ZAMIŠLJENI BROJEVI: SVOJSTVA, APLIKACIJE, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

U imaginarni brojevi su oni koji riješiti jednadžbu u kojoj je nepoznato, uzdignut na kvadrat je jednak negativnom realnog broja. Zamišljena jedinica je i = √ (-1).

U jednadžbi: z ² = - a, z je imaginarni broj koji se izražava na sljedeći način:

z = √ (-a) = i√ (a)

Biti pozitivan stvarni broj. Ako je a = 1, tada je z = i, gdje je i imaginarna jedinica.

Slika 1. Složena ravnina koja prikazuje neke stvarne brojeve, neke imaginarne brojeve i neke složene brojeve. Izvor: F. Zapata.

Općenito, čisti imaginarni broj z uvijek se izražava u obliku:

z = y⋅i

Gdje je y realni broj i ja je imaginarna jedinica.

Baš kao što su stvarni brojevi predstavljeni na liniji, koja se naziva stvarnom linijom, na sličan način na imaginarni broj prikazani su imaginarni brojevi.

Zamišljena linija je uvijek pravokutna (oblik 90 °) na stvarnoj liniji, a dvije crte definiraju kartezijansku ravninu zvanu složenu ravninu.

Na slici 1 prikazani su složeni ravnini, a na njoj su prikazani neki stvarni brojevi, neki imaginarni brojevi i također neki složeni brojevi:

X ₁, X ₂, X ₃ su stvarni brojevi

Y ₁, Y ₂, Y ₃ su imaginarni brojevi

Z ₂ i Z ₃ su kompleksni brojevi

Broj O je stvarna nula i ona je također imaginarna nula, pa je ishod O složena nula izražena sa:

0 + 0i

Svojstva

Skup imaginarnih brojeva označen je sa:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

I na ovom numeričkom skupu možete definirati neke operacije. Zamišljeni broj nije uvijek dobiven iz ovih operacija, pa ćemo ih pogledati malo detaljnije:

Dodajte i oduzmite imaginarno

Zamišljeni brojevi mogu se dodavati i oduzimati jedan od drugog, što rezultira novim imaginarnim brojem. Na primjer:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Proizvod imaginarnog

Kada se napravi proizvod jednog imaginarnog broja s drugim, rezultat je stvaran broj. Uradimo sljedeću operaciju kako bismo je provjerili:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

I kao što vidimo, -6 je pravi broj, iako je dobiven množenjem dva čista imaginarna broja.

Proizvod stvarnog broja od strane drugog imaginarnog

Ako se stvarni broj pomnoži s i, rezultat će biti imaginarni broj koji odgovara rotaciji za 90 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

A to je da i ² odgovara dvije uzastopne rotacije od 90 stupnjeva, što je ekvivalentno množenju s -1, to jest, i ² = -1. Može se vidjeti na sljedećem dijagramu:

Slika 2. Pomnožavanje s imaginarnom jedinicom i odgovara rotacijama od 90 ° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Izvor: wikimedia commons.

Na primjer:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Osnaživanje imaginarnog

Možete definirati potencijali imaginarnog broja na cijeli eksponent:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Općenito imamo da je i ⁿ = i ^ (n mod 4), gdje je mod ostatak podjele između n i 4.

Negativni cijeli potencijali mogu se također izvesti:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Općenito, imaginarni broj b⋅i podignut na snagu n je:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Neki su primjeri sljedeći:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Zbroj stvarnog broja i imaginarnog broja

Kada stvarnom broju dodate imaginarni, rezultat nije ni stvaran ni imaginarni, to je nova vrsta broja koja se zove složen broj.

Na primjer, ako je X = 3,5 i Y = 3,75i, tada je rezultat složen broj:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Imajte na umu da se stvarni i imaginarni dijelovi ne mogu grupirati, tako da će složeni broj uvijek imati stvarni i imaginarni dio.

Ova operacija proširuje skup realnih brojeva na najširi složeni brojevi.

Prijave

Ime imaginarnih brojeva predložio je francuski matematičar René Descartes (1596-1650) kao podsmijeh ili neslaganje s prijedlogom istog koji je dao talijanski matematičar stoljeća Raffaelle Bombelli.

Drugi veliki matematičari, poput Eulera i Leibniz-a, podržali su Descartesa u ovom neslaganju i nazvali imaginarne brojeve amfibijskim brojevima, koji su bili razdijeljeni između bića i ničega.

Ime imaginarnih brojeva ostaje i danas, ali njihovo postojanje i važnost vrlo su stvarni i vidljivi jer se prirodno pojavljuju u mnogim poljima fizike, kao što su:

-Teorija relativnosti.

-U elektromagnetizmu.

-Kvantna mehanika.

Vježbe s imaginarnim brojevima

- Vježba 1

Pronađite rješenja sljedeće jednadžbe:

z ² + 16 = 0

Riješenje

z ² = -16

Uzimajući kvadrat korijena u oba člana, imamo:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Drugim riječima, rješenja izvorne jednadžbe su:

z = + 4i oz = -4i.

- Vježba 2

Pronađite rezultat podizanja imaginarne jedinice na snagu 5 minus oduzimanje zamišljene jedinice koja je podignuta na snagu -5.

Riješenje

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Vježba 3

Pronađite rezultat sljedeće operacije:

(3i) ³ + 9i

Riješenje

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Vježba 4

Pronađite rješenja sljedeće kvadratne jednadžbe:

(-2x) ² + 2 = 0

Riješenje

Jednadžba je raspoređena na sljedeći način:

(-2x) ² = -2

Zatim se uzima četvrtasti korijen oba člana

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Tada rješavamo da x konačno dobije:

x = ± √2 / 2 i

To su dva moguća rješenja:

x = (√2 / 2) i

Ili ovo drugo:

x = - (√2 / 2) i

- Vježba 5

Pronađite vrijednost Z definiranu s:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Riješenje

Znamo da je kvadratni korijen negativnog realnog broja imaginarni broj, na primjer √ (-9) jednak je √ (9) x √ (-1) = 3i.

S druge strane, √ (-4) je jednak √ (4) x √ (-1) = 2i.

Tako se izvorna jednadžba može zamijeniti s:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Vježba 6

Pronađite vrijednost Z koja proizlazi iz slijedeće podjele dva složena broja:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Riješenje

Brojač izraza može se uzeti u obzir pomoću sljedećeg svojstva:

Tako:

Z = / (3 + i)

Dobiveni izraz pojednostavljen je u nastavku, ostavljajući

Z = (3 - i)

Reference

1. Earl, R. Složeni brojevi. Oporavilo od: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznolika. CO-BO izdanja.
3. Hoffmann, J. 2005. Izbor tema iz matematike. Monfort Publikacije.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Wikipedia. Imaginarni broj. Oporavilo sa: en.wikipedia.org