NUTNI KUT: DEFINICIJA I KARAKTERISTIKE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Kut nula je onaj čije mjere 0, kako u stupnjevima i radijanima ili drugi sustav mjerenja kuta. Stoga mu nedostaje širina ili otvor, kakav je nastao između dviju paralelnih linija.

Iako njegova definicija zvuči dovoljno jednostavno, nulta kut je vrlo koristan u mnogim fizičkim i inženjerskim primjenama, kao i u navigaciji i dizajnu.

Slika 1. Između brzine i ubrzanja automobila postoji nulti kut, stoga automobil ide brže i brže. Izvor: Wikimedia Commons.

Postoje fizičke veličine koje se moraju poravnati paralelno kako bi se postigli određeni efekti: ako se automobil kreće ravnom linijom duž autoceste i između vektora brzine v i njegovog vektora ubrzanja a postoji 0 °, automobil se kreće brže i brže, ali ako automobil kočnice, njegovo ubrzanje je suprotno brzini (vidi sliku 1).

Sljedeća slika prikazuje različite vrste kuta, uključujući i nulti kut udesno. Kao što se može vidjeti, kut od 0 ° nema širinu ili otvor.

Slika 2. Vrste kutova, uključujući nulti kut. Izvor: Wikimedia Commons. Orias.

Primjeri nulte kutove

Poznato je da paralelne linije međusobno čine nulti kut. Kada imate vodoravnu liniju, ona je paralelna s osi x kartezijanskog koordinatnog sustava, pa je njezin nagib u odnosu na 0. Drugim riječima, horizontalne linije imaju nagib nula.

Slika 3. Vodoravne linije imaju nagib nula. Izvor: F. Zapata.

Također su trigonometrijski omjeri nultog kuta 0, 1 ili beskonačnost. Stoga je nulti kut prisutan u mnogim fizičkim situacijama koje uključuju operacije s vektorima. To su sljedeći razlozi:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Oni će biti korisni analizirati neke primjere situacija u kojima prisustvo nultog kuta igra temeljnu ulogu:

- Učinci nultog kuta na fizičke veličine

Vektorski dodatak

Kad su dva vektora paralelna, kut između njih je nula, kao što je prikazano na slici 4a gore. U ovom se slučaju zbroj oba izvodi postavljanjem jedan za drugim, a veličina vektora zbroja je zbroj veličina dodataka (slika 4b).

Slika 4. Zbroj paralelnih vektora, u ovom slučaju kut između njih je nula. Izvor: F. Zapata.

Kad su dva vektora paralelna, kut između njih je nula, kao što je prikazano na slici 4a gore. U ovom se slučaju zbroj oba izvodi jedan po drugi, a veličina vektora zbroja je zbroj veličina dodataka (slika 4b)

Moment ili zakretni moment

Zakretni moment ili zakretni moment uzrokuju rotaciju tijela. Ovisi o veličini primijenjene sile i načinu njezine primjene. Vrlo reprezentativan primjer je ključ na slici.

Za najbolji učinak okretanja, sila se vrši okomito na ručicu ključa, bilo gore ili dolje, ali ne očekuje se okretanje ako je sila paralelna s ručicom.

Slika 5. Kada je kut između vektora položaja i sile jednak nuli, ne stvara se moment i ne postoji učinak okretanja. Izvor: F. Zapata.

Matematički je okretni moment τ definiran kao vektorski produkt ili unakrsni produkt između vektora r (vektor položaja) i F (vektor sile) na slici 5:

τ = r x F

Jačina momenta je:

τ = r F sin θ

Θ kao kut između r i F. Kada je sin θ = 0 okretni moment je nula, u ovom slučaju θ = 0º (ili također 180 °).

Tok električnog polja

Tok električnog polja je skalarna količina koja ovisi o intenzitetu električnog polja kao i o orijentaciji površine kroz koju prolazi.

Na slici 6 je kružna površina područja A kroz koji električnog polja linije E pass. Orijentacija površine je dana normalnim vektorom n. S lijeve strane polje i normalni vektor tvore proizvoljni akutni kut θ, u sredini čine nulti kut jedan s drugim, a na desnoj strani su okomiti.

Kad su E i n okomite, linije polja ne prelaze površinu i stoga je fluks jednak nuli, dok kada je kut između E i n jednak nuli, linije potpuno prelaze površinu.

Označavajući strujanje električnog polja grčkim slovom read (čitaj „fi“), njegova definicija za jednolično polje kao na slici izgleda ovako:

Φ = E • n A

Točka u sredini oba vektora označava točkasti proizvod ili skalarni proizvod, koji se alternativno definira na sljedeći način:

Φ = E • n A = EAcosθ

Podebljane i strelice iznad slova predstavljaju sredstva za razlikovanje između vektora i njegove veličine koja je označena normalnim slovima. Budući da je cos 0 = 1, tok je maksimalan kada su E i n paralelni.

Slika 6. Tok električnog polja ovisi o orijentaciji između površine i električnog polja. Izvor: F. Zapata.

vježbe

- Vježba 1

Dvije sile P i Q djeluju istovremeno na točkasti objekt X, obje sile u početku čine kut θ između njih. Što se događa s veličinom rezultirajuće sile dok θ opada na nulu?

Slika 7. Kut između dviju sila koje djeluju na tijelo smanjuje se dok se ne poništi, u kojem slučaju veličina rezultirajuće sile dobiva svoju maksimalnu vrijednost. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Veličina rezultirajuće sile Q + P postupno se povećava sve dok nije maksimalna kada su Q i P potpuno paralelni (slika 7 desno).

- Vježba 2

Navedite je li nulti kut rješenje sljedeće trigonometrijske jednadžbe:

Riješenje

Trigonometrijska jednadžba je ona u kojoj je nepoznanica dio argumenta trigonometrijskog omjera. Za rješavanje predložene jednadžbe, pogodno je koristiti formulu za kosinus dvostrukog kuta:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Jer na taj način argument na lijevoj strani postaje x umjesto 2x. Tako:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

S druge strane, cos ² x + sin ² x = 1, dakle:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Izraz cos ² x poništava i ostaje:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Sada se vrši slijedeća promjena varijable: sinx = u i jednadžba postaje:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Čija su rješenja: u = 0 i u = -4. Vraćajući promjenu imali bismo dvije mogućnosti: sin x = 0 i sinx = -4. Ovo posljednje rješenje nije održivo, jer je sinus bilo kojeg kuta između -1 i 1, tako da nam ostaje prva alternativa:

sin x = 0

Stoga je x = 0º rješenje, ali djeluje i svaki kut čiji je sinus 0, koji također može biti 180º (π radijan), 360º (2 π radijani) i odgovarajući negativ.

Najopćenitije rješenje trigonometrijske jednadžbe je: x = kπ gdje je k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k cijeli broj.

Reference

1. Baldor, A. 2004. Geometrija ravnina i svemira s trigonometrijom. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 3. Sustavi čestica. Uredio Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 5. Električna interakcija. Uredio Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Vrste kutova. Oporavilo od: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometrija i analitička geometrija. McGraw Hill Interamericana.