RACIONALNI BROJEVI: SVOJSTVA, PRIMJERI I OPERACIJE - MATEMATIKA - 2026

U racionalni brojevi su svi brojevi mogu se dobiti kao podjela po dva prirodna broja. Primjeri racionalnih brojeva su: 3/4, 8/5, -16/3 i oni koji se pojavljuju na sljedećoj slici. U racionalnom broju naveden je kvocijent, a moguće je i kasnije ako je potrebno.

Slika predstavlja bilo koji predmet, okrugli za veću udobnost. Ako ga želimo podijeliti na 2 jednaka dijela, kao u desnoj, imamo dvije polovice lijevo i svaka vrijedi 1/2.

Slika 1. Racionalni brojevi se koriste za podjelu cjeline u nekoliko dijelova. Izvor: Freesvg.

Podjelom na 4 jednaka dijela dobit ćemo 4 komada i svaki vrijedi 1/4, kao na slici u sredini. A ako ga moramo podijeliti na 6 jednakih dijelova, svaki bi dio vrijedio 1/6, što vidimo na slici s lijeve strane.

Naravno, također bismo ga mogli podijeliti na dva nejednaka dijela, na primjer, mogli bismo zadržati 3/4 dijela i spasiti 1/4 dijela. Moguće su i druge podjele, poput 4/6 dijelova i 2/6 dijelova. Važno je da je zbroj svih dijelova 1.

Na taj je način vidljivo da racionalnim brojevima možete podijeliti, računati i distribuirati stvari poput hrane, novca, zemlje i svih vrsta predmeta u frakcije. I tako se povećava broj operacija koje se mogu obavljati brojevima.

Racionalni brojevi mogu se izraziti i u decimalnom obliku, kao što se može vidjeti u slijedećim primjerima:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Kasnije ćemo uz primjere navesti kako prijeći iz jednog oblika u drugi.

Svojstva racionalnih brojeva

Racionalni brojevi, čiji skup ćemo označiti slovom Q, imaju sljedeća svojstva:

-Q uključuje prirodne brojeve N i cijeli brojeve Z.

Uzimajući u obzir da se bilo koji broj a može izraziti kvocijentom između sebe i 1, lako je vidjeti da među racionalnim brojevima postoje i prirodni brojevi i cijeli brojevi.

Dakle, prirodni broj 3 može se napisati kao ulomak, a također -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Na ovaj je način Q numerički skup koji uključuje veći broj brojeva, nešto vrlo potrebno, jer "okrugli" brojevi nisu dovoljni da opišu sve moguće operacije koje treba obaviti.

-Racionalni brojevi mogu se zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti, a rezultat operacije je racionalan broj: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Između svakog para racionalnih brojeva, uvijek se može naći drugi racionalni broj. U stvari, između dva racionalna broja nalaze se beskonačni racionalni brojevi.

Na primjer, između racionalnih 1/4 i 1/2 nalaze se racionalni 3/10, 7/20, 2/5 (i mnogi drugi), što se može potvrditi izrazom kao decimale.

-Svaki racionalni broj može se izraziti kao: i) cijeli broj ili ii) ograničen (strog) ili periodički decimalni broj: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

- Isti broj se može predstaviti beskonačnim ekvivalentnim frakcijama i svi pripadaju Q. Pogledajmo ovu skupinu:

Svi oni predstavljaju decimalni 0,428571…

-Od svih ekvivalentnih ulomaka koji predstavljaju isti broj, krediran predstavnik tog broja jest nepomirljivi ulorak, najjednostavniji od svih. Kanonski predstavnik gornjeg primjera je 3/7.

Slika 2.- Skup Q racionalnih brojeva. Izvor: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Primjeri racionalnih brojeva

- Razlomni ulomci, oni u kojima je brojnik manji od nazivnika:

- Umjereni ulomci, čiji je brojnik veći od nazivnika:

-Naravni brojevi i cijeli brojevi:

-Ekvivalentne frakcije:

Decimalni prikaz racionalnog broja

Kad se brojnik podijeli s nazivnikom, nalazi se decimalni oblik racionalnog broja. Na primjer:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

U prva dva primjera broj decimalnih mjesta je ograničen. To znači da, kad je podjela izvršena, na kraju se dobiva ostatak od 0.

S druge strane, u sljedeća dva je broj decimalnih mjesta neograničen i zato se postavlja elipsa. U potonjem slučaju u decimala je uzorak. U slučaju udjela 1/9, broj 1 se ponavlja u nedogled, dok je u 6/11 54.

