MORGAN ZAKONI - MATEMATIKA - 2025

Morganeve oči su pravila zaključivanja koja se koriste u propozicijskoj logici, a koja utvrđuju što je rezultat poricanja disjunkcije i spajanja propozicija ili prijedložnih varijabli. Te je zakone definirao matematičar Augustus De Morgan.

Morganovi zakoni predstavljaju vrlo koristan alat za dokazivanje valjanosti matematičkog rasuđivanja. Kasnije su generalizirani unutar koncepta skupa od matematičara Georgea Boolea.

Ova generalizacija koju je napravio Boole potpuno je ekvivalentna početnim Morganovim zakonima, ali razvijena je posebno za skupove, a ne za propozicije. Ova je generalizacija poznata i kao Morganovi zakoni.

Pregled logike prijedloga

Prije nego što razmotrimo što su konkretno Morganovi zakoni i kako se oni koriste, korisno je sjetiti se nekih osnovnih pojmova logike prijedloga. (Za više detalja pogledajte članak o prijedlozi logike).

U području matematičke (ili propozicijske) logike zaključak je zaključak koji je izdan iz skupa premisa ili hipoteza. Ovaj zaključak, zajedno s gore navedenim premisama, rađa ono što je poznato kao matematičko rasuđivanje.

Takvo obrazloženje mora biti vidljivo ili negirano; to jest, nisu sve zaključke ili zaključci u matematičkom rasuđivanju valjani.

Zabluda

Lažni zaključak napravljen iz određenih hipoteza za koje se pretpostavlja da su istinite poznat je kao zabluda. Zablude imaju osobinu toga što su argumenti koji se čine ispravnim, ali matematički nisu.

Propozicijska logika upravo je odgovorna za razvijanje i pružanje metoda pomoću kojih se, bez ikakve dvosmislenosti, matematičko obrazloženje može potvrditi ili opovrgnuti; to jest zaključiti na temelju valjanog zaključka. Te su metode poznate kao pravila zaključivanja od kojih su dio Morganovi zakoni.

propozicije

Bitni elementi logike prijedloga su propozicije. Propozicije su izjave za koje se može reći da su valjane ili ne, ali istovremeno ne mogu biti istinite ili lažne. U tom pitanju ne bi trebalo biti nikakvih nejasnoća.

Kao što se brojevi mogu kombinirati operacijama zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, tako se i prijedlozima može upravljati dobro poznatim logičkim vezama (ili veznicima): negacija (¬, „ne“), disjunkcija (V, "Ili"), veznik (Ʌ, "i"), uvjetno (→, "ako…, onda…") i dvokondiciono (↔, "ako i samo ako").

Radi općenitijeg rada, umjesto razmatranja određenih propozicija, razmatraju se prijedloge varijable koje predstavljaju bilo koje propozicije i obično se označavaju malim slovima p, q, r, s itd.

Formula prijedloga kombinacija je varijabli prijedloga pomoću nekih logičkih veza. Drugim riječima, to je sastav prijedloga varijabli. Obično su označeni grčkim slovima.

Kaže se da formula prijedloga logično podrazumijeva drugu kad je druga istinita svaki put kad je prva istina. To je označeno sa:

Kad je logička implikacija između dvije propozicijske formule recipročna - to jest, kad je i prethodna implikacija također valjana u suprotnom smislu -, formule se kažu da su logički ekvivalentne i označavaju ih s

Logička ekvivalencija svojevrsna je jednakost između formula prijedloga i omogućava da se jedna zamijeni drugom, kad je to potrebno.

Morganovi zakoni

Morganovi zakoni sastoje se od dvije logičke jednakovrijednosti dvaju prijedloških oblika, naime:

Ovi zakoni omogućuju razdvajanje negacije disjunkcije ili konjukcije, kao negacije uključenih varijabli.

Prvo se može pročitati na sljedeći način: negacija disjunkcije jednaka je konjunkciji negacija. A drugi glasi ovako: negacija konjunkcije je disjunkcija negacija.

