NASUMIČNO UZORKOVANJE: METODOLOGIJA, PREDNOSTI, NEDOSTACI, PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Slučajni uzorak je kako odabrati statistički reprezentativan uzorak iz dane populacije. Dio načela da svaki element u uzorku mora imati istu vjerojatnost odabira.

Crtež je primjer slučajnog uzorkovanja u kojem je svakom članu populacije sudionika dodijeljen broj. Za odabir brojeva koji odgovaraju nagradnim igrama (uzorak) koristi se neka slučajna tehnika, na primjer izvlačenje iz poštanskog sandučića brojeva koji su zapisani na identične kartice.

Slika 1. U slučajnom uzorkovanju, uzorak se uzima nasumično iz populacije pomoću neke tehnike koja osigurava da svi elementi imaju istu vjerojatnost odabira. Izvor: netquest.com.

Kod slučajnog uzorkovanja, bitno je odabrati veličinu uzorka na odgovarajući način, jer nereprezentativni uzorak populacije može dovesti do pogrešnih zaključaka, zbog statističkih fluktuacija.

Veličina uzorka

Postoje formule za određivanje odgovarajuće veličine uzorka. Najvažniji čimbenik koji treba razmotriti je poznavanje veličine stanovništva ili ne. Pogledajmo formule za određivanje veličine uzorka:

Slučaj 1: veličina stanovništva nije poznata

Kada veličina populacije N nije poznata, moguće je odabrati uzorak odgovarajuće veličine n da biste utvrdili je li određena hipoteza istinita ili netočna.

Za to se koristi sljedeća formula:

Gdje:

-p je vjerojatnost da je hipoteza istinita.

-q je vjerojatnost da nije, stoga je q = 1 - p.

-E je relativna granica pogreške, na primjer, pogreška 5% ima maržu E = 0,05.

-Z ima veze sa stupnjem povjerenja koji zahtijeva studija.

U standardiziranoj (ili normaliziranoj) normalnoj distribuciji, razina pouzdanosti od 90% ima Z = 1.645, jer vjerojatnost da je rezultat između -1.645σ i + 1.645σ je 90%, gdje je σ standardno odstupanje,

Razine pouzdanosti i njihove odgovarajuće Z vrijednosti

1.- 50% razina pouzdanosti odgovara Z = 0.675.

2.- 68,3% razina pouzdanosti odgovara Z = 1.

3.- 90% razina pouzdanosti jednaka je Z = 1.645.

4.- 95% razina pouzdanosti odgovara Z = 1,96

5.- 95.5% razina pouzdanosti odgovara Z = 2.

6.- 99.7% razina pouzdanosti jednaka je Z = 3.

Primjer u kojem se može primijeniti ova formula može biti u istraživanju za određivanje prosječne težine šljunkara na plaži.

Jasno je da nije moguće proučiti i odmjeriti sve šljunak na plaži, pa je preporučljivo izdvojiti uzorak što je moguće slučajnije i s odgovarajućim brojem elemenata.

Slika 2. Za proučavanje karakteristika šljunka na plaži potrebno je odabrati nasumični uzorak s reprezentativnim brojem istih. (Izvor: pixabay)

Slučaj 2: veličina stanovništva je poznata

Kada je poznat broj N elemenata koji čine određenu populaciju (ili svemir), ako želimo jednostavnim nasumičnim uzorkovanjem odabrati statistički značajan uzorak veličine n, to je formula:

Gdje:

-Z je koeficijent povezan s razinom pouzdanosti.

-p je vjerojatnost uspjeha hipoteze.

-q je vjerojatnost neuspjeha u hipotezi, p + q = 1.

-N je veličina ukupnog stanovništva.

-E je relativna pogreška rezultata ispitivanja.

Primjeri

Metodologija vađenja uzoraka uvelike ovisi o vrsti studije koju je potrebno obaviti. Stoga nasumično uzorkovanje ima neograničen broj primjena:

Ankete i upitnici

Na primjer, u telefonskim anketama ljudi s kojima se savjetuje biraju se pomoću generatora slučajnih brojeva, primjenjivih na regiju koja se proučava.

Ako želite primijeniti upitnik na zaposlenike velike tvrtke, tada možete pribjeći odabiru ispitanika putem broja zaposlenika ili osobne iskaznice.

