HIPERBOLIČKI PARABOLOID: DEFINICIJA, SVOJSTVA I PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Hipara je površina čiji opći jednadžbe u Kartezijevih koordinata (x, y, z) zadovoljava slijedeće jednadžbe:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Naziv "paraboloid" dolazi od činjenice da varijabla z ovisi o kvadratima varijabli x i y. Dok je pridjev "hiperbolički" zbog činjenice da pri fiksnim vrijednostima z imamo jednadžbu hiperbole. Oblik ove površine sličan je obliku konjskog sedla.

Slika 1. Hiperbolički paraboloid z = x ² - y ². Izvor: F. Zapata koristeći Wolfram Mathematica.

Opis hiperboličkog paraboloida

Da bismo razumjeli prirodu hiperboličkog paraboloida, napravit će se sljedeća analiza:

1.- Uzet ćemo poseban slučaj a = 1, b = 1, to jest da kartezijanska jednadžba paraboloida ostaje kao z = x ² - y ².

2.- Ravnine se smatraju paralelnim sa ZX ravninom, to jest, y = ctte.

3.- Uz y = ctte ostaje z = x ² - C, koje predstavljaju parabole sa granama prema gore i vrhom ispod ravnine XY.

Slika 2. Obitelj krivulja z = x ² - C. Izvor: F. Zapata pomoću Geogebre.

4.- Uz x = ctte ostaje z = C - y ², koje predstavljaju parabole sa granama prema dolje i vrhom iznad ravnine XY.

Slika 3. Porodica krivulja z = C - y ². Izvor: F. Zapata kroz Geogebru.

5.- Uz z = ctte ostaje C = x ² - y ², koje predstavljaju hiperbole u ravninama paralelnim s ravninom XY. Kada je C = 0, postoje dvije crte (na + 45º i -45º u odnosu na os X) koje se sijeku na početku u ravnini XY.

Slika 4. Obitelj krivulja x ² - y ² = C. Izvor: F. Zapata pomoću Geogebre..

Svojstva hiperboličkog paraboloida

1. - Četiri različite točke u trodimenzionalnom prostoru definiraju jedan i samo jedan hiperbolički paraboloid.

2.- Hiperbolički paraboloid je površina s dvostrukom vladavinom. To znači da, iako su zakrivljene površine, dvije različite linije prolaze kroz svaku točku hiperboličkog paraboloida koji u potpunosti pripada hiperboličkom paraboloidu. Druga površina koja nije ravnina i kojom dvostruko vlada je hiperboloid revolucije.

Upravo je drugo svojstvo hiperboličkog paraboloida omogućilo njegovu široku primjenu u arhitekturi budući da se površina može stvoriti od greda ili ravna struna.

Drugo svojstvo hiperboličkog paraboloida omogućuje alternativnu njegovu definiciju: to je površina koja se može stvoriti pomičnom ravnom paralelnom s fiksnom ravninom i presječe dvije fiksne crte koje služe kao vodič. Sljedeća slika pojašnjava ovu alternativnu definiciju hiperboličkog paraboloida:

Slika 5. Hiperbolički paraboloid je površina s dvostrukom vladavinom. Izvor: F. Zapata.

Obrađeni primjeri

- Primjer 1

Pokažite da jednadžba: z = xy, odgovara hiperboličkom paraboloidu.

Riješenje

Transformacija će se primijeniti na x i y varijable koje odgovaraju rotaciji kartezijanske osi u odnosu na osi Z od + 45º. Stare koordinate x i y transformiraju se u nove x 'i y' prema sljedećim odnosima:

x = x '- y'

y = x '+ y'

dok koordinata z ostaje ista, to jest z = z '.

Supstitucijom u jednadžbi z = xy imamo:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Primjenjujući primjetni proizvod razlike za zbroj jednak razlici kvadrata, imamo:

z '= x' ² - y ' ²

što jasno odgovara prvotno datoj definiciji hiperboličkog paraboloida.

