- Svojstva složenih brojeva
- Prikaz složenih brojeva
- - Binomni oblik
- - Polarni oblik
- Primjeri složenih brojeva
- Za što su oni?
- Operacije složenog broja
- - Primjer 1
- Riješenje
- - Primjer 2
- Riješenje
- primjena
- Reference
U složeni brojevi su numerički skup pokriva realne brojeve i sve korijene polinoma, uključujući pari korijena negativnih brojeva. Ti korijeni ne postoje u skupu stvarnih brojeva, ali u složenim brojevima postoji rješenje.
Složen broj sastoji se od stvarnog dijela i dijela koji se naziva "imaginarnim". Stvarni dio naziva se, na primjer, a imaginarni dio ib, s realnim brojevima a i b i "i" kao imaginarnom jedinicom. Na taj način složen broj ima oblik:

Slika 1. - Binomni prikaz složenog broja u smislu stvarnog dijela i imaginarnog dijela. Izvor: Pixabay.
Primjeri složenih brojeva su 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Prije nego što operiramo s njima, da vidimo odakle imaginativna jedinica iz koje potječe, razmatrajući ovu kvadratnu jednadžbu:
x 2 - 10x + 34 = 0
U kojoj su a = 1, b = -10 i c = 34.
Kada primjenjujemo formulu razlučivanja za određivanje rješenja, nalazimo sljedeće:

Kako odrediti vrijednost √-36? Ne postoji stvarni broj koji na kvadrat proizvodi negativnu količinu. Tada se zaključuje da ova jednadžba nema pravih rješenja.
Međutim, možemo ovo napisati:
√-36 = √-6 2 = √6 2 (-1) = 6√-1
Ako definiramo određenu vrijednost x tako da:
x 2 = -1
Tako:
x = ± √-1
I gornja jednadžba imala bi rješenje. Stoga je zamišljena jedinica definirana kao:
i = √-1
I tako:
√-36 = 6i
Mnogi matematičari antike radili su na rješavanju sličnih problema, osobito renesansni Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) i Raffaele Bombelli (1526-1572).
Godinama kasnije René Descartes (1596.-1650.) U primjeru je nazvao količine „imaginarne“, poput √-36. Iz tog razloga √-1 je poznat kao imaginarna jedinica.
Svojstva složenih brojeva
-Skup složenih brojeva označava se sa C i uključuje stvarne brojeve R i imaginarne brojeve Im. Brojevi su prikazani u Venn dijagramu, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Slika 2. Vennov dijagram skupova brojeva. Izvor: F. Zapata.
-Sva složen broj sastoji se od stvarnog i imaginarnog dijela.
-Kada je imaginarni dio složenog broja 0, to je čisto stvarni broj.
-Ako je stvarni dio složenog broja 0, tada je broj čisto zamišljen.
-Dva složena broja jednaka su ako su njihovi stvarni i imaginarni dio jednaki.
-S kompleksnim brojevima provode se poznate operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, zbroja i poboljšanja, što rezultira drugim složenim brojem.
Prikaz složenih brojeva
Složeni brojevi mogu biti predstavljeni na različite načine. Evo glavnih:
- Binomni oblik
To je oblik dan na početku, gdje je z složen broj, a stvarni dio, b je imaginarni dio, a i je imaginarna jedinica:
Ili također:
Jedan od načina graficiranja složenog broja je kroz složenu ravninu prikazanu na ovoj slici. Zamišljena os Im je vertikalna, dok je stvarna os vodoravna i označena je kao Re.
Složeni broj z predstavljen je u ovoj ravnini kao točka koordinata (x, y) ili (a, b), kao što je to učinjeno s točkama stvarne ravnine.
Udaljenost od izvora do točke z je modul složenog broja, označen kao r, dok je φ kut koji r čini sa pravom osi.

Slika 3. Prikaz složenog broja u složenoj ravnini. Izvor: Wikimedia Commons.
Ovaj je prikaz usko povezan s vektorima u stvarnoj ravnini. Vrijednost r odgovara modulu složenog broja.
- Polarni oblik
Polarni oblik sastoji se u izražavanju složenog broja davanjem vrijednosti r i φ. Ako pogledamo sliku, vrijednost r odgovara hipotenuzi ispravnog trokuta. Noge vrijede a i b, ili x i y.
Iz binomnog ili binomnog oblika možemo preći u polarni oblik prema:
Kut φ je onaj koji tvori segment r s vodoravnom osi ili imaginarnom osi. Poznat je kao složeni argument broja. Na ovaj način:
Argument ima beskonačne vrijednosti, uzimajući u obzir da svaki put kad se okrene zavoj, vrijedan 2π radijana, r ponovo zauzima isti položaj. Općenito, argument z, označen kao Arg (z), izražava se ovako:
Ako je k cijeli broj, a koristi se za označavanje broja okretaja: 2, 3, 4…. Znak označava smjer vrtnje, ako je u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.

Slika 4. Polarni prikaz složenog broja u složenoj ravnini. Izvor: Wikimedia Commons.
A ako želimo prijeći iz polarnog oblika u binomni oblik, koristimo trigonometrijske omjere. Iz prethodne slike možemo vidjeti da:
x = r cos φ
y = r sin φ
Na ovaj način z = r (cos φ + i sin φ)
Koji je ovako skraćen:
z = r cis φ
Primjeri složenih brojeva
Sljedeći složeni brojevi su navedeni u binomnom obliku:
a) 3 + i
b) 4
d) -6i
I to u obliku uređenog para:
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7,0)
Konačno, ova se skupina daje u polarnom ili trigonometrijskom obliku:
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315º
Za što su oni?
Korisnost složenih brojeva nadilazi rješavanje kvadratne jednadžbe prikazane na početku jer su bitne u području strojarstva i fizike, posebno u:
-Proučavanje elektromagnetskih valova
-Analiza naizmenične struje i napona
- Modeliranje svih vrsta signala
-Teorija relativnosti, gdje se vrijeme pretpostavlja kao imaginarna veličina.
Operacije složenog broja
Sa složenim brojevima možemo izvesti sve operacije koje se obavljaju s pravim. Neke je lakše učiniti ako brojevi dolaze u binomnom obliku, kao što su zbrajanje i oduzimanje. Suprotno tome, množenje i dijeljenje su jednostavniji ako se izvode s polarnim oblikom.
Pogledajmo nekoliko primjera:
- Primjer 1
Dodajte z 1 = 2 + 5i i z 2 = -3 -8i
Riješenje
Pravi dijelovi se dodaju odvojeno od imaginarnih dijelova:
z 1 + z 2 = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i
- Primjer 2
Pomnožite z 1 = 4 cis 45º i z 2 = 5 cis 120º
Riješenje
Može se pokazati da je proizvod dvaju složenih brojeva u polarnom ili trigonometrijskom obliku dat:
z 1. z 2 = r 1.r 2 cis (φ 1 + φ 2)
Prema tome:
z 1. z 2 = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
primjena
Jednostavna primjena složenih brojeva je pronaći sve korijene polinomne jednadžbe poput onoga prikazanog na početku članka.
U slučaju jednadžbe x 2 - 10x + 34 = 0, primjenom rezolucijske formule dobivamo:

Stoga su rješenja sljedeća:
x 1 = 5 + 3i
x 2 = 5 - 3i
Reference
- Earl, R. Složeni brojevi. Oporavilo od: maths.ox.ac.uk.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznolika. CO-BO izdanja.
- Hoffmann, J. 2005. Izbor tema iz matematike. Monfort Publikacije.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
- Wikipedia. Složeni brojevi. Oporavilo sa: en.wikipedia.org
