PARALELEPIPED: KARAKTERISTIKE, VRSTE, PODRUČJE, VOLUMEN - MATEMATIKA - 2026

Paralelopiped je geometrijska tijela sastavljena od šest lica, od kojih je glavna karakteristika je da svim svojim licima su paralelograma i da svoju suprotnost lica su međusobno paralelni. To je uobičajeni poliedar u našem svakodnevnom životu, jer ga možemo pronaći u kutijama za cipele, obliku opeke, obliku mikrovalne pećnice itd.

Budući da je poliedar, paralelepiped obuhvaća konačni volumen i sva su mu lica ravna. To je dio skupine prizmi, to su oni poliedri u kojima su sve njegove vrhove sadržane u dvije paralelne ravnine.

Elementi paralelepipeda

lica

Svaka je regija oblikovana paralelogramima koji ograničavaju paralelepiped. Paralelepiped ima šest lica, gdje svako lice ima četiri susjedna lica i jedno suprotno. Također, svako lice je paralelno sa svojom suprotnošću.

Rubovi

Oni su zajednička strana dvaju lica. Ukupno, paralelepiped ima dvanaest rubova.

tjeme

To je zajednička točka triju lica koja su jedna uz drugu dva po dva. Paralelepiped ima osam vrhova.

dijagonala

Dajući dva lica paralelepipeda nasuprot drugom, možemo nacrtati linijski segment koji ide od vrha jednog lica do suprotnog vrha drugog.

Ovaj segment poznat je kao dijagonala paralelepipeda. Svaki paralelepiped ima četiri dijagonale.

Centar

To je točka u kojoj se presječu sve dijagonale.

Karakteristike paralelepipeda

Kao što smo već spomenuli, ovo geometrijsko tijelo ima dvanaest rubova, šest lica i osam vrhova.

U paralelepipedu mogu se prepoznati tri skupa oblikovana od četiri ruba koji su paralelni jedan s drugim. Nadalje, rubovi navedenih skupina također imaju svojstvo iste duljine.

Još jedno svojstvo koje paralelepipedi posjeduju je da su konveksni, to jest, ako uzmemo bilo koji par točaka koji pripadaju unutrašnjosti paralelepipeda, segment određen određenim parom točaka također će biti unutar paralelepipeda.

Uz to, paralelepipedi koji su konveksni poliedri u skladu su s Eulerovom teoremom za poliedre, koji nam daje odnos između broja lica, broja rubova i broja vrhova. Taj je odnos dan u obliku sljedeće jednadžbe:

C + V = A + 2

Ova karakteristika je poznata kao Eulerova karakteristika.

Gdje je C broj lica, V broj vrhova i A broj rubova.

vrste

Paralelepipede možemo razvrstati na temelju njihovih lica u sljedeće vrste:

Orthohedron

Oni su paralelepipedi gdje njihova lica tvore šest pravokutnika. Svaki je pravokutnik okomit na one koji imaju rub. Oni su najčešći u našem svakodnevnom životu, a to je uobičajeni oblik kutija za cipele i cigle.

Redovita kocka ili heksahedron

Ovo je poseban slučaj iz prethodnog, gdje je svako lice kvadrat.

Kocka je također dio geometrijskih tijela koja se nazivaju platonska kruta tvar. Platonska krutina je konveksni višejedar, tako da su i njegova lica i unutarnji kutovi jednaki jedni drugima.

Rhombohedron

To je paralelepiped s rombovima za njegovo lice. Svi su ti rombovi jednaki jedni drugima, jer dijele rubove.

Rhombohedron

Njenih šest lica su romboidi. Podsjetimo da je romboid mnogokut s četiri strane i četiri kuta koji su jednaki dva do dva. Romboidi su paralelogrami koji nisu ni kvadrati, ni pravokutnici, niti rombovi.

S druge strane, kosi paralelepipedi su oni u kojima se barem jedna visina ne podudara s njihovim rubom. U ovu klasifikaciju možemo uključiti rombohedre i rombohedre.

