Kut upisane kružnice je onaj koji ima tjeme na krug i njegove zrake sijeku ili tangenta na njega. Kao posljedica, upisani kut uvijek će biti konveksan ili ravan.
Na slici 1 predstavljeno je nekoliko kutova upisanih u njihove obode. Kut ∠EDF je upisan tako da njegova vrhova D bude na obodu i njegove dvije zrake =.
U jednakokračnom trokutu kutovi susjedni bazi su jednaki, stoga je ∠BCO = ∠ABC = α. S druge strane ∠COB = 180º - β.
S obzirom na zbroj unutarnjih kutova trokuta COB, imamo:
α + α + (180º - β) = 180º
Iz čega proizlazi da je 2 α = β, ili ono što je ekvivalentno: α = β / 2. To se slaže s onim što teorem 1 kaže: mjera upisanog kuta je polovina središnjeg kuta, ako oba kuta podliježu istoj akordici.
Demonstracija 1b
Slika 6. Pomoćna konstrukcija pokazuje da je α = β / 2. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.
U ovom slučaju imamo upisani kut ∠ABC, u kojem je središte O kružnice unutar kuta.
Da biste dokazali teorem 1 u ovom slučaju, nacrtajte pomoćnu zraku).push ({});
Slično tome, središnji kutovi β 1 i β 2 su povezani sa navedenom zrakom. Tako imamo istu situaciju kao showa 1a, tako da se može reći da je α 2 = β 2 /2 i a 1 = β 1 /2. Kao α = α 1 + α 2 i β = β 1 + β 2 su, dakle, da α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / dva.
U zaključku α = β / 2, koji ispunjava teoremu 1.
- Teorem 2
Slika 7. Upisani kutovi jednake mjere α, jer podupiru isti luk A⌒C. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.
- Teorem 3
Upisani kutovi koji podvlače akorde iste mjere jednaki su.
Slika 8. Upisani kutovi koji podvlače akorde jednake mjere imaju jednaku mjeru β. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.
Primjeri
- Primjer 1
Pokažite da je upisani kut koji podnosi promjer pravi kut.
Riješenje
Središnji kut ∠AOB povezan s promjerom je ravni kut, čija je mjera 180 °.
Prema teoremu 1, svaki kut upisan u krug koji podnosi istu akord (u ovom slučaju promjer) ima mjeru polovice središnjeg kuta koji podvlači istu akord, koji je za naš primjer 180º / 2 = 90º.
Slika 9. Svaki upisani kut koji podnosi promjer je pravi kut. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.
- Primjer 2
Linija (BC) tangenta na A prema obodu C, određuje upisani kut ∠BAC (vidi sliku 10).
Provjerite je li ispunjen teorem 1 upisanih kutova.
Slika 10. Upisani kut BAC i njegov središnji konveksni kut AOA. Izvor: F. Zapata s Geogebrom.
Riješenje
Kut ∠BAC je upisan jer je njegova vrhova na obodu, a njegove stranice [AB) i [AC) su dodirne u odnosu na obod, tako da je definicija upisanog kuta zadovoljena.
S druge strane, upisani kut ∠BAC podnosi luk A⌒A, što je cijeli obim. Središnji kut koji podnosi luk A⌒A je konveksni kut čija je mjera puni kut (360 °).
Upisani kut koji podliježe cijelom luku mjeri polovicu pripadajućeg središnjeg kuta, to jest ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Sa svim gore navedenim, potvrđeno je da ovaj konkretni slučaj ispunjava teoremu 1.
Reference
- Baldor. (1973). Geometrija i trigonometrija. Srednjoamerička kulturna izdavačka kuća.
- EA (2003). Elementi geometrije: s vježbama i kompasom. University of Medellin.
- Geometrija 1. ESO. Kutovi na obodu. Oporavilo od: edu.xunta.es/
- Sva znanost. Predložene vježbe kutova u obodu. Oporavilo od: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Upisani kut. Oporavak od: es.wikipedia.com