ORTOHEDRON: FORMULE, PODRUČJE, VOLUMEN, DIJAGONALA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Orthohedron je volumni ili trodimenzionalni geometrijski lik koji je karakteriziran time da ima šest pravokutnih lica, tako da se suprotni lica u paralelnim ravninama i su jednaki ili podudarnih pravokutnika. S druge strane, lica koja su blizu određenog lica nalaze se u ravninama okomitim na početno lice.

Ortoedar se također može smatrati ortogonalnom prizmom s pravokutnom bazom, u kojoj su dvoslojni kutovi formirani ravninama dviju lica uz susjedni rub od 90 °. Dvostrani kut između dva lica mjeri se na sjecištu lica s zajedničkom pravokutnom ravninom.

Slika 1. Ortohedron. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.

Isto tako je ortoedar pravokutni paralelepiped, budući da se na taj način paralelepiped definira kao volumetrijska figura šest lica, koja su paralelna dva po dva.

U bilo kojem paralelepipedu lica su paralelogrami, ali u pravokutnom paralelepipedu lica moraju biti pravokutna.

Dijelovi ortoedra

Dijelovi poliedra, poput ortoedra, su:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Kut između dva ruba jednog lica ortoedra podudara se s dvostranim kutom koji nastaju njegova druga dva lica koja se nalaze uz svaki od rubova, tvoreći pravi kut. Sljedeća slika pojašnjava svaki koncept:

Slika 2. Dijelovi ortoedra. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.

-Ukupno ortoedar ima 6 lica, 12 rubova i 8 vrhova.

-Kut između bilo koja dva ruba je pravi kut.

-Dijalementarni kut između bilo koja dva lica je također pravi.

-Na svakom licu postoje četiri vrha i na svakom su vertiku tri međusobno ortogonalna lica.

Formule ortoedra

područje

Površina ili površina ortoedra zbroj je područja njegovih lica.

Ako tri ruba koja se susreću s vrhom imaju mjere a, b i c, kao što je prikazano na slici 3, tada prednja strana ima područje c⋅b, a donja strana također područje c⋅b.

Dvije bočne strane imaju površinu a⋅b svaka. I na kraju, lica poda i stropa imaju po jednu površinu.

Slika 3. Ortoedar dimenzija a, b, c. Unutarnja dijagonala D i vanjska dijagonala d.

Dodavanje područja svih lica daje:

Uzimajući zajednički faktor i određujući pojmove:

Volumen

Ako se o ortoedronu razmišlja kao o prizmi, tada se njegov volumen izračunava ovako:

U ovom se slučaju kut dimenzija c i a uzima kao pravokutna osnova, pa je površina baze c⋅a.

Visina je dana duljinom b rubova pravokutnih na lica strana a i c.

Pomnoženje površine baze (a⋅c) s visinom b daje volumen V ortoedra:

Unutarnja dijagonala

U ortoedru postoje dvije vrste dijagonala: vanjska dijagonala i unutarnja dijagonala.

Vanjske dijagonale nalaze se na pravokutnim stranama, dok su unutarnje dijagonale segmenti koji spajaju dva suprotna vrha, a podrazumijevaju ih suprotni vrhovi, koji nemaju bilo koji rub.

U ortoedru su četiri unutarnje dijagonale, sve jednake mjere. Duljina unutarnjih dijagonala može se dobiti primjenom pitagorejske teoreme za prave trokut.

Duljina d vanjske dijagonale poda lica ortoedra ispunjava pitagorejski odnos:

d ² = a ² + c ²

Slično tome, unutarnja dijagonala mjere D ispunjava pitagorejski odnos:

D ² -d ² + b ².

Kombinirajući dva prethodna izraza imamo:

D ² = a ² + C ² + b ².

Na kraju, duljina bilo koje unutarnje dijagonale ortoedra dana je sljedećom formulom:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

Primjeri

- Primjer 1

Zidar gradi tenk u obliku ortoedra čije su unutarnje dimenzije: 6 mx 4 m u osnovi i 2 m visine. Pita se:

a) Odredite unutarnju površinu spremnika je li na vrhu potpuno otvorena.

b) Izračunajte volumen unutarnjeg prostora spremnika.

c) Pronađite duljinu unutarnje dijagonale.

d) Koliki je kapacitet spremnika u litrama?

Rješenje za

Uzmemo dimenzije pravokutne osnove a = 4 m i c = 6 m, a visina kao b = 2 m

Površina ortoedra sa zadanim dimenzijama dana je sljedećim odnosom:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

To znači:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = 2⋅ (44 m ²) = 88 m ²

Prethodni rezultat je područje zatvorenog ortoedra sa zadanim dimenzijama, ali budući da je riječ o spremniku koji je u gornjem dijelu potpuno otkriven, da bi se dobila površina unutarnjih zidova spremnika, potrebno je oduzeti područje nedostajućeg poklopca, a to je:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ².

Konačno, unutarnja površina spremnika bit će: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ².

Rješenje b

Unutarnja zapremina spremnika izražena je volumenom ortoedra unutarnjih dimenzija spremnika:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

Rješenje c

Unutarnja dijagonala oktaedra s dimenzijama unutrašnjosti spremnika ima duljinu D koju daje:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

Obavljajući naznačene operacije imamo:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Rješenje d

Za izračunavanje kapaciteta spremnika u litrama potrebno je znati da je zapremina kubičnog decimetara jednaka zapremini litre. Prije je izračunata zapremina u kubičnim metrima, ali mora se pretvoriti u kubične decimetre, a zatim u litre:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Vježba 2

Stakleni akvarij ima kubni oblik sa stranom 25 cm. Odrediti područje u m ², volumen u litrama, i duljinu unutarnjeg dijagonalan u cm.

Slika 4. Stakleni akvarij kubičnog oblika.

Riješenje

Površina se izračunava istom formulom ortoedra, ali uzimajući u obzir da su sve dimenzije identične:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1,250 cm ²

Volumen kocke je dat sa:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0,1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

Duljina D unutarnje dijagonale je:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Reference

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Oporavilo od: youtube.com.
2. Calculation.cc. Vježbe i riješeni problemi područja i volumena. Oporavak od: izračuna.cc.
3. Salvador R. Piramida + ortoedar s GEOGEBRA (IHM). Oporavilo od: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Oporavak od: es.wikipedia.com