SPOJITE UNUTARNJI I VANJSKI KUT: PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

U kutovi konjugati su oni dodaju rezultatima s bilo 360, bez obzira na navedene kutova su u susjedstvu ili ne. Na slici 1 prikazana su dva konjugirana kuta, označena s α i β.

U ovom slučaju, kutovi α i β na slici imaju zajedničku vršku, a stranice su im zajedničke, pa su susjedne. Odnos među njima izražava se na sljedeći način:

α + β = 360º

Slika 1. Dva konjugirana središnja kuta, zbroj. Izvor: Wikimedia Commons. Nije dostupan autor čitljiv autor. Thiago R Ramos pretpostavio (na temelju tvrdnji o autorskim pravima). To je klasifikacija uglova prema njihovom zbroju. Ostale važne definicije uključuju komplementarne kutove, čiji je zbroj 90 °, i dopunske kutove, koji ukupno imaju 180 °.

S druge strane, razmotrimo sada dvije paralelne crte presječene sekantom, a čiji je raspored prikazan u nastavku:

Slika 2. Paralelne linije presječene sekantom. Izvor: F. Zapata.

Linije MN i PQ su paralelne, dok je linija RS sekantna, presijecajući paralele u dvije točke. Kao što se može vidjeti, ova konfiguracija određuje stvaranje 8 kutova, koji su označeni malim slovima.

Pa, prema definiciji danoj na početku, kutovi a, b, c i d su konjugirani. I na isti su način e, f, g i h, jer su istinita oba slučaja:

a + b + c + d = 360º

I

e + f + g + h = 360º

U ovoj konfiguraciji su dva kuta spojena ako su na istoj strani u odnosu na sekvencijalnu liniju RS i oba su unutarnja ili vanjska. U prvom slučaju govorimo o unutarnjim kutima konjugata, dok su u drugom to vanjski konjugirani kutovi.

Primjeri

Na slici 2, vanjski kutovi su oni koji su izvan regije ograničene linijama MN i PQ, oni su kutovi A, B, G i H. Iako su kutovi smješteni između dviju linija C, D, E i F.

Sada je potrebno analizirati koji su kutovi s lijeve strane, a koji s desne strane sekanta.

Lijevo od RS su kutovi A, C, E i G. A s desne strane su kutovi B, D, F i H.

Odmah nastavljamo s određivanjem konjugacijskih parova u skladu s definicijom danom u prethodnom odjeljku:

-A i G, vanjski i lijevo od RS-a.

-D i F, unutarnji i desno od RS-a.

-B i H, vanjski i desno od RS-a.

-C i E, unutarnji i lijevo od RS-a.

Svojstvo konjugiranih kutova između paralelnih linija

Konjugirani kutovi između paralelnih linija su dopunski, to jest, njihov je zbroj jednak 180º. Na ovaj način, za sliku 2 vrijedi sljedeće:

A + G = 180 °

D + F = 180º

B + H = 180 °

C + E = 180 °

Parovi odgovarajućih kutova za paralelne crte

Oni su oni koji se nalaze na istoj strani sekantne linije, nisu susjedni i jedan od njih je unutarnji, a drugi vanjski. Važno ih je vizualizirati, jer je njihova mjera ista, jer su oni vertikalni pod uglovima.

Vraćajući se slici 2, odgovarajući parovi kutova su identificirani kao:

-A i E

-C i G

-B i F

-D i H

Unutarnji kutovi četverostrana

Četverokuti su četverostrani poligoni, među njima kvadrat, pravokutnik, trapez, paralelogram i romb. Bez obzira na njihov oblik, u bilo kojem od njih istina je da je zbroj njihovih unutarnjih kutova 360º, stoga zadovoljavaju definiciju danu na početku.

Pogledajmo nekoliko primjera četverostrana i kako izračunati vrijednost njihovih unutarnjih kutova prema podacima u prethodnim odjeljcima:

Primjeri

a) Tri kuta četverostrane mjere su 75 °, 110 ° i 70 °. Koliko treba mjeriti preostali kut?

b) Pronađite sliku kuta ∠Q na slici 3 i.

c) Izračunajte mjeru kuta ∠A na slici 3 ii.

Rješenje za

Neka je α kut koji nedostaje, ispunjeno je da:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Rješenje b

Na slici 3i prikazani je trapez i dva su njegova unutarnja kuta koja su u uglovima označena obojenim kvadratom. Za ovaj četverostrani je provjereno sljedeće:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Tako:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Rješenje c

Četverokut na slici 3 ii je također trapez, za koji vrijedi sljedeće:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Tako:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Da bismo odredili kut koji se traži u izjavi, koristimo da je ∠A = 4x - 5. Ako supstituiramo prethodno izračunatu vrijednost x, slijedi da je ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

vježbe

- Vježba 1

Znajući da je jedan od prikazanih kutova 125 °, pronađite mjere 7 preostalih kutova na sljedećoj slici i opravdajte odgovore.

Slika 4. Linije i kutovi vježbe 1. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Kut 6 i kut 125 ° unutarnji su konjugati, čija je vrijednost 180 °, prema svojstvu konjugiranih kutova, dakle:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

S druge strane, ∠6 i ∠8 su vrhovi suprotnih kutova, čija je mjera ista. Stoga ∠8 mjeri 55º.

Kut ∠1 je i suprotan vrhu na 125º, tada možemo tvrditi da je ∠1 = 125º. Također se možemo žaliti na činjenicu da odgovarajući parovi uglova imaju istu mjeru. Na slici su ovi kutovi:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Vježba 2

Na sljedećoj slici pronađite vrijednost x i vrijednosti svih kutova:

Slika 5. Linije i kutovi za vježbu 2. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Budući da su to odgovarajući parovi, slijedi da je F = 73º. A s druge strane zbroj konjugiranih parova je 180º, dakle:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Konačno vrijednost x je:

x = 87/3 = 29

Što se tiče svih kutova, oni su navedeni na sljedećoj slici:

Slika 6. Kutovi koji proizlaze iz vježbe 2. Izvor: F. Zapata.

Reference

1. Grupe kutova. Kompletno, dopunsko i dopunsko objašnjenje kutova. Oporavilo od: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Geometrija planeta i svemira i trigonometrija. Patria Cultural Group.
3. Corral, M. Matematika LibreTexts: Kutovi. Oporavilo sa: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Razvrstavanje i konstruiranje kutova njihovim mjerenjem. Oporavilo sa: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Ravna geometrija. Oporavilo sa: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Konjugirajte kutove. Oporavak od: es.wikipedia.org.