Izračun dijagonale

Za izračun dijagonale od orthohedron možemo koristiti Pitagorin teorem za R ³.

Podsjetimo da ortoedar ima karakteristiku da je svaka strana okomita na strane koje dijele neki rub. Iz te činjenice se može zaključiti da je svaki rub okomit na one koji imaju vršku.

Za izračun duljine dijagonale ortoedra postupamo na sljedeći način:

1. Izračunavamo dijagonalu jednog od lica koja ćemo staviti kao bazu. Za to koristimo pitagorejsku teoremu. Nazovimo ovu dijagonalu d _b.

2. Tada s d _b možemo oblikovati novi pravi trokut, tako da je hipotenuza navedenog trokuta dijagonala D koju tražimo.

3. Ponovno koristimo pitagorejski teorem i imamo da je duljina ove dijagonale:

Drugi način izračunavanja dijagonala na grafičkiji način je dodavanje slobodnih vektora.

Podsjetimo da su dodana dva slobodna vektora A i B stavljanjem repa vektora B vrhom vektora A.

Vektor (A + B) je onaj koji počinje na repu A i završava se na vrhu B.

Razmotrimo paralelepiped za koji želimo izračunati dijagonalu.

Rubove identificiramo s prikladno usmjerenim vektorima.

Zatim dodamo ove vektore i rezultirajući vektor bit će dijagonala paralelepipeda.

područje

Područje paralelepipeda dano je zbrojem svakog od područja njegovih lica.

Ako neku od strana odredimo kao bazu, A _L + 2A _B = Ukupna površina

Gdje je A _L jednak zbroju površina svih strana koje se nalaze uz bazu, naziva se bočno područje, a A _B je površina baze.

Ovisno o vrsti paralelepipeda s kojim radimo, možemo ponovo napisati ovu formulu.

Područje ortoedra

Dava se formulom

A = 2 (ab + bc + ca).

Primjer 1

S obzirom na sljedeći ortoedar, sa stranicama a = 6 cm, b = 8 cm i c = 10 cm, izračunajte površinu paralelepipeda i duljinu njegove dijagonale.

Pomoću formule za područje ortoedra imamo to

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Primijetite da je duljina bilo koje od četiri dijagonale jednaka ortoedru jednaka.

Koristeći pitagorejsku teoremu za prostor imamo to

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Područje kocke

Budući da svaki rub ima jednaku duljinu, imamo da su a = b i a = c. Zamjena u prethodnoj formuli koju imamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

Primjer 2

Kutija igraće konzole oblikovana je poput kocke. Ako ovu kutiju želimo zamotati omotom poklona, ​​koliko bismo papira potrošili znajući da je duljina rubova kocke 45 cm?

Pomoću formule za područje kocke dobivamo to

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Područje romboedra

Budući da su sva njihova lica ista, samo izračunajte površinu jednog od njih i pomnožite ih sa šest.

Imamo da se površina romba može izračunati kroz njegove dijagonale sa sljedećom formulom

A _R = (Dd) / 2

Iz ove formule slijedi da je ukupna površina romboedra

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Primjer 3

Lica sljedećih romboedra formirana su rombom čija je dijagonala D = 7 cm i d = 4 cm. Vaše područje će biti

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ².

Područje romboedra

Da bismo izračunali površinu romboedra, moramo izračunati površinu romboida koji ga čine. Budući da paralelepipedi ispunjavaju svojstvo da suprotne strane imaju isto područje, možemo stranice povezati u tri para.

Na taj način imamo da će biti vaše područje

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Gdje su b _i osnove povezane sa stranama, a h _i njihova relativna visina odgovara tim bazama.

