MATEMATIČKA LOGIKA: PODRIJETLO, ONO ŠTO PROUČAVA, VRSTE - MATEMATIKA - 2025

Matematička logika ili simbolička logika je matematički jezik koji obuhvaća alate putem kojih se može potvrditi ili odbiti matematički rasuđivanje.

Poznato je da u matematici nema nejasnoća. S obzirom na matematički argument, vrijedi ili jednostavno nije. Ne može istovremeno biti neistinita i istinita.

Poseban aspekt matematike je taj što on ima formalni i strogi jezik kojim se može utvrditi valjanost argumenta. Što je to što određeno obrazloženje ili bilo koji matematički dokaz čini nepobitnim? To je zapravo matematička logika.

Dakle, logika je matematička disciplina koja je odgovorna za proučavanje matematičkog obrazloženja i dokaza i pružanje alata koji mogu izvesti točan zaključak iz prethodnih izjava ili prijedloga.

Da biste to učinili, koriste se aksiomi i drugi matematički aspekti koji će se razviti kasnije.

Podrijetlo i povijest

Točni datumi s obzirom na mnoge aspekte matematičke logike nisu sigurni. Međutim, većina bibliografija o ovoj temi prati njezino podrijetlo od antičke Grčke.

Aristotel

Početak rigoroznog postupanja s logikom dijelom se pripisuje Aristotelu, koji je napisao niz logičkih djela koja su kasnije do srednjeg vijeka sastavili i razvili različiti filozofi i znanstvenici. To bi se moglo smatrati "starom logikom".

Kasnije, u ono što je poznato kao suvremeno doba, Leibniz, pokrenuto dubokom željom za uspostavom univerzalnog jezika za matematičko razmišljanje i drugi matematičari, poput Gottlob Frege i Giuseppe Peano, znatno su utjecali na razvoj matematičke logike s velikim doprinosima, među njima i Peano Aksiomi koji formuliraju nezamjenjiva svojstva prirodnih brojeva.

Matematičari George Boole i Georg Cantor također su bili od velikog utjecaja u ovo vrijeme, s važnim doprinosima u tablicama skupa i teorije istine, ističući, između ostalih aspekata, Booleovu algebru (George Boole) i Axiom of Choice (autor George Cantor).

Tu su i Augustus De Morgan s poznatim Morganovim zakonima, koji razmatraju negacije, konjunkcije, disjunkcije i uvjetovanja između prijedloga, ključeve za razvoj simboličke logike, i Jhon Venn s poznatim Vennovim dijagramima.

U 20. stoljeću, otprilike između 1910. i 1913., Bertrand Russell i Alfred North Whitehead ističu se svojim objavljivanjem Principia mathematica, skupom knjiga koje sakuplja, razvija i postulira niz aksioma i rezultata logike.

Što proučava matematička logika?

propozicije

Matematička logika započinje proučavanjem propozicija. Prijedlog je izjava koja se može reći bez dvosmislenosti je li istinita ili nije. Slijede primjeri prijedloga:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• 1930. godine u Europi je došlo do potresa.

Prva je istinita izjava, a druga lažna. Treće, iako osoba koja ga čita možda ne zna je li to istina ili je odmah, izjava koja se može testirati i utvrditi je li se to zaista dogodilo.

Slijede primjeri izraza koji nisu propozicije:

• Plavuša je.
• 2x = 6.
• Igrajmo se!
• Voliš li filmove

U prvom prijedlogu nije navedeno tko je ona, stoga se ništa ne može potvrditi. U drugom prijedlogu, što "x" predstavlja nije određeno. Ako bi se umjesto toga reklo da je 2x = 6 za neki prirodni broj x, u ovom slučaju to bi odgovaralo prijedlogu, u stvari je istina, jer je za x = 3 ispunjeno.

Posljednje dvije izjave ne odgovaraju prijedlogu, jer ne postoji način da ih negiraju ili potvrde.

Dvije ili više prijedloga mogu se kombinirati (ili povezati) pomoću dobro poznatih logičkih veza (ili priključaka). Ovi su:

• Poricanje: "Ne pada kiša."
• Preklapanje: "Luisa je kupila bijelu ili sivu vreću."
• Spoj: "4 ² = 16 i 2 × 5 = 10".
• Uvjetno: "Ako pada kiša, ne idem danas u teretanu."
• Bikondicionalno: "Danas popodne idem u teretanu, i samo ako ne pada kiša."