Presijecanje ravnina paralelnih s osi XY s hiperboličkim paraboloidom z = xy određuje jednakostranične hiperbole koje imaju asimptote na ravninama x = 0 i y = 0.

- Primjer 2

Odredite parametre a i b hiperboličkog paraboloida koji prolazi kroz točke A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) i D (2, -1, 32/9).

Riješenje

Prema svojim svojstvima, četiri točke u trodimenzionalnom prostoru određuju jedan hiperbolički paraboloid. Opća jednadžba je:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Dane vrijednosti zamjenjujemo:

Za točku A imamo 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², jednadžba koja je zadovoljena bez obzira na vrijednosti parametara a i b.

Podnaslovom točke B dobivamo:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Dok za točku C ostaje:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Na kraju, za točku D dobivamo:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Koji je identičan prethodnoj jednadžbi. Na kraju, sustav jednadžbi mora biti riješen:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Oduzimanje druge jednadžbe iz prve daje:

27/9 = 3 / a ² što znači da je a ² = 1.

Na sličan način, druga se jednadžba oduzima od četverostruke prve, dobivajući:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Što je pojednostavljeno kao:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Ukratko, hiperbolički paraboloid koji prolazi kroz dane točke A, B, C i D ima kartuzijansku jednadžbu danu sa:

z = x ² - (4/9) y ²

- Primjer 3

Prema svojstvima hiperboličkog paraboloida kroz svaku točku prolaze dvije linije koje su u njemu potpuno sadržane. Za slučaj z = x ^ 2 - y ^ 2 pronađite jednadžbu dviju linija koje prolaze kroz točku P (0, 1, -1) koja jasno pripada hiperboličkom paraboloidu, tako da sve točke ovih linija također pripadaju isti.

Riješenje

Koristeći izvanredan produkt razlike kvadrata, jednadžba hiperboličkog paraboloida može se napisati ovako:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Tamo gdje je c neulazna konstanta.

Jednadžba x + y = cz, i jednadžba x - y = 1 / c odgovaraju dvije ravnine s normalnim vektorima n = <1,1, -c> i m = <1, -1,0>. Vektorski produkt mxn = <- c, -c, -2> daje nam pravac linije sjecišta dviju ravnina. Tada jedna od linija koja prolazi kroz točku P i pripada hiperboličkom paraboloidu ima parametrijsku jednadžbu:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Da bismo odredili c, točku P zamjenjujemo jednadžbom x + y = cz, dobivajući:

c = -1

Na sličan način, ali s obzirom na jednadžbe (x - y = kz) i (x + y = 1 / k) imamo parametrijsku jednadžbu pravca:

= <0, 1, -1> + s s k = 1.

Ukratko, dva retka:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> i = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Oni su u potpunosti sadržani u hiperboličkom paraboloidu z = x ² - y ^{2 koji} prolazi kroz točku (0, 1, -1).

Pretpostavimo da je t = 1 koji nam u prvom retku daje točku (1,2, -3). Morate provjeriti je li i na paraboloidu z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Što potvrđuje da doista pripada površini hiperboličkog paraboloida.

Hiperbolički paraboloid u arhitekturi

Slika 6. Oceanografska Valencija (Španjolska) Izvor: Wikimedia Commons.

Hiperbolički paraboloid u arhitekturi su koristili veliki avangardni arhitekti, među kojima se ističu imena španjolskog arhitekta Antonija Gaudija (1852.-1926.), A osobito osobito španjolskog Félixa Candela (1910.-1997.).

Ispod su neki radovi temeljeni na hiperboličkom paraboloidu:

-Kapela grada Cuernavaca (Meksiko) rad arhitekta Félixa Candela.

-Oceanografsko područje Valencije (Španjolska), također Félix Candela.

Reference

1. Enciklopedija matematike. Vladala površina. Oporavilo sa: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hiperbolički paraboloid. Oporavak od: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hiperbolički paraboloid." From MathWorld - Wolfram Web Resource. Oporavak od: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Oporavilo sa: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Oporavak od: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Vladala površina. Oporavilo sa: en.wikipedia.com