TRANSCENDENTNI BROJEVI: ŠTO SU, FORMULE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U transcendentalne brojeve su oni koji ne mogu biti dobiveni kao jedan rezultat polinom jednadžbe. Suprotnost transcendentnom broju je algebrični broj koji su rješenja polinomne jednadžbe tipa:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +…… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Tamo gdje su koeficijenti a _n, a _n-1,….. a ₂, a ₁, ₀ su racionalni brojevi, koji se nazivaju koeficijentima polinoma. Ako je broj x rješenje prethodne jednadžbe, tada taj broj nije transcendentan.

Slika 1. Dva broja od velikog značaja u znanosti su transcendentni brojevi. Izvor: publicdomainpictures.net.

Analizirat ćemo nekoliko brojeva i vidjeti jesu li transcendentni ili ne:

a) 3 nije transcendentna jer je rješenje x - 3 = 0.

b) -2 ne može biti transcendentna jer je rješenje x + 2 = 0.

c) ⅓ je rješenje 3x - 1 = 0

d) Rješenje jednadžbe x ² - 2x + 1 = 0 je √2 -1, tako da taj broj po definiciji nije transcendentan.

e) Niti je √2 jer je rezultat jednadžbe x ² - 2 = 0. Squaring √2 daje rezultat 2, koji je oduzet od 2 jednak nuli. Dakle, √2 je iracionalan broj, ali nije transcendentan.

Što su transcendentni brojevi?

Problem je u tome što ne postoji opće pravilo za njihovo dobivanje (reći ćemo kasnije), ali neki od najpoznatijih su broj pi i Neper broj, koji su označeni sa: π i e.

Broj π

Broj π prirodno se pojavljuje ako se primijeti da matematički kvocijent između perimetra kruga P i njegovog promjera D, bez obzira da li je mali ili veliki krug, uvijek daje isti broj, zvan pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

To znači da ako je promjer opsega uzet kao mjerna jedinica, za sve one velike ili male, perimetar će uvijek biti P = 3,14… = π, kao što se može vidjeti na animaciji na slici 2.

Slika 2. Duljina perimetra kruga pi pi duljina je promjera, s pi oko 3,1416.

Da bi se utvrdilo više decimala, potrebno je s većom preciznošću izmjeriti P i D, a zatim izračunati kvocijent, što je učinjeno matematički. Zaključak je da decimale kvocijenta nemaju kraja i nikada se ne ponavljaju, pa je i broj π osim što je transcendentan, također iracionalan.

Iracionalni broj je broj koji se ne može izraziti dijeljenjem dvaju cijelih brojeva.

Poznato je da je svaki transcendentni broj iracionalan, ali nije istina da su svi iracionalni brojevi transcendentni. Na primjer, √2 je iracionalan, ali nije transcendentan.

Slika 3. Transcendentni brojevi su iracionalni, ali obrnuto nije točno.

Broj e

Transcendentni broj e osnova je prirodnih logaritama i njegova decimalna aproksimacija je:

i ≈ 2.718281828459045235360….

Ako želite točno napisati broj e, bilo bi potrebno napisati beskonačne decimale, jer je svaki transcendentni broj neracionalan, kao što je prije rečeno.

Prvih deset znamenki e lako je upamtiti:

2,7 1828 1828 i premda se čini da slijedi ponavljajući obrazac, to se ne postiže decimalama reda većim od devet.

Formalnija definicija e je sljedeća:

To znači da se točna vrijednost e dobije izvođenjem operacije naznačene u ovoj formuli, kada je prirodni broj n teži beskonačnosti.

To objašnjava zašto možemo dobiti samo aproksimacije e, budući da bez obzira na to koliko je velik n postavljen, uvijek se može naći veći n.

Potražimo neke aproksimacije sami:

-Kada je n = 100, tada je (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, što se u prvom decimalu teško podudara s "istinskom" vrijednošću e.

-Ako odaberete n = 10.000, imate (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, što se podudara s "tačnom" vrijednošću e u prva tri decimalna mjesta.