Prijedlog koji nema nijedan od prethodnih spojeva naziva se jednostavnim (ili atomskim) prijedlogom. Na primjer, "2 je manje od 4" jednostavan je prijedlog. Prijedlozi koji imaju neke spojne nazive nazivaju se složenim propozicijama, kao što je "1 + 3 = 4 i 4 je parni broj."

Izjave date prijedlozima obično su duge, pa je dosadno pisati ih kao što je dosad vidljivo. Iz tog razloga se koristi simbolički jezik. Prijedlozi su obično predstavljeni velikim slovima kao što su P, Q, R, S, itd. A simboličke poveznice kako slijedi:

Tako da

Razgovarati o uvjetnom prijedlog

je prijedlog

I suprotan uzajamni (ili kontrapozitivni) prijedlog

je prijedlog

Tablice istine

Drugi važan koncept u logici je tajnost tablica. Vrijednosti prijedloga su dvije mogućnosti prijedloga: istinita (koja će biti označena s V i reći će da je njena vrijednost istine V) ili lažna (koja će biti označena s F i reći će da je njena vrijednost stvarno je F).

Vrijednost složenog prijedloga ovisi isključivo o vrijednostima istine jednostavnih prijedloga koji se u njemu pojavljuju.

Da bismo općenitije radili, nećemo razmatrati posebne propozicije, već prijedloge varijable p, q, r, s, itd., Koje će predstavljati bilo koje propozicije.

Pomoću ovih varijabli i logičke poveznice formiraju se poznate propozicijske formule, baš kao što se grade i složene propozicije.

Ako se svaka od varijabli koje se pojavljuju u prijedloškoj formuli zamijeni prijedlogom, dobiva se složen prijedlog.

Ispod su tablice istine za logičke poveznice:

Postoje propozicijske formule koje u svojoj tablici istine primaju samo vrijednost V, to jest, posljednji stupac tablice njihove istine ima samo vrijednost V. Ove vrste formula poznate su kao tautologije. Na primjer:

Slijedi tablica istine formule

Za formulu α se kaže da logično podrazumijeva drugu formulu β, ako je α istina svaki put kad je β istinita. To jest, u tablici istine α i β, redovi gdje α ima V, β također imaju V. Zanimaju nas samo redovi u kojima α ima vrijednost V. Notacija za logičku implikaciju je sljedeća:

Sljedeća tablica sažima svojstva logičke implikacije:

Kaže se da su dvije formule prijedloga logički jednake ako su njihove tablice istine identične. Sljedeća nota koristi se za izražavanje logičke ekvivalencije:

Sljedeće tablice rezimiraju svojstva logičke ekvivalencije:

Vrste matematičke logike

Postoje različite vrste logike, posebno ako se uzme u obzir pragmatična ili neformalna logika koja ukazuje na filozofiju, između ostalih područja.

Što se matematike tiče, vrste logike mogu se sažeti kao:

• Formalna ili aristotelovska logika (drevna logika).
• Propoziciona logika: odgovorna je za proučavanje svega što se odnosi na valjanost argumenata i prijedloga koristeći formalni i simbolički jezik.
• Simbolička logika: usredotočena je na proučavanje skupova i njihovih svojstava, također formalnim i simboličkim jezikom, i duboko je povezana s propozicijskom logikom.
• Kombinatorička logika: jedna od najnovijih razvijenih, uključuje rezultate koji se mogu razviti pomoću algoritama.
• Logičko programiranje: koristi se u različitim paketima i programskim jezicima.

područja

Među područjima koja koriste matematičku logiku na neophodan način u razvoju svojih rezonovanja i argumenata, ističu se filozofija, teorija skupova, teorija brojeva, algebarska konstruktivna matematika i programski jezici.

Reference

1. Aylwin, CU (2011). Logika, skupovi i brojevi. Mérida - Venezuela: Vijeće za publikacije, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Uvod u teoriju brojeva. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Osnovni tečaj brojeva. Sjeverno sveučilište.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kako razviti matematičko logičko obrazloženje. Sveučilišna izdavačka kuća.
5. Zaragoza, AC (sf). Teorija brojeva Urednička vizija Libros.