Linearna interpolacija je metoda koja potječe opće Newton interpolacije i usklađivanje kako bi se utvrdilo za nepoznatog vrijednosti koja je između dviju danih brojeva; to jest, pronađena je srednja vrijednost. Primjenjuje se i na približne funkcije, gdje su vrijednosti f (a) i f (b) poznate i želimo znati intermedijere f (x).
Postoje različite vrste interpolacije kao što su linearna, kvadratna, kubična i viših stupnjeva, a najjednostavnija je linearna aproksimacija. Cijena koja se mora platiti linearnom interpolacijom je da rezultat neće biti točan kao s aproksimacijama koristeći funkcije viših stupnjeva.
Definicija
Linearna interpolacija je proces koji vam omogućuje da izvučete vrijednost između dvije dobro definirane vrijednosti, koje mogu biti u tablici ili u linijskom grafikonu.
Na primjer, ako znate da 3 litre mlijeka vrijede 4 dolara, a 5 litara 7 dolara, ali želite znati koja je vrijednost 4 litre mlijeka, interpolirate kako biste odredili tu srednju vrijednost.
način
Da bi se procijenila intermedijarna vrijednost funkcije, funkcija f (x) se aproksimira pomoću crte r (x), što znači da funkcija linearno varira s «x» za odjeljke «x = a» i «x = b "; to jest, za vrijednost "x" u intervalu (x 0, x 1) i (y 0, y 1), vrijednost "y" dana je linijom između točaka i izražena je sljedećim odnosom:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Da bi interpolacija bila linearna, polinom interpolacije mora biti stupnja jedan (n = 1), tako da odgovara vrijednostima x 0 i x 1.
Linearna interpolacija temelji se na sličnosti trokuta, na način da se, geometrijski proizlazeći iz prethodnog izraza, može dobiti vrijednost "y", što predstavlja nepoznatu vrijednost za "x".
Na taj način morate:
a = tan Ɵ = (suprotna noga 1 ÷ susjedna noga 1) = (suprotna noga 2 ÷ susjedna noga 2)
Izraženo na drugi način, to je:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Rješavajući za izraze «i» iz izraza, imamo:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Tako se dobiva opća jednadžba linearne interpolacije:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Općenito, linearna interpolacija daje malu grešku u stvarnoj vrijednosti prave funkcije, iako je greška minimalna u usporedbi s intuitivno odabirom broja koji je blizak onome koji želite pronaći.
Ova se pogreška događa kada pokušavamo približiti vrijednost krivulje ravno pravom; U tim se slučajevima veličina intervala mora smanjiti kako bi se približavanje učinilo preciznijim.
Za bolje rezultate u vezi s aproksimacijom, prikladno je koristiti funkcije stupnja 2, 3 ili čak više stupnjeva za obavljanje interpolacije. U tim je slučajevima Taylorova teorema vrlo koristan alat.
Riješene vježbe
Vježba 1
U sljedećoj tablici prikazan je broj bakterija po jedinici volumena koji postoji u inkubaciji nakon x sati. Želite znati koliki je volumen bakterija u vremenu od 3,5 sata.
Riješenje
Referentna tablica ne uspostavlja vrijednost koja pokazuje količinu bakterija u vremenu od 3,5 sata, ali postoje gornje i donje vrijednosti koje odgovaraju vremenu od 3 odnosno 4 sata. Onuda:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 i 1 = 135
Sada se primjenjuje matematička jednadžba radi pronalaženja interpolirane vrijednosti, koja je sljedeća:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Tada se odgovarajuće vrijednosti zamjenjuju:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Tako se dobiva da za vrijeme 3,5 sati, broj bakterija je 113, što predstavlja međuprostoru između volumena bakterija koje su postojale u vremenu od 3 do 4 sata.
Vježba 2
Luis ima tvornicu sladoleda i želi napraviti studiju kako bi utvrdio prihod koji je imao u kolovozu na temelju ostvarenih troškova. Administrator tvrtke pravi grafikon koji izražava ovaj odnos, ali Luis želi znati:
Koliki je prihod za kolovoz, ako je napravljen trošak u iznosu od 55 000 dolara?
Riješenje
Daje se grafikon s vrijednostima prihoda i rashoda. Luis želi znati koliki su prihodi za kolovoz ako je tvornica imala trošak od 55.000 dolara. Ova vrijednost nije izravno prikazana na grafikonu, ali su vrijednosti veće i niže od ove.
Prvo se izrađuje tablica u kojoj se lako mogu povezati vrijednosti:
Sada se koristi interpolacijska formula kako bi se odredila vrijednost y
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Tada se odgovarajuće vrijednosti zamjenjuju:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0.588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 $.
Ako je u kolovozu napravljen rashod od 55 000 dolara, prihod je iznosio 68 936 dolara.
Reference
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Teme iz teorije geometrijskih grupa. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linearna interpolacija ", Enciklopedija matematike.
- , JM (1998). Elementi numeričkih metoda za inženjering. UASLP.
- , E. (2002). Hronologija interpolacije: od drevne astronomije do moderne obrade signala i slike. Zbornik IEEE.
- brojčani, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.