Taj bi se postupak morao slijediti beskonačno da bi se dobila „prava“ vrijednost e. Mislim da nemamo vremena za to, ali pokušajmo još jedno:

Koristimo n = 100 000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2,7182682372

Ima samo četiri decimalna mjesta koja odgovaraju vrijednosti koja se smatra točnom.

Važno je razumjeti da što je veća vrijednost n odabrana za izračunavanje e _n, to će ona biti bliža pravoj vrijednosti. Ali tu će pravu vrijednost imati samo kad je n beskonačno.

Slika 4. Grafički je prikazano koliko je veća vrijednost n, što je bliže e, ali da bismo došli do točne vrijednosti n mora biti beskonačno.

Ostali važni brojevi

Pored ovih poznatih brojeva, postoje i drugi transcendentni brojevi:

- 2 ^√2

-Namjer Champernowne u bazi 10:

C_10 = 0,112456789101112131415161718192021….

-Namjer Champernowne u bazi 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Gama broj γ ili Euler-Mascheroni konstanta:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Koji se dobiva sljedećim izračunom:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Jer, kada je n vrlo velik. Da bismo imali točnu vrijednost gama broja, izračunavanje bi bilo potrebno obaviti s n beskonačnošću. Nešto slično onome što smo gore napravili.

A mnogo je više transcendentnih brojeva. Veliki matematičar Georg Cantor, rođen u Rusiji i žive između 1845. i 1918., pokazao je da je skup transcendentnih brojeva mnogo veći od skupa algebričnih brojeva.

Formule u kojima se pojavljuje transcendentni broj π

Perimetar obima

P = π D = 2 π R, gdje je P obod, D promjer, a R polumjer obima. Treba imati na umu da:

- Promjer opsega je najduži segment koji spaja dvije točke iste i koji uvijek prolazi kroz njegovo središte,

-Rijec je pola promjera i predstavlja segment koji ide od središta do ruba.

Područje kruga

A = π R ² = ¼ π D ²

Površina sfere

S = 4 π R ^2.

Da. Iako se možda ne čini tako, površina kugle jednaka je površini četiri kruga istog polumjera kao i sfera.

Količina sfere

V = 4/3 π R ³

vježbe

- Vježba 1

Picerija „EXÓTICA“ prodaje pizze tri promjera: male 30 cm, srednje 37 cm i velike 45 cm. Dječak je jako gladan i shvatio je da dvije male pizze koštaju jedna kao jedna velika. Što će mu biti bolje, kupiti dvije male pizze ili jednu veliku?

Slika 5. - Područje pizze proporcionalno je kvadratu polumjera, pi je konstanta proporcionalnosti. Izvor: Pixabay.

Riješenje

Što je veća površina, veća je količina pizze, pa će se zato velika površina pizze izračunati i usporediti s onom dvije male pizze:

Površina velike pizze = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Površina male pizze = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Stoga će dvije male pizze imati površinu od

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

Jasno je: imat ćete veću količinu pice koju kupujete jednu veliku, od one dvije male.

- Vježba 2

Pizzeria "EXÓTICA" također prodaje hemisfernu pizzu s radijusom od 30 cm po istoj cijeni kao i pravokutnu dimenziju 30 x 40 cm sa svake strane. Koje biste odabrali?

Slika 6.- Površina polutke je dvostruko veća od kružne površine baze. Izvor: F. Zapata.

Riješenje

Kao što je spomenuto u prethodnom odjeljku, površina kugle je četiri puta veća od kruga istog promjera, pa će hemisfera promjera 30 cm imati:

Hemisferna pizza 30 cm: 1413,72 cm ² (dvostruko kružnica istog promjera)

Pravokutna pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

Pizzerija hemisfere ima veće područje.

Reference

1. Fernández J. Broj e. Podrijetlo i znatiželje. Oporavilo od: soymatematicas.com
2. Uživajte u matematici. Eulerov broj. Oporavilo od: užilasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznolika. CO-BO izdanja.
4. García, M. Broj e u elementarnom računu. Oporavak od: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI broj. Oporavilo sa: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transcendentni brojevi. Oporavilo sa: wikipedia.com