Kad se to dogodi, decimalna kazna je periodična, a označava se ovako:

Decimalni pretvorite u djelić

Ako je to ograničen decimalni broj, zarez se jednostavno eliminira i nazivnik postaje jedinica koju slijedi onoliko nula koliko u cifri sadrži brojke. Na primjer, da decimalni 1,26 transformirate u ulomak, napišite ga ovako:

1,26 = 126/100

Tada se dobiveni udio pojednostavljuje do maksimuma:

126/100 = 63/50

Ako je decimalni broj neograničen, prvo se identificira razdoblje. Zatim slijede ovi koraci za pronalaženje rezultirajuće frakcije:

-Knjižnik je oduzimanje između broja (bez zareza ili zareza) i dijela koji nema znak za zarez.

- Naziv je cijeli broj s koliko 9 koliko ih ima pod obrubom, a isto toliko je i broja u decimalnom dijelu koji nisu ispod obruba.

Slijedimo ovaj postupak kako bismo decimalni broj 0,428428428… pretvorili u djelić.

- Prvo, identificira se razdoblje, a to je redoslijed koji se ponavlja: 428.

-Tada je radnja izvedena za oduzimanje broja bez zareza ili akcenta: 0428 od dijela koji nema obod, što je 0. Ostaje ovako 428 - 0 = 428.

- Naziv je konstruiran, znajući da su ispod obruba tri figure i da su sve pod obodom. Stoga je nazivnik 999.

-Na kraju se frakcija formira i pojednostavljuje ako je moguće:

0,428 = 428/999

Ne može se više pojednostaviti.

Operacije s racionalnim brojevima

- Dodavanje i oduzimanje

Frakcije s istim nazivnikom

Kad frakcije imaju isti nazivnik, dodavanje i / ili oduzimanje vrlo je jednostavno, jer su brojnici jednostavno algebrično dodani, a isti su dodaci kao i nazivnik rezultata. Konačno, ako je moguće, pojednostavljeno je.

Primjer

Izvedite sljedeći algebarski dodatak i pojednostavite rezultat:

Rezultirajuća frakcija je već neizlječiva.

Frakcije s različitim nazivnicima

U ovom se slučaju dodaci zamjenjuju jednakim frakcijama s istim nazivnikom, a zatim slijedi već opisani postupak.

Primjer

Dodajte algebarski sljedeće racionalne brojeve, pojednostavljujući rezultat:

Koraci su:

- Odrediti najmanje uobičajeni višestruki (lcm) nazivnika 5, 8 i 3:

lcm (5,8,3) = 120

To će biti nazivnik rezultirajuće frakcije bez pojednostavljenja.

-Za svaki ulomak: LCM podijelite s nazivnikom i pomnožite s brojilom. Rezultat ove operacije postavljen je, sa pripadajućim znakom, u brojnik ulomka. Na taj se način dobiva ulomak jednak izvorniku, ali s nazivnikom LCM.

Na primjer, za prvi ulomek je brojač konstruiran ovako: (120/5) x 4 = 96 i dobivamo:

Na isti način nastavite za preostale frakcije:

Konačno, zamjenjuju se ekvivalentni ulomci bez zaboravljanja njihovog znaka i provodi se algebarska suma brojača:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Umnožavanje i dijeljenje

Umnožavanje i dijeljenje provode se slijedećim pravilima:

Slika 3. Pravila množenja i dijeljenja racionalnih brojeva. Izvor: F. Zapata.

U svakom slučaju, važno je zapamtiti da je množenje komutativno, što znači da redoslijed faktora ne mijenja proizvod. To se ne događa podjelom, pa se mora paziti na poštivanje reda između dividende i djelitelja.

Primjer 1

Izvršite sljedeće operacije i pojednostavite rezultat:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Odgovor na

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Odgovor b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Primjer 2

Luisa je imala 45 dolara. Desetinu je potrošio kupujući knjigu, a 2/5 onoga što je ostalo na majici. Koliko je novca ostalo Luisi? Rezultat izrazite kao nenadoknadive frakcije.

Riješenje

Cijena knjige (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Stoga je Luisa ostala:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

S tim novcem Luisa je otišla u trgovinu odjećom i kupila majicu, čija je cijena:

(2/5) x 40,5 $ = 16,2 USD

Sada Luisa u svom portfelju ima:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Da biste ga izrazili kao djelić, piše se ovako:

24,3 = 243/10

To je neizrecivo.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Izdanja i distribucije Kodeksa.
2. Carena, M. 2019. Priručnik matematike. Nacionalno sveučilište Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Racionalni brojevi. Oporavilo od: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionalni brojevi. Oporavak od: webdelprofesor.ula.ve.