Drugim riječima, poricanje disjunkcije dviju propozicijskih varijabli ekvivalentno je spoju negacija obje varijable. Isto tako, nijekanje povezanosti dviju propozicijskih varijabli ekvivalentno je disjunkciji negacija obje varijable.

Kao što je spomenuto ranije, supstitucija ove logičke ekvivalencije pomaže u dokazivanju važnih rezultata, zajedno s ostalim postojećim pravilima zaključivanja. Pomoću njih možete pojednostaviti mnoge formule prijedloga tako da su korisnije za rad.

Slijedi primjer matematičkog dokaza koji koristi pravila zaključivanja, uključujući Morganove zakone. Konkretno, pokazano je da formula:

To je ekvivalentno:

Potonji je jednostavniji za razumijevanje i razvoj.

Demonstracija

Vrijedno je spomenuti da se valjanost Morganovih zakona može matematički pokazati. Jedan je način usporedbom tablica istine.

setovi

Ista pravila zaključivanja i pojmovi logike primijenjeni na propozicije također se mogu razviti s obzirom na skupove. To je ono što je poznato kao Booleova algebra, nakon matematičara Georgea Boolea.

Da biste razlikovali slučajeve, potrebno je promijeniti notaciju i prenijeti na skupove, sve već viđene predodžbe logike prijedloga.

Skup je zbirka predmeta. Skupovi su označeni velikim slovima A, B, C, X,…, a elementi skupa označeni su malim slovima a, b, c, x, itd. Kad element a pripada skupu X, označava ga:

Kad ne pripada X, notacija je:

Način predstavljanja skupova je postavljanje njihovih elemenata u zagrade. Na primjer, skup prirodnih brojeva predstavljen je:

Kompleti se mogu predstavljati i bez pisanja eksplicitnog popisa njihovih elemenata. Mogu se izraziti u obliku {:}. Debelo crijevo se čita „takvo što“. Lijevo od dviju točaka postavlja se varijabla koja predstavlja elemente skupa, a s desne strane se postavlja svojstvo ili uvjet koji oni zadovoljavaju. Ovo je:

Na primjer, skup cijelih brojeva većih od -4 može se izraziti kao:

Ili jednako slično i skraćeno kao:

Slično tome, sljedeći izrazi predstavljaju skupove neparnih i parnih brojeva, respektivno:

Spoj, sjecište i komplementi skupova

Zatim ćemo vidjeti analoge logičkih veza u slučaju skupova koji su dio osnovnih operacija između skupova.

Unija i raskrižje

Spoj i sjecište skupova su definirani, kako slijedi:

Na primjer, uzmite u obzir skupove:

Dakle, morate:

Upotpuniti, dopuna

Komplement kompleta tvori se elementima koji ne pripadaju navedenom skupu (istog tipa koji predstavlja original). Komplement skupa A označen je sa:

Na primjer, unutar prirodnih brojeva, nadopuna skupa parnih brojeva je neparnih brojeva, i obrnuto.

Da biste odredili komplement skupa, univerzalni ili glavni skup elemenata koji se razmatraju mora biti jasan od početka. Na primjer, nije isto smatrati nadopunu skupa nad prirodnim brojevima kao nad racionalnim brojevima.

Sljedeća tablica prikazuje odnos ili analogiju koja postoji između operacija na prethodno definiranim skupovima i poveznica prijedloške logike:

Morganovi zakoni za setove

Konačno, Morganovi zakoni o skupovima su:

Riječima: komplement sjedinjenja je sjecište komplemenata, a sloj sjecišta je unija komplemenata.

Matematički dokaz prve jednakosti bio bi sljedeći:

Dokaz drugog je analogan.

Reference

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Uredništvo Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logika, skupovi i brojevi. Mérida - Venezuela: Vijeće za publikacije, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod u teoriju brojeva. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj brojeva. Sjeverno sveučilište.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kako razviti matematičko logičko obrazloženje. Sveučilišna izdavačka kuća.
6. Guevara, MH (drugi). Teorija brojeva. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Teorija brojeva Urednička vizija Libros.