombinacija slova od 5 slova koje se mogu sastaviti s 5 slova riječi KLJUČ; to jest, broj nizova s ​​5 slova koji uključuju sva slova dostupna u riječi KEY.

N ° od 5 slova slova = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 različitih kombinacija slova od 5 slova.

To bi bili: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… do 120 različitih kombinacija slova.

Primjer 2

Imate 15 oštećenih kuglica i želite znati Koliko različitih skupina od 3 kuglice se može izgraditi s 15 oštećenih kuglica?

Želite pronaći broj skupina od 3 kuglice koje možete napraviti s 15 oštećenih kuglica.

Broj skupina od 3 kuglice = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Broj grupa od 3 kuglice = 15 * 14 * 13 = 2730 grupa od 3 kuglice

Riješene vježbe

Vježba 1

Voćarnica ima izložbeni štand koji se sastoji od niza pretinaca koji se nalaze u ulaznom hodniku u prostorije. U jednom danu, voćnjak kupi na prodaju: naranče, banane, ananas, kruške i jabuke.

a) Na koliko različitih načina morate naručiti izložbeni štand?

b) Na koliko različitih načina trebate naručiti stalak ako ste toga dana uz spomenuto voće (5) dobili: mango, breskve, jagode i grožđe (4)?

a) Želimo pronaći više različitih načina kako naručiti sve plodove u prikaznom redu; to jest, broj aranžmana od 5 voćnih predmeta koji uključuju sve voće dostupno za prodaju toga dana.

Broj aranžiranja štanda = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj rasporeda štanda = 120 načina prezentacije štanda

b) Želimo pronaći više različitih načina kako naručiti sve plodove u prikaznom retku ako su dodane 4 dodatne stavke; to jest, broj aranžmana od 9 voćnih predmeta koji uključuju sve voće dostupno za prodaju toga dana.

Broj rasporeda postolja = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj rasporeda štanda = 362.880 načina prezentacije štanda

Vježba 2

U malom prodavaonici hrane nalazi se zemljište s dovoljno prostora za parkiranje 6 vozila.

a) Koliko različitih načina naručivanja vozila na zemljišnoj parceli može biti izabrano?

b) Pretpostavimo da je stečeno zemljišno zemljište čija dimenzija omogućuje parkiranje 10 vozila.Koliko različitih oblika rasporeda vozila sada se može odabrati?

a) Želimo pronaći broj različitih načina naručivanja 6 vozila koja se mogu smjestiti na zemljišnoj parceli.

Broj aranžmana od 6 vozila = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj aranžmana od 6 vozila = 720 različitih načina naručivanja 6 vozila na zemljišnoj parceli.

b) Želimo pronaći broj različitih načina naručivanja 10 vozila koja se mogu smjestiti na zemljištu nakon proširivanja parcele.

Broj aranžmana od 10 vozila = P10 = 10!

Broj aranžmana vozila = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Broj aranžmana od 10 vozila = 3,628,800 različitih načina naručivanja 10 vozila na zemljišnoj parceli.

Vježba 3

Cvjećar ima cvijeće 6 različitih boja za izradu cvjetnih zastava naroda koje imaju samo 3 boje. Ako se zna da je red boja bitan u zastavama, a) Koliko se šest zastava od 3 boje može napraviti s 6 dostupnih boja?

b) Prodavatelj kupuje cvijeće 2 dodatne boje za 6 koje je već imao, sad koliko se različitih zastava od 3 boje može napraviti?

c) Budući da imate 8 boja, odlučili ste proširiti svoj asortiman zastava.Koliko različitih zastava u 4 boje možete napraviti?

d) Koliko dvije boje?

a) Želimo pronaći broj različitih zastava od 3 boje koje možemo napraviti odabirom između 6 dostupnih boja.

N ° trostrane zastave = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° trostrane zastave = 6 * 5 * 4 = 120 zastava

b) Želite pronaći broj različitih zastava od 3 boje koje možete napraviti odabirom od 8 dostupnih boja.

N ° trostrane zastave = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° trostrane zastave = 8 * 7 * 6 = 336 zastava

c) Broj različitih oznaka u 4 boje koji se mogu napraviti odabirom od 8 dostupnih boja mora se izračunati.

Broj zastavica u 4 boje = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Broj 4 boja u boji = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 zastava

d) Želite odrediti broj različitih dvobojnih zastava koje možete napraviti odabirom od 8 dostupnih boja.

N ° dvostrane zastave = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Broj dvobojnih zastava = 8 * 7 = 56 zastava

Reference

1. Boada, A. (2017). Korištenje permutacije s ponavljanjem kao podučavanje eksperimenata. Časopis Vivat Academia. Oporavak od researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Vjerojatnost i statistika. Primjene i metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Čaša, G.; Stanley, J. (1996). Statističke metode koje se ne primjenjuju u društvenim znanostima. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistika. Četvrto izd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ka, Ka. (2007). Vjerojatnost i statistika za inženjere i znanstvenike. Osmo izd. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistika koja se primjenjuje na poslovanje i gospodarstvo. Treće izd. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutacija. Oporavilo s en.wikipedia.org.