EULEROVA METODA: ČEMU SLUŽI, POSTUPAK I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Euler metoda je većina osnovnih i jednostavan proces koji se koriste kako bi pronašli numeričkih rješenja približne za obične diferencijalne jednadžbe iz prvog reda, pod uvjetom da početni uvjet je poznato.

Uobičajena diferencijalna jednadžba (ODE) je jednadžba koja povezuje nepoznatu funkciju pojedine neovisne varijable sa njenim derivatima.

Sukcesivne aproksimacije po Eulerovoj metodi. Izvor: Oleg Alexandrov

Ako je najveći derivat koji se pojavljuje u jednadžbi stupnja jedan, to je obična diferencijalna jednadžba prvog stupnja.

Najopćenitiji način za pisanje jednadžbe prvog stupnja je:

x = x ₀

y = y ₀

Koja je Eulerova metoda?

Ideja Eulerove metode je pronaći numeričko rješenje diferencijalne jednadžbe u intervalu između X ₀ i X _f.

Prvo se interval diskretira u n + 1 bodu:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

Koji se dobivaju ovako:

x _i = x ₀ + ih

Gdje je h širina ili korak podinvervala:

Uz početno stanje, tada je također moguće znati derivat na početku:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Ova izvedenica predstavlja nagib tangencijalne crte do krivulje funkcije y (x) točno u točki:

Ao = (x _o, y _o)

Tada se provodi približno predviđanje vrijednosti funkcije y (x) u sljedećoj točki:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Zatim je dobijena sljedeća približna točka rješenja koja bi odgovarala:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

Postupak se ponavlja kako bi se dobili uzastopni bodovi

A ₂, A ₃ …, x _n

Na slici prikazanoj na početku plava krivulja predstavlja točno rješenje diferencijalne jednadžbe, a crvena predstavlja uzastopne približne točke dobivene postupkom Euler.

Riješene vježbe

Vježba 1

I) Neka je jednadžba diferencijalne:

Uz početno stanje x = a = 0; i _a = 1

Koristeći Eulerovu metodu, pronađite približno rješenje y s koordinatom X = b = 0,5, a interval podijeli na n = 5 dijelova.

Riješenje

Brojčani rezultati sažeti su kako slijedi:

Iz čega se zaključuje da rješenje Y za vrijednost 0,5 iznosi 1,4481.

Napomena: Za izračun je korišten besplatni program za besplatnu upotrebu Smath Studio.

Vježba 2

II) Nastavljajući s diferencijalnom jednadžbom iz vježbe I), pronađite točno rješenje i usporedite ga s rezultatom dobivenim Eulerovom metodom. Pronađite pogrešku ili razliku između točnog i približnog rezultata.

Riješenje

Točno rješenje nije jako teško pronaći. Derivat funkcije sin (x) je poznata kao funkcija cos (x). Stoga će rješenje y (x) biti:

y (x) = sin x + C

Da bi se ispunio početni uvjet i (0) = 1, konstanta C mora biti jednaka 1. Točan rezultat tada se uspoređuje s približnim:

Zaključuje se da u izračunatom intervalu aproksimacija ima tri značajne brojke preciznosti.

Vježba 3

III) Razmotrimo diferencijalnu jednadžbu i njene početne uvjete dane u nastavku:

y '(x) = - y ²

Uz početno stanje x ₀ = 0; i ₀ = 1

Upotrijebite Eulerovu metodu da pronađete približne vrijednosti rješenja y (x) na intervalu x =. Koristite korak h = 0,1.

Riješenje

Eulerova metoda je vrlo pogodna za upotrebu s proračunskom tablicom. U ovom ćemo slučaju koristiti proračunsku tablicu Geogebra, besplatni program otvorenog koda.

Proračunska tablica na slici prikazuje tri stupca (A, B, C): prvi je varijabla x, drugi stupac predstavlja varijablu y, a treći stupac je izvedenica y '.

Redak 2 sadrži početne vrijednosti X, Y, Y '.

Vrijednost korak 0,1 postavljena je u ćeliju apsolutnog položaja ($ D $ 4).

Početna vrijednost y0 je u ćeliji B2, a y1 je u ćeliji B3. Za izračunavanje y ₁ koristi se formula:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Formula ove proračunske tablice bila bi broj B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Slično bi y2 bilo u ćeliji B4, a njegova formula je prikazana na sljedećoj slici:

Na slici je također prikazan graf točnog rješenja, te točke A, B,…, P približnoga rješenja po Eulerovoj metodi.

Newtonova dinamika i Eulerova metoda

Klasičnu dinamiku razvio je Isaac Newton (1643 - 1727). Izvorna motivacija Leonarda Eulera (1707. - 1783.) da razvije svoju metodu bila je upravo rješavanje jednadžbe Newtonovog drugog zakona u različitim fizičkim situacijama.

Newtonov drugi zakon obično se izražava kao diferencijalna jednadžba drugog stupnja:

Gdje x predstavlja položaj objekta u vremenu t. Rečeni objekt ima masu m i podvrgnut je sili F. Funkcija f povezana je sa silom i masom, kako slijedi:

Za primjenu Eulerove metode potrebne su početne vrijednosti vremena t, brzine v i položaja x.

Sljedeća tablica objašnjava kako se počevši od početnih vrijednosti t1, v1, x1 može dobiti aproksimacija brzine v2 i položaja x2, u trenutku t2 = t1 + Δt, gdje Δt predstavlja malo povećanje i odgovara koraku u metodi Euler.

Vježba 4

IV) Jedan od osnovnih problema mehanike je blok mase M vezan uz oprugu (ili oprugu) elastične konstante K.

Newtonov drugi zakon za ovaj problem izgledao bi ovako:

U ovom ćemo primjeru za jednostavnost uzeti M = 1 i K = 1. Pronađite približna rješenja za položaj x i brzinu v pomoću Eulerove metode na vremenski interval dijeleći interval na 12 dijelova.

Uzmite 0 kao početni trenutak, početnu brzinu 0 i početni položaj 1.

Riješenje

Brojčani rezultati prikazani su u sljedećoj tablici:

Prikazani su i grafikoni položaja i brzine između puta 0 i 1,44.

Predložene vježbe za dom

Vježba 1

Pomoću proračunske tablice odredite približno rješenje pomoću Eulerove metode za diferencijalnu jednadžbu:

y '= - Exp (-y) s početnim uvjetima x = 0, y = -1 u intervalu x =

Započnite s korakom od 0,1. Prikažite rezultat.

Vježba 2

Pomoću proračunske tablice pronađite numerička rješenja u sljedećoj kvadratnoj jednadžbi, gdje je y funkcija neovisne varijable t.

y '' = - 1 / y² s početnim uvjetom t = 0; i (0) = 0,5; y '(0) = 0

Pronađite rješenje u intervalu koristeći korak 0,05.

Iscrtajte rezultat: y vs t; y 'vs t

Reference

1. Eurlerova metoda Preuzeto sa wikipedia.org
2. Euler solver. Preuzeto sa en.smath.com