EULEROV BROJ ILI E BROJ: KOLIKO VRIJEDI, SVOJSTVA, APLIKACIJE - MATEMATIKA - 2026

Euler broj ili broj e je poznato matematička konstanta koja se pojavljuje često u brojnim znanstvenim i gospodarskim programima, zajedno s brojem π i drugih važnih brojeva u matematici.

Znanstveni kalkulator vraća sljedeću vrijednost za broj e:

Slika 1. Eulerov se broj često pojavljuje u Scienceu. Izvor: F. Zapata.

e = 2.718281828…

Ali poznato je još mnogo decimala, na primjer:

e = 2.71828182845904523536…

I suvremena računala pronašla su triliju decimalnih mjesta za broj e.

To je iracionalan broj, što znači da ima beskonačan broj decimalnih mjesta bez ikakvog ponavljajućeg uzorka (niz 1828 pojavljuje se dva puta na početku i više se ne ponavlja).

A to također znači da broj e ne može biti dobiven kao kvocijent dva cijela broja.

Povijest

Broj e utvrdio je znanstvenik Jacques Bernoulli 1683. godine, kada je proučavao problem složenih interesa, ali prije se to posredno pojavilo u radovima škotskog matematičara Johna Napiera, koji je oko 1618. izumio logaritme.

No, upravo je Leonhard Euler dao 1727. godine naziv e i intenzivno proučavao njegova svojstva. Zbog toga je poznat i kao Eulerov broj i kao prirodna baza za prirodne logaritme (eksponent) koji se trenutno koriste.

Koliko vrijedi broj e?

Vrijednost e vrijedi:

e = 2.71828182845904523536…

Elipsa znači da postoji beskonačan broj decimalnih mjesta i zapravo je s današnjim računalima poznato milijune njih.

Prikazi broja e

Postoji nekoliko načina za definiranje e koje opisujemo u nastavku:

Broj e kao granica

Jedan od različitih načina na koji se izražava broj e je onaj koji je znanstvenik Bernoulli pronašao u svojim radovima o složenom interesu:

U kojem morate unijeti vrijednost n vrlo velik broj.

Lako je provjeriti, uz pomoć kalkulatora, da kada je n vrlo velik, prethodni izraz teži vrijednosti e datoj gore.

Naravno da se možemo zapitati kako se može stvoriti velika n, pa pokušamo zaokružiti brojeve, poput ovih na primjer:

n = 1000; 10.000 ili 100.000

U prvom slučaju dobivamo e = 2.7169239…. U drugom e = 2.7181459…, a u trećem je mnogo bliža vrijednosti e: 2.7182682. Već možemo zamisliti da će s n = 1.000.000 ili većim iznosom aproksimacija biti još bolja.

Matematičkim jezikom postupak približavanja i približavanja vrlo velikoj vrijednosti naziva se granicom do beskonačnosti i označava se ovako:

Za označavanje beskonačnosti koristi se simbol "∞".

Broj e kao zbroj

Također je moguće definirati broj e kroz ovu operaciju:

Brojke koje se pojavljuju u nazivniku: 1, 2, 6, 24, 120… odgovaraju operaciji n !, gdje:

I po definiciji 0! = 1.

Lako je provjeriti da li je dodano više dodataka, točnije se doseže broj e.

Napravimo nekoliko testova s ​​kalkulatorom, dodajući još i više dodataka:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Što se više zbrojeva doda zbroju, rezultat više nalikuje e.

Matematičari su stvorili kompaktnu oznaku za ove zbroje koji uključuju mnoge izraze, koristeći simbol zbrajanja Σ:

Taj se izraz čita ovako "zbroj od n = 0 do beskonačnosti 1 između n faktora".

Broj e s geometrijskog stajališta

Broj e ima grafički prikaz vezan za područje ispod grafa krivulje:

y = 1 / x

Kad su vrijednosti x između 1 i e, ovo je područje jednako 1, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Slika 2. Grafički prikaz broja e: područje ispod krivulje 1 / x, između x = 1 i x = e vrijedi 1. Izvor: F. Zapata.