Primjer 4

Razmotrimo slijedeći paralelepiped,

gdje strana A i strana A '(njena suprotna strana) imaju bazu b = 10 i visinu h = 6. Označeno područje imat će vrijednost

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B i B 'imaju b = 4 i h = 6, dakle

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC i C 'imaju, dakle, b = 10 i h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Napokon je područje romboedra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen paralelepipeda

Formula koja nam daje volumen paralelepipeda je proizvod površine jednog od njegovih lica na visini koja odgovara tom licu.

V = A _C h _C

Ovisno o vrsti paralelepipeda, ova se formula može pojednostaviti.

Dakle, imamo na primjer da bi se volumen ortoedra dao po

V = abc.

Gdje a, b i c predstavljaju duljinu rubova ortoedra.

A u konkretnom slučaju kocka je

V = a ³

Primjer 1

Postoje tri različita modela kutija za kolačiće i želite znati u koji od tih modela možete pohraniti više kolačića, odnosno koji od kutija ima najveću količinu.

Prva je kocka čiji rub ima duljinu od = 10 cm

Njegov volumen bit će V = 1000 cm ³

Drugi ima rubove b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Stoga je njegov volumen V = 765 cm ³

A treći ima e = 9 cm, f = 9 cm i g = 13 cm

A njegov volumen je V = 1053 cm ³

Stoga je kutija s najvećim volumenom treća.

Drugi način dobivanja volumena paralelepipeda je upotreba vektorske algebre. Konkretno, proizvod s trostrukim točkama.

Jedna od geometrijskih interpretacija trostrukog skalarnog produkta jest volumen paralelepipeda, čiji su rubovi tri vektora koja imaju istu točku kao početna točka.

Na ovaj način, ako imamo paralelepiped i želimo znati koliki je njegov volumen, dovoljno je da ga predstavimo u koordinatnom sustavu u R ³ čineći da se jedna od njegovih vrhova poklapa s podrijetlom.

Zatim predstavljamo rubove koji se podudaraju u početku s vektorima kao što je prikazano na slici.

I na ovaj način imamo da je volumen navedenog paralelepipeda dat sa

V = - AxB ∙ C-

Ili, ekvivalentno, volumen je odrednica matrice 3 × 3, formirana komponentama rubnih vektora.

Primjer 2

Kad predstavlja sljedeći paralelopipeda u R ³ možemo vidjeti da su vektori koji ga određuju su sljedeći

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) i w = (-0.25, -4, 4)

Koristeći trostruki skalarni proizvod koji imamo

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iz ovoga zaključujemo da je V = 60

Razmotrimo sada slijedeći paralelepiped u R3 čiji su rubovi određeni vektorima

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) i C = (3, 4, 4)

Korištenje odrednica daje nam to

Stoga imamo da je volumen navedenog paralelepipeda 112.

Oba su jednaka načina izračunavanja volumena.

Savršen paralelepiped

Ortohedron je poznat kao Eulerova opeka (ili Eulerov blok) koji ispunjava svojstvo da su i duljina njegovih rubova i duljine dijagonala svakog od njegovih lica čitavi brojevi.

Iako Euler nije prvi znanstvenik koji je proučavao ortoedre koji ispunjavaju ovo svojstvo, pronašao je zanimljive rezultate o njima.

Najmanju Eulerovu ciglu otkrio je Paul Halcke, a duljine njegovih rubova su a = 44, b = 117 i c = 240.

Otvoreni problem u teoriji brojeva je sljedeći

Postoje li savršeni ortohedri?

Trenutno nije odgovoreno na to pitanje jer nije bilo moguće dokazati da takva tijela ne postoje, ali nijedno nije pronađeno.

Do sada se pokazalo da savršeni paralelepipedi postoje. Prvo što se otkrilo ima duljinu njegovih rubova vrijednosti 103, 106 i 271.

Bibliografija

1. Guy, R. (1981). Nerešeni problemi u teoriji brojeva. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija. Napredak.
3. Leithold, L. (1992). Proračun s analitičkom geometrijom. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Tehnički crtež: Knjiga aktivnosti 3, 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., i Krane, K. (2001). Fizika Vol. 1. Meksiko: kontinentalni.