KEPLEROVI ZAKONI: OBJAŠNJENJE, VJEŽBE, EKSPERIMENT - FIZIČKA - 2024

U Kepler „s zakone gibanja planeta izradio njemački astronom Johannes Kepler (1571-1630). Kepler ih je zaključio na osnovu djela svog učitelja danskog astronoma Ticha Brahea (1546.-1601.).

Brahe je pažljivo sakupljao podatke o kretanju planeta tijekom više od 20 godina, s iznenađujućom preciznošću i preciznošću, smatrajući da u to vrijeme teleskop još nije bio izumljen. Valjanost vaših podataka ostaje na snazi ​​i danas.

Slika 1. Orbita planeta prema Keplerovim zakonima. Izvor: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Keplerove tri zakona

Keplerovi zakoni glase:

-Prvi zakon: sve planete opisuju eliptične orbite sa Suncem u jednom od žarišta.

To znači da je omjer T ² / R ³ je ista za sve planete, što ga čini moguće izračunati orbitalne radijus, ako je orbitalni period je poznat.

Kad je T izražen u godinama i r u astronomskim jedinicama AU *, konstanta proporcionalnosti je k = 1:

* Astronomska jedinica iznosi 150 milijuna kilometara, što je prosječna udaljenost između Zemlje i Sunca. Zemljino orbitalno razdoblje je 1 godina.

Zakon univerzalne gravitacije i Keplerov treći zakon

Univerzalni zakon gravitacije kaže da je veličina gravitacijske sile privlačenja između dva objekta mase M odnosno m, čija su središta razdvojena razmakom r, dana:

G je univerzalna konstanta gravitacije i njena vrijednost je G = 6.674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ².

Sada su orbite planeta eliptične s vrlo malim ekscentričnošću.

To znači da orbita nije jako udaljena od obima, osim u nekim slučajevima poput patuljastog planeta Plutona. Ako približimo orbite kružnom obliku, ubrzanje kretanja planeta je:

Budući da je F = ma, imamo:

Ovdje je v linearna brzina planeta oko Sunca, pretpostavljena statička i mase M, dok je ona planeta m. Tako:

To objašnjava da planete udaljenije od Sunca imaju manju orbitalnu brzinu, jer to ovisi o 1 / √r.

Budući da je udaljenost kojom planet putuje približno duljina obima: L = 2πr i potrebno je vrijeme jednako T, orbitalnom razdoblju, dobivamo:

Izjednačavanjem oba izraze za v daje važeće izraz za T ², kvadratu orbitalnog perioda:

A to je upravo Kepler treći pravo, budući da se u ovom izrazu Zagrade 4π ² / GM konstantna, zato T ² proporcionalna udaljenosti r kubu.

Definitivna jednadžba za orbitalno razdoblje dobiva se uzimajući kvadratni korijen:

Slika 3. Afelij i perihelion. Izvor: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public domain

Stoga u Keplerovom trećem zakonu zamjenjujemo r koji rezultira Halleyem u:

Rješenje b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Eksperiment

Analiza kretanja planeta zahtijeva tjedne, mjesece, pa čak i godine pažljivog promatranja i snimanja. Ali u laboratoriju se može provesti vrlo jednostavan eksperiment na vrlo jednostavnoj skali kako bi se dokazalo da vrijedi Keplerov zakon jednakih područja.

To zahtijeva fizički sustav u kojem je središnja sila koja upravlja kretanjem, dovoljan uvjet da se mora ispuniti zakon područja. Takav sustav sastoji se od mase vezane dugačkim konopom, s drugim krajem navoja pričvršćenim na podupiranje.

Masa se pomiče malim kutom od svog ravnotežnog položaja i daje joj lagani impuls, tako da izvršava ovalno (gotovo eliptično) kretanje u vodoravnoj ravnini, kao da je planet oko Sunca.

