IRACIONALNI BROJEVI: POVIJEST, SVOJSTVA, KLASIFIKACIJA, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

U iracionalni brojevi su oni čija je ekspresija ima beskonačno decimalna figure bez uzorkom koji se ponavlja, dakle, ne može se dobiti iz odnosa između dviju brojeva.

Među najpoznatijim iracionalnim brojevima su:

Slika 1. Odozgo su sljedeći iracionalni brojevi: pi, Eulerov broj, zlatni omjer i dva kvadratna korijena. Izvor: Pixabay.

Među njima je bez sumnje najpoznatiji π (pi), ali postoji još mnogo toga. Svi oni pripadaju skupu stvarnih brojeva, što je brojčani skup koji grupira racionalne i iracionalne brojeve.

Elipsa na slici 1 upućuje na to da se decimala nastavljaju u nedogled, a događa se da prostor običnih kalkulatora omogućava prikazivanje samo nekoliko.

Ako pažljivo pogledamo, kad god napravimo kvocijent između dva cijela broja, dobit ćemo decimalni broj s ograničenim brojkama ili ako ne, s beskonačnim brojkama u kojima se ponavlja jedan ili više. Pa, to se ne događa s iracionalnim brojevima.

Povijest iracionalnih brojeva

Veliki drevni matematičar Pitagora, rođen 582. godine prije Krista u Samosu u Grčkoj, osnovao je pitagorejsku školu mišljenja i otkrio čuvenu teoremu koja nosi njegovo ime. Imamo ga ovdje dolje s lijeve strane (Babilonci su to možda znali već davno prije).

Slika 2. Pitagorejska teorema primijenjena na trokut sa stranicama jednakim 1. Izvor: Pixabay / Wikimedia Commons.

Pa, kad je Pitagoras (ili vjerojatno njegov učenik) primijenio teoremu na pravi trokut sa stranicama jednakim 1, pronašao je iracionalni broj √2.

Učinio je to ovako:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

I odmah je shvatio da taj novi broj ne dolazi iz kvocijenta između dva druga prirodna broja, koja su bila poznata u to vrijeme.

Stoga ga je nazvao neracionalnim, a otkriće je izazvalo veliko zabrinutost i zaprepaštenje kod pitagorejaca.

Svojstva iracionalnih brojeva

-U skup svih iracionalnih brojeva označava se sa slovom I, a ponekad i kao Q * ili Q ^C. Ujedinjenje iracionalnih brojeva I ili Q * i racionalnih brojeva Q, rađa skup realnih brojeva R.

-Na iracionalnim brojevima mogu se izvoditi poznate aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnaživanje i još mnogo toga.

- Podjela s 0 nije definirana ni među iracionalnim brojevima.

- Zbroj i zbroj između iracionalnih brojeva nije nužno još jedan iracionalni broj. Na primjer:

√2 x √8 = √16 = 4

A 4 nije iracionalan broj.

- Ipak, zbroj racionalnog broja plus iracionalni broj daje iracionalan rezultat. Na ovaj način:

1 + √2 = 2,41421356237…

- Proizvod racionalnog broja različitog od 0 iracionalnim brojem je također iracionalan. Pogledajmo ovaj primjer:

2 x √2 = 2.828427125…

- Obrnuto iracionalnom rezultira drugim neracionalnim brojem. Pokušajmo nekoliko:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Ti su brojevi zanimljivi jer su ujedno vrijednosti nekih trigonometrijskih omjera poznatih kutova. Većina trigonometrijskih omjera su iracionalni brojevi, ali postoje iznimke, poput sin 30º = 0,5 = ½, što je racionalno.

- U zbiru se ispunjavaju komutativna i asocijativna svojstva. Ako su a i b dva iracionalna broja, to znači da:

a + b = b + a.

A ako je c još jedan iracionalni broj, tada:

(a + b) + c = a + (b + c).

