PITAGOREJSKI IDENTITETI: DEMONSTRACIJA, PRIMJER, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Pitagorejski identiteti su sve trigonometrijske jednadžbe koje vrijede za bilo koju vrijednost kuta i temelje se na pitagorejskom teoremu. Najpoznatiji pitagorejski identitet je temeljni trigonometrijski identitet:

Grijeh ² (α) + Cos ² (α) = 1

Slika 1. Pitagorejski trigonometrijski identiteti.

Sljedeće po značaju i koristim pitagorejski identitet tangente i sekante:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

A pitagorovski trigonometrijski identitet koji uključuje kotangens i kosecant:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstracija

Trigonometrijski omjeri sinus i kosinus prikazani su u krugu radijusa jedan (1), poznatom kao trigonometrijski krug. Rečeni krug ima svoje središte na početku koordinata O.

Kutovi se mjere od pozitivne poluosi Xs, na primjer kut α na slici 2 (vidi dolje). Suprotno od kazaljke na satu ako je kut pozitivan, a u smjeru kazaljke na satu ako je negativni kut.

Nacrtana je zraka s ishodištem O i kutom α, koja presijeca jedinični krug u točki P. Točka P projicirana je pravokutno na vodoravnoj osi X tako da dolazi do točke C. Slično se P projicira okomito na okomitu os Y, dajući mjesto za točku S.

Imamo pravi trokut OCP na C.

Sinus i kosinus

Treba imati na umu da je sinus trigonometrijskog omjera definiran na pravom trokutu kako slijedi:

Sine nagiba trokuta je omjer ili kvocijent između noge suprotne kutu i hipotenuze trokuta.

Primijenjeno na trokut OCP na slici 2 izgledao bi ovako:

Sen (α) = CP / OP

ali CP = OS i OP = 1, tako da:

Sen (α) = OS

Što znači da OS projekcije na osi Y ima vrijednost jednaku sinusu prikazanog kuta. Treba napomenuti da se maksimalna vrijednost sinusa kuta (+1) događa kada je α = 90º, a minimalna (-1) kada je α = -90º ili α = 270º.

Slika 2. Trigonometrijski krug koji prikazuje odnos pitagorejskog teorema i temeljnog trigonometrijskog identiteta. (Vlastita obrada)

Slično tome, kosinus kutnog kvocijenta je kvocijent između noge koja se nalazi uz kut i hipotenuze trokuta.

Primijenjeno na trokut OCP na slici 2 izgledao bi ovako:

Cos (α) = OC / OP

ali OP = 1, tako da:

Cos (α) = OC

To znači da projekcija OC na X osi ima vrijednost jednaku sinusu prikazanog kuta. Treba napomenuti da se maksimalna vrijednost kosinusa (+1) događa kada je α = 0º ili α = 360º, dok je najmanja vrijednost kosinusa (-1) kada je α = 180º.

Temeljni identitet

Za desni trokut OCP u C primjenjuje se pitagorejski teorem koji kaže da je zbroj kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze:

CP ² + OC ² = OP ²

Ali već je rečeno da je CP = OS = Sen (α), da je OC = Cos (α) i da je OP = 1, pa se prethodni izraz može prepisati kao funkcija sinusa i kosinusa kuta:

Grijeh ² (α) + Cos ² (α) = 1

Os tangente

Baš kao što je os X u trigonometrijskom krugu kosinusna os, a osi Y sinusna os, na isti način postoji i tangenska os (vidi sliku 3), koja je upravo tangencijska linija prema jediničnom krugu u točki B koordinata (1, 0).

Ako želite znati vrijednost tangente jednog kuta, kut se crta iz pozitivne poluosi X, sjecište kuta s osi tangente definira točku Q, duljina segmenta OQ je tangencija kut.

To je zato što je po definiciji, tangenta kuta α suprotna noga QB između susjedne noge OB. Odnosno, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Slika 3. Trigonometrijski krug koji prikazuje os tangente i pitagorejski identitet tangente. (Vlastita obrada)

Pitagorovski identitet tangente

Pitagorejski identitet tangente može se dokazati razmatranjem pravog trokuta OBQ na B (slika 3). Primjenjujući pitagorejski teorem na ovaj trokut imamo da je BQ ² + OB ² = OQ ². Ali već je rečeno da je BQ = Tan (α), da je OB = 1 i da je OQ = Sec (α), tako da zamjenjujući pitagorejsku jednakost za desni trokut OBQ imamo:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Primjer

Provjerite jesu li pitagorejski identiteti ispunjeni u pravom trokutu nogu AB = 4 i BC = 3.

Rješenje: noge su poznate, potrebno je utvrditi hipotenuzu, a to je:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Kut ∡BAC nazvat ćemo α, ∡BAC = α. Sada se utvrđuju trigonometrijski omjeri:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Znači α = BC / AB = 3/4

Kotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Započinje s temeljnim trigonometrijskim identitetom:

Grijeh ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Zaključeno je da je ispunjeno.

- Sljedeći pitagorejski identitet je tangenta:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

I zaključuje se da je identitet tangente provjeren.

- Na sličan način kao kotangens:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Zaključeno je da je i ispunjen, čime je izvršena zadaća provjere pitagorejskih identiteta za datirani trokut.

Riješene vježbe

Dokažite sljedeće identitete na temelju definicija trigonometrijskih omjera i pitagorejskih identiteta.

Vježba 1

Dokažite da je Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Rješenje: Na desnoj strani prepoznajemo izvanredan produkt množenja binoma po njegovom konjugatu, što je, kao što znamo, razlika u kvadratu:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Zatim izraz sa sinusom na desnoj strani prelazi na lijevu stranu uz znak promijenjen:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Konstatirajući da je postignut temeljni trigonometrijski identitet, pa se zaključuje da je dati izraz identitet, odnosno ispunjen je za bilo koju vrijednost x.

Vježba 2

Polazeći od temeljnog trigonometrijskog identiteta i koristeći definicije trigonometrijskih omjera, demonstrirajte pitagorovski identitet cektanta.

Rješenje: Temeljni identitet je:

Grijeh ² (x) + Cos ² (x) = 1

Oba člana dijele Sen ² (x), a nazivnik se raspodjeljuje u prvom članu:

Grijeh ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Pojednostavljeno je:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) je identitet (koji nije pitagorejski) koji se potvrđuje samom definicijom trigonometrijskih omjera. Isto se događa sa sljedećim identitetom: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Napokon morate:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Reference

1. Baldor J. (1973). Geometrija ravnina i prostora s uvodom u trigonometriju. Srednjoamerički kulturni. AC
2. CEA (2003). Elementi geometrije: s vježbama i kompasom. University of Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Redakcija Patria.
4. Iger. (SF). Matematika prvi semestar Tacaná. Iger.
5. Jr. geometrija. (2014). Poligona. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematika: obrazloženje i aplikacije (deseto izdanje). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Urednički zbornik.
8. Wikipedia. Trigonometrijski identiteti i formule. Oporavak od: es.wikipedia.com