Svojstva broja e

Neka svojstva broja e su:

- To je iracionalno, drugim riječima, to se ne može dobiti jednostavno dijeljenjem dvaju cijelih brojeva.

- Broj e je i transcendentni broj, što znači da e nije rješenje nijedne polinomne jednadžbe.

- Povezano je s četiri druga poznata broja iz područja matematike, i to: π, i, 1 i 0, kroz Euler-ov identitet:

- Takozvani složeni brojevi mogu se izraziti putem e.

-To je osnova prirodnih ili prirodnih logaritama današnjeg vremena (izvorna definicija Johna Napiera malo se razlikuje).

-To je jedini broj takav da je njegov prirodni logaritam jednak 1, to je:

Prijave

Statistika

Broj e pojavljuje se vrlo često u polju vjerojatnosti i statistike, pojavljuje se u različitim distribucijama, poput normalnih ili Gaussovih, Poissonovih i drugih.

Inženjering

U inženjerstvu je čest, budući da je eksponencijalna funkcija y = e ^x prisutna, na primjer, u mehanici i elektromagnetizmu. Među mnogim aplikacijama možemo spomenuti:

- Kabel ili lanac koji visi za krajeve, poprima oblik krivulje koju daje:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

- U prvobitno ispražnjeni kondenzator C, koji je serijski spojen na otpornik R i izvor napona V za punjenje, dobiva određeni naboj Q kao funkciju vremena t datog od:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

biologija

Eksponencijalna funkcija y = Ae ^Bx, s konstantom A i B, koristi se za modeliranje rasta stanica i rasta bakterija.

fizička

U nuklearnoj fizici radioaktivno propadanje i određivanje starosti su modelirani radiokarbonskim datiranjem.

Ekonomija

Pri izračunavanju složenih kamata broj e nastaje prirodno.

Pretpostavimo da imate određenu količinu novca P _o ulagati uz kamatnu stopu od% u godini.

Ako ostavite novac 1 godinu, nakon tog vremena imat ćete:

Nakon još jedne godine, bez da je dodirnete, imat ćete:

I nastavljajući na ovaj način n godina:

Sad se sjetimo jedne od definicija e:

Izgleda pomalo kao izraz za P, pa mora postojati odnos.

Raspodijelit ćemo nominalnu kamatnu stopu i u n razdoblja, na taj način će složena kamata biti i / n:

Ovaj izraz djeluje malo više kao naša granica, ali još uvijek nije potpuno isti.

Međutim, nakon nekih algebričnih manipulacija može se pokazati da se tim promjenom varijable:

Naš novac P postaje:

A ono što je između zagrade, čak i ako je napisano slovom h, jednako je argumentu granice koja definira broj e, a nedostaje samo granica.

Napravimo h → ∞, a ono što je između zagrada postaje broj e. To ne znači da moramo povući beskrajno dugo da bismo povukli svoj novac.

Ako pogledamo izbliza, čineći h = n / i skloni to, ono što smo ustvari učinili je širenje kamatne stope kroz vrlo, vrlo mala razdoblja:

i = n / h

To se naziva kontinuiranim složenjima. U takvom se slučaju količina novca lako izračunava na sljedeći način:

Gdje sam godišnja kamatna stopa. Na primjer, kada polažete 12 eura u 9% godišnje, kontinuiranom kapitalizacijom, nakon jedne godine imate:

Uz dobit od 1,13 eura.

Reference

1. Uživajte u matematici. Složeni interes: Periodni sastav. Oporavilo od: užilasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Raznolika. CO-BO izdanja.
3. García, M. Broj e u elementarnom računu. Oporavak od: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Larson, R. 2010. Proračun varijable. 9.. Izdanje. McGraw Hill.