- Distribucijsko svojstvo množenja s obzirom na zbrajanje još je jedno dobro svojstvo koje vrijedi i za iracionalne brojeve. U ovom slučaju:

a. (b + c) = ab + ac

-Iracionalno a ima svoju suprotnost: -a. Kada se zbroje rezultat je 0:

a + (- a) = 0

- Između dva različita racionalnog stanja postoji bar jedan iracionalni broj.

Položaj iracionalnog broja na stvarnoj crti

Stvarna linija je vodoravna linija na kojoj se nalaze stvarni brojevi, od kojih su iracionalni brojevi važan dio.

Da bismo pronašli iracionalni broj na stvarnoj liniji, u geometrijskom obliku, možemo upotrijebiti pitagorejski teorem, vladar i kompas.

Kao primjer pronaći ćemo √5 na realnoj liniji, za koju crtamo pravi trokut sa stranicama x = 2 i y = 1, kao što je prikazano na slici:

Slika 3. Metoda lociranja iracionalnog broja na stvarnoj liniji. Izvor: F. Zapata.

Po pitagorejskom teoremu hipotenuza takvog trokuta je:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Sada je kompas postavljen s točkom na 0, gdje je također jedna od vrhova pravog trokuta. Točka olovke za kompas trebala bi biti u vrhunac A.

Nacrt je luk obima koji se siječe na stvarnu liniju. Budući da je udaljenost između središta obima i bilo koje točke na njemu polumjer, jednak √5, točka sjecišta je također udaljena √5 od središta.

Iz grafa se vidi da je √5 između 2 i 2,5. Kalkulator nam daje približnu vrijednost:

√5 = 2,236068

I tako, izgradnjom trokuta s odgovarajućim stranama mogu se smjestiti druge iracionalne, poput √7 i druge.

Klasifikacija iracionalnih brojeva

Iracionalni brojevi su svrstani u dvije skupine:

-Algebarski

-Transcendentalno ili transcendentalno

Algebrični brojevi

Algebrični brojevi, koji mogu biti, ali ne moraju biti iracionalni, rješenja su polinomnih jednadžbi čiji je opći oblik:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Primjer polinomne jednadžbe je kvadratna jednadžba poput ove:

x ³ - 2x = 0

Lako je pokazati da je iracionalni broj √2 jedno od rješenja ove jednadžbe.

Transcendentni brojevi

S druge strane, transcendentni brojevi, iako su iracionalni, nikada ne nastaju kao rješenje polinomne jednadžbe.

Transcendentni brojevi koji se najčešće primjenjuju u primijenjenoj matematici su π, zbog odnosa s opsegom i brojem e, odnosno Eulerovog broja, koji je osnova prirodnih logaritama.

vježba

Sivi kvadrat postavljen je na crni kvadrat u položaju navedenom na slici. Poznato je da površina crnog kvadrata iznosi 64 cm ². Kolike su duljine oba kvadrata?

Slika 4. Dva kvadrata od kojih želimo pronaći duljinu stranica. Izvor: F. Zapata.

Odgovor

Površina kvadrata sa stranom L je:

A = L ²

Budući da je crni kvadrat površine 64 cm ², njegova strana mora biti 8 cm.

Ovo je mjerenje isto kao dijagonala sivog kvadrata. Primjenjujući pitagorovski teorem na ovu dijagonalu i sjećajući se da su stranice kvadrata jednake, imat ćemo:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Gdje je L _g strana sivog kvadrata.

Stoga: 2L _g ² = 8 ²

Primjena kvadratnog korijena na obje strane jednakosti:

L _g = (8 / √2) cm

Reference

1. Carena, M. 2019. Priuveučilišni matematički priručnik. Nacionalno sveučilište Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 9. Stupanj. CO-BO izdanja.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
4. Obrazovni portal. Iracionalni brojevi i njihova svojstva. Oporavak od: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Iracionalni brojevi. Oporavak od: es.wikipedia.org.