Na krivulji opisanoj klatnom možemo dokazati da pomiče jednaka područja u jednakim vremenima, ako:

-Razumijevamo vektorske radijuse koji idu od središta privlačenja (početne točke ravnoteže) do položaja mase.

- I pomesti se između dva uzastopna trenutka jednakog trajanja, u dva različita područja pokreta.

Što je dulji niže nizak i manji je kut od vertikale, neto obnavljajuća sila bit će horizontalnija, a simulacija nalikuje slučaju kretanja sa središnjom silom u ravnini.

Tada se opisani oval približava elipsi, poput one kojom planete putuju.

materijali

-Nerastegljiv konac

-1 masa ili metalna kuglica obojena bijelom bojom koja djeluje kao klatno klatna

-Vladar

-Conveyor

-Fotografska kamera s automatskim strobo diskom

-Podržava

- Dva izvora rasvjete

-Prvi crni papir ili karton

Postupak

Sastavljanje figure potrebno je za fotografiranje višestrukih bljeskova klatna dok slijedi njegov put. Za to morate staviti kameru iznad klatna i automatski strobo disk ispred objektiva.

Slika 4. Sastavljanje klatna kako bi se provjerilo da li u jednakim vremenima pomiče jednaka područja. Izvor: Vodič za laboratorij PSSC.

Na taj se način slike dobivaju u pravilnim vremenskim intervalima klatna, na primjer svakih 0,1 ili svakih 0,2 sekunde, što nam omogućava da znamo koliko je vremena trebalo da se prebaci s jedne točke na drugu.

Također morate pravilno osvijetliti masu klatna, postavljajući svjetla s obje strane. Leća bi trebala biti obojena bijelo kako bi se poboljšao kontrast pozadine, koji se sastoji od crnog papira raširenog po zemlji.

Sada morate provjeriti da klatno pomiče jednaka područja u jednakim vremenima. Da biste to učinili, odabran je vremenski interval, a točke zauzete klatnom u tom intervalu označene su na papiru.

Na slici je nacrtana crta od središta ovala do ovih točaka, pa ćemo prvo imati neko područje prekriveno klatnom, što je približno eliptični sektor poput onoga prikazanog u nastavku:

Slika 5. Područje eliptičnog sektora. Izvor: F. Zapata.

Proračun površine eliptičnog presjeka

Pomoću traktora mjerimo kutove θ _o i θ ₁, a ta se formula koristi za pronalaženje S, područja eliptičnog sektora:

Sa F (θ) danim u:

Imajte na umu da su a i b glavne i manje polu-osi. Čitatelj se mora brinuti samo pažljivo izmjeriti poluosovine i kutove, jer postoje kalkulatori na mreži za lako vrednovanje ovog izraza.

Međutim, ako inzistirate da izračun napravite ručno, imajte na umu da se kut θ mjeri u stupnjevima, ali kad unosite podatke u kalkulator, vrijednosti se moraju iskazati u radijanima.

Zatim morate označiti još jedan par točaka u kojem je klatno preokrenuto u istom vremenskom intervalu i nacrtati odgovarajuće područje izračunavajući njegovu vrijednost istim postupkom.

Provjera zakona jednakih područja

Na kraju, ostaje provjeriti je li ispunjen zakon područja, odnosno da se jednaka područja brišu u jednakim vremenima.

Odstupaju li rezultati pomalo od očekivanih? Uvijek treba imati na umu da su sva mjerenja popraćena njihovim eksperimentalnim pogreškama.

Reference

1. Keisan Online Kalkulator. Područje kalkulatora eliptičnog sektora. Oporavilo sa: keisan.casio.com.
2. Openstax. Keplerov zakon planetarnog kretanja. Oporavak od: openstax.org.
3. PSSC. Laboratorijska fizika. Uredništvo Reverté. Oporavak od: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomija. Serija Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez R. Jednostavan sustav sa središnjom silom. Oporavilo od: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, tri Kegerova zakona D. gibanja planeta. Oporavak od: phy6.org.