SLOŽENI BROJEVI: SVOJSTVA, PRIMJERI, OPERACIJE - MATEMATIKA - 2026

U složeni brojevi su numerički skup pokriva realne brojeve i sve korijene polinoma, uključujući pari korijena negativnih brojeva. Ti korijeni ne postoje u skupu stvarnih brojeva, ali u složenim brojevima postoji rješenje.

Složen broj sastoji se od stvarnog dijela i dijela koji se naziva "imaginarnim". Stvarni dio naziva se, na primjer, a imaginarni dio ib, s realnim brojevima a i b i "i" kao imaginarnom jedinicom. Na taj način složen broj ima oblik:

Slika 1. - Binomni prikaz složenog broja u smislu stvarnog dijela i imaginarnog dijela. Izvor: Pixabay.

Primjeri složenih brojeva su 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Prije nego što operiramo s njima, da vidimo odakle imaginativna jedinica iz koje potječe, razmatrajući ovu kvadratnu jednadžbu:

x ² - 10x + 34 = 0

U kojoj su a = 1, b = -10 i c = 34.

Kada primjenjujemo formulu razlučivanja za određivanje rješenja, nalazimo sljedeće:

Kako odrediti vrijednost √-36? Ne postoji stvarni broj koji na kvadrat proizvodi negativnu količinu. Tada se zaključuje da ova jednadžba nema pravih rješenja.

Međutim, možemo ovo napisati:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Ako definiramo određenu vrijednost x tako da:

x ² = -1

Tako:

x = ± √-1

I gornja jednadžba imala bi rješenje. Stoga je zamišljena jedinica definirana kao:

i = √-1

I tako:

√-36 = 6i

Mnogi matematičari antike radili su na rješavanju sličnih problema, osobito renesansni Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) i Raffaele Bombelli (1526-1572).

Godinama kasnije René Descartes (1596.-1650.) U primjeru je nazvao količine „imaginarne“, poput √-36. Iz tog razloga √-1 je poznat kao imaginarna jedinica.

Svojstva složenih brojeva

-Skup složenih brojeva označava se sa C i uključuje stvarne brojeve R i imaginarne brojeve Im. Brojevi su prikazani u Venn dijagramu, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Slika 2. Vennov dijagram skupova brojeva. Izvor: F. Zapata.

-Sva složen broj sastoji se od stvarnog i imaginarnog dijela.

-Kada je imaginarni dio složenog broja 0, to je čisto stvarni broj.

-Ako je stvarni dio složenog broja 0, tada je broj čisto zamišljen.

-Dva složena broja jednaka su ako su njihovi stvarni i imaginarni dio jednaki.

-S kompleksnim brojevima provode se poznate operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, zbroja i poboljšanja, što rezultira drugim složenim brojem.

Prikaz složenih brojeva

Složeni brojevi mogu biti predstavljeni na različite načine. Evo glavnih:

- Binomni oblik

To je oblik dan na početku, gdje je z složen broj, a stvarni dio, b je imaginarni dio, a i je imaginarna jedinica:

Ili također:

Jedan od načina graficiranja složenog broja je kroz složenu ravninu prikazanu na ovoj slici. Zamišljena os Im je vertikalna, dok je stvarna os vodoravna i označena je kao Re.

Složeni broj z predstavljen je u ovoj ravnini kao točka koordinata (x, y) ili (a, b), kao što je to učinjeno s točkama stvarne ravnine.

Udaljenost od izvora do točke z je modul složenog broja, označen kao r, dok je φ kut koji r čini sa pravom osi.

Slika 3. Prikaz složenog broja u složenoj ravnini. Izvor: Wikimedia Commons.

Ovaj je prikaz usko povezan s vektorima u stvarnoj ravnini. Vrijednost r odgovara modulu složenog broja.

- Polarni oblik

Polarni oblik sastoji se u izražavanju složenog broja davanjem vrijednosti r i φ. Ako pogledamo sliku, vrijednost r odgovara hipotenuzi ispravnog trokuta. Noge vrijede a i b, ili x i y.

Iz binomnog ili binomnog oblika možemo preći u polarni oblik prema:

Kut φ je onaj koji tvori segment r s vodoravnom osi ili imaginarnom osi. Poznat je kao složeni argument broja. Na ovaj način:

Argument ima beskonačne vrijednosti, uzimajući u obzir da svaki put kad se okrene zavoj, vrijedan 2π radijana, r ponovo zauzima isti položaj. Općenito, argument z, označen kao Arg (z), izražava se ovako:

Ako je k cijeli broj, a koristi se za označavanje broja okretaja: 2, 3, 4…. Znak označava smjer vrtnje, ako je u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.

Slika 4. Polarni prikaz složenog broja u složenoj ravnini. Izvor: Wikimedia Commons.

A ako želimo prijeći iz polarnog oblika u binomni oblik, koristimo trigonometrijske omjere. Iz prethodne slike možemo vidjeti da:

x = r cos φ

y = r sin φ

Na ovaj način z = r (cos φ + i sin φ)

Koji je ovako skraćen:

z = r cis φ

Primjeri složenih brojeva

Sljedeći složeni brojevi su navedeni u binomnom obliku:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

I to u obliku uređenog para:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Konačno, ova se skupina daje u polarnom ili trigonometrijskom obliku:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Za što su oni?

Korisnost složenih brojeva nadilazi rješavanje kvadratne jednadžbe prikazane na početku jer su bitne u području strojarstva i fizike, posebno u:

-Proučavanje elektromagnetskih valova

-Analiza naizmenične struje i napona

- Modeliranje svih vrsta signala

-Teorija relativnosti, gdje se vrijeme pretpostavlja kao imaginarna veličina.

Operacije složenog broja

Sa složenim brojevima možemo izvesti sve operacije koje se obavljaju s pravim. Neke je lakše učiniti ako brojevi dolaze u binomnom obliku, kao što su zbrajanje i oduzimanje. Suprotno tome, množenje i dijeljenje su jednostavniji ako se izvode s polarnim oblikom.

Pogledajmo nekoliko primjera:

- Primjer 1

Dodajte z ₁ = 2 + 5i i z ₂ = -3 -8i

Riješenje

Pravi dijelovi se dodaju odvojeno od imaginarnih dijelova:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Primjer 2

Pomnožite z ₁ = 4 cis 45º i z ₂ = 5 cis 120º

Riješenje

Može se pokazati da je proizvod dvaju složenih brojeva u polarnom ili trigonometrijskom obliku dat:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

Prema tome:

z ₁. z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

primjena

Jednostavna primjena složenih brojeva je pronaći sve korijene polinomne jednadžbe poput onoga prikazanog na početku članka.

U slučaju jednadžbe x ² - 10x + 34 = 0, primjenom rezolucijske formule dobivamo:

Stoga su rješenja sljedeća:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Reference

1. Earl, R. Složeni brojevi. Oporavilo od: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznolika. CO-BO izdanja.
3. Hoffmann, J. 2005. Izbor tema iz matematike. Monfort Publikacije.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Wikipedia. Složeni brojevi. Oporavilo sa: en.wikipedia.org