ZAKONI EKSPONATA (S PRIMJERIMA I RIJEŠENIM VJEŽBAMA) - MATEMATIKA - 2026

Na zakoni eksponenti su oni koji se primjenjuju na taj broj koji pokazuje koliko puta je broj baze mora biti pomnožen sebe. Eksponenti su također poznati kao sile. Osnaživanje je matematička operacija koju formiraju baza (a), eksponent (m) i snaga (b), što je rezultat operacije.

Eksponenti se općenito koriste kada se koriste vrlo velike količine, jer to nisu ništa drugo nego kratice koje predstavljaju množenje istog broja u određenom iznosu. Izloženi mogu biti i pozitivni i negativni.

Objašnjenje zakona eksponenata

Kao što je ranije rečeno, eksponenti su oblik skraćenja koji predstavlja množenje brojeva po sebi više puta, pri čemu se eksponent odnosi samo na broj s lijeve strane. Na primjer:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

U tom slučaju broj 2 je baza snage koja će se pomnožiti 3 puta, kao što pokazuje eksponent, a nalazi se u gornjem desnom kutu baze. Postoje različiti načini čitanja izraza: 2 podignuta na 3 ili također 2 podignuta na kocku.

Eksponenti označavaju i koliko ih se puta može podijeliti, a za razlikovanje ove operacije od množenja eksponent ima pred sobom znak minus (-) (negativan je), što znači da je eksponent u nazivniku od frakcija. Na primjer:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

To se ne smije miješati sa slučajem kada je baza negativna, jer će ovisiti o tome da li je eksponent paran ili neparan kako bi se utvrdilo hoće li snaga biti pozitivna ili negativna. Dakle, morate:

- Ako je eksponent jednak, snaga će biti pozitivna. Na primjer:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Ako je eksponent neparan, snaga će biti negativna. Na primjer:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Postoji poseban slučaj u kojem je, ako je eksponent jednak 0, snaga jednaka 1. Također postoji mogućnost da je baza 0; u tom slučaju, ovisno o eksponentu, snaga će biti neodređena ili ne.

Za obavljanje matematičkih operacija s eksponentima potrebno je slijediti nekoliko pravila ili normi koje olakšavaju pronalazak rješenja tih operacija.

Prvi zakon: snaga eksponenta jednaka 1

Kad je eksponent jednak, rezultat će biti ista vrijednost baze: a ¹ = a.

Primjeri

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Drugi zakon: snaga eksponenta jednaka 0

Kad je eksponent jednak 0, ako je baza jednaka nuli, rezultat će biti: a ⁰ = 1.

Primjeri

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Treći zakon: negativan eksponent

Budući da je exponte negativan, rezultat će biti ulomak, gdje će snaga biti nazivnik. Na primjer, ako je m pozitivan, tada je a ^-m = 1 / a ^m.

Primjeri

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Četvrti zakon: umnožavanje moći s jednakom bazom

Pomnožiti snage u kojima su baze jednake i različite od 0, ostaje baza i dodaju se eksponenti: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

Primjeri

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Peti zakon: podjela vlasti s jednakom bazom

Da bismo podijelili snage u kojima su baze jednake i različite od 0, zadržava se baza i oduzimaju se eksponenti kako slijedi: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

Primjeri

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹.

- 6 ^{od 15} /6 ^listopad = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49 ^prosinca / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

Šesti zakon: umnožavanje moći s različitim osnovama

Ovaj zakon ima suprotno onome što je izraženo u četvrtom; to jest, ako imate različite baze, ali s istim eksponentima, baze se množe i eksponent se zadržava: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

Primjeri

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Drugi način predstavljanja ovog zakona je kada se množenje poveća na snagu. Dakle, eksponent će pripadati svakom od izraza: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

Primjeri

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Sedmi zakon: podjela vlasti s različitim osnovama

Ako imate različite baze, ali s istim eksponentima, podijelite osnove i zadržite eksponent: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

Primjeri

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ / čak 80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴.

Slično tome, kada se podjela podigne na neku snagu, eksponent će pripadati u svakom od izraza: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

Primjeri

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Postoji slučaj gdje je eksponent negativan. Zatim, da bude pozitivna, vrijednost brojnika je obrnuta s vrijednošću nazivnika, kako slijedi:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 -(5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Osmi zakon: snaga sile

Kad imate snagu koja se podiže na drugu snagu - to su dvije eksponenta istovremeno -, baza se održava i eksponenti se množe: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

Primjeri

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Deveti zakon: frakcijski eksponent

Ako snaga ima ulomak kao eksponent, to se rješava pretvarajući je u n-ti korijen, pri čemu brojač ostaje kao eksponent, a nazivnik predstavlja indeks korijena:

Primjer

Riješene vježbe

Vježba 1

Izračunajte operacije između moći koje imaju različite baze:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Riješenje

Primjenjujući pravila eksponenata, baze se množe u brojaču, a eksponent održava, ovako:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Sada, budući da imamo iste baze, ali s različitim eksponentima, baza se čuva i eksponenti oduzimaju:

8 ⁴ /8 ² -8 ^(4-2) = 8 ²

Vježba 2

Izračunajte operacije između moći podignutih na drugu snagu:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Riješenje

Primjenjujući zakone, morate:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Reference

1. Aponte, G. (1998). Osnove osnovne matematike. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika koja se primjenjuje u svakodnevnom životu.
3. Jiménez, JR (2009). Matematika 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra i trigonometrija.
5. Rees, PK (1986). Reverte.