Rečeni broj također se mora odabrati nasumično, koristeći primjerice generator slučajnih brojeva.

Slika 3. Upitnik se može primijeniti nasumičnim odabirom sudionika. Izvor: Pixabay.

QA

U slučaju da je studija na dijelovima proizvedenim od stroja, dijelovi se moraju odabrati nasumično, ali iz serija koje se proizvode u različito doba dana ili u različite dane ili tjedna.

Prednost

Jednostavno slučajno uzorkovanje:

- Omogućuje smanjenje troškova statističke studije, jer nije potrebno proučavati cjelokupnu populaciju kako bi se dobili statistički pouzdani rezultati, s željenim razinama pouzdanosti i razinom pogreške potrebne u istraživanju.

- Izbjegavajte pristranost: budući da je izbor elemenata koji se proučavaju potpuno slučajan, studija vjerno odražava karakteristike stanovništva, iako je proučen samo njegov dio.

Nedostaci

- Metoda nije prikladna u slučajevima kada želite znati postavke u različitim skupinama ili slojevima stanovništva.

U ovom je slučaju poželjno prethodno odrediti skupine ili segmente na kojima će se studija provoditi. Nakon što su definirani slojevi ili grupe, ako je prikladno za svaku od njih primijeniti nasumično uzorkovanje.

- Vrlo je malo vjerojatno da će se dobiti podaci o manjinskim sektorima, od kojih je ponekad potrebno znati njihove karakteristike.

Na primjer, ako se radi o kampanji na skupi proizvod, potrebno je znati sklonosti najbogatijih manjinskih sektora.

Vježba riješena

Želimo proučiti sklonost stanovništva prema određenom piću od kola, ali u ovoj populaciji ne postoji prethodna studija, čija je veličina nepoznata.

S druge strane, uzorak mora biti reprezentativan s minimalnom razinom pouzdanosti od 90%, a zaključci moraju imati postotak pogreške od 2%.

-Kako odrediti veličinu n uzorka?

- Kolika bi bila veličina uzorka ako je dopuštena pogreška 5%?

Riješenje

Kako je veličina populacije nepoznata, za utvrđivanje veličine uzorka koristi se gore navedena formula:

n = (Z ² p q) / (E ²)

Pretpostavljamo da postoji jednaka vjerojatnost sklonosti (p) za našu marku bezalkoholnih pića koja nema nikakvu preferenciju (q), pa je p = q = 0,5.

S druge strane, kako rezultat studije mora imati postotak pogreške manji od 2%, tada će relativna pogreška E biti 0,02.

Konačno, vrijednost Z = 1.645 stvara razinu pouzdanosti od 90%.

Rezimirajući, imamo sljedeće vrijednosti:

Z = 1.645

p = 0,5

q = 0,5

E = 0,02

Uz ove podatke, izračunava se minimalna veličina uzorka:

n = (1.645 ² 0.5 0.5) / (0.02 ²) = 1691.3

To znači da studija s potrebnom razlikom pogreške i odabranom razinom pouzdanosti mora imati uzorak ispitanika od najmanje 1692 osobe, odabranih jednostavnim slučajnim uzorkovanjem.

Ako krenete od pogreške 2% do 5%, nova veličina uzorka je:

n = (1.645 ² 0.5 0.5) / (0,05 ²) = 271

Što je značajno manji broj pojedinaca. Zaključno, veličina uzorka je vrlo osjetljiva na željenu granicu pogreške.

Reference

1. Berenson, M. 1985. Statistika za upravljanje i ekonomiju, pojmove i primjene. Uredništvo Interamericana.
2. Statistika. Slučajno uzorkovanje. Preuzeto sa: encyclopediaeconomica.com.
3. Statistika. Uzorkovanje. Oporavak od: Estadistica.mat.uson.mx.
4. Explorable. Slučajno uzorkovanje. Oporavilo sa: explorable.com.
5. Moore, D. 2005. Primijenjena osnovna statistika. 2.. Izdanje.
6. Netquest. Slučajno uzorkovanje. Oporavak od: netquest.com.
7. Wikipedia. Statističko uzorkovanje. Oporavilo sa: en